Sistemas de control - Guía rápida

Un sistema de control es un sistema que proporciona la respuesta deseada controlando la salida. La siguiente figura muestra el diagrama de bloques simple de un sistema de control.

Aquí, el sistema de control está representado por un solo bloque. Dado que la salida se controla variando la entrada, el sistema de control recibió este nombre. Variaremos esta entrada con algún mecanismo. En la siguiente sección sobre sistemas de control de bucle abierto y de bucle cerrado, estudiaremos en detalle sobre los bloques dentro del sistema de control y cómo variar esta entrada para obtener la respuesta deseada.

Examples - Sistema de control de semáforos, lavadora.

Traffic lights control systemes un ejemplo de sistema de control. Aquí, se aplica una secuencia de señal de entrada a este sistema de control y la salida es una de las tres luces que estarán encendidas durante algún tiempo. Durante este tiempo, las otras dos luces estarán apagadas. Con base en el estudio de tráfico en un cruce en particular, se pueden determinar los tiempos de encendido y apagado de las luces. En consecuencia, la señal de entrada controla la salida. Por lo tanto, el sistema de control de semáforos funciona en función del tiempo.

Clasificación de sistemas de control

Basándonos en algunos parámetros, podemos clasificar los sistemas de control de las siguientes formas.

Sistemas de control de tiempo continuo y tiempo discreto

• Los sistemas de control se pueden clasificar como sistemas de control de tiempo continuo y sistemas de control de tiempo discreto basados ​​en el type of the signal usado.

• En continuous timesistemas de control, todas las señales son continuas en el tiempo. Pero endiscrete time sistemas de control, existen una o más señales de tiempo discretas.

Sistemas de control SISO y MIMO

• Los sistemas de control se pueden clasificar como sistemas de control SISO y sistemas de control MIMO basados ​​en el number of inputs and outputs presente.

• SISOLos sistemas de control (entrada única y salida única) tienen una entrada y una salida. Mientras,MIMO Los sistemas de control (múltiples entradas y múltiples salidas) tienen más de una entrada y más de una salida.

Sistemas de control de lazo abierto y lazo cerrado

Los sistemas de control se pueden clasificar como sistemas de control de bucle abierto y sistemas de control de bucle cerrado basados ​​en el feedback path.

En open loop control systems, la salida no se realimenta a la entrada. Entonces, la acción de control es independiente de la salida deseada.

La siguiente figura muestra el diagrama de bloques del sistema de control de bucle abierto.

Aquí, se aplica una entrada a un controlador y produce una señal de actuación o señal de control. Esta señal se da como entrada a una planta o proceso que se va a controlar. Entonces, la planta produce una salida que está controlada. El sistema de control de semáforos que discutimos anteriormente es un ejemplo de un sistema de control de bucle abierto.

En closed loop control systems, la salida se retroalimenta a la entrada. Entonces, la acción de control depende de la salida deseada.

La siguiente figura muestra el diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa.

El detector de errores produce una señal de error, que es la diferencia entre la entrada y la señal de retroalimentación. Esta señal de retroalimentación se obtiene del bloque (elementos de retroalimentación) considerando la salida del sistema general como una entrada a este bloque. En lugar de la entrada directa, la señal de error se aplica como entrada a un controlador.

Entonces, el controlador produce una señal de actuación que controla la planta. En esta combinación, la salida del sistema de control se ajusta automáticamente hasta que obtengamos la respuesta deseada. Por lo tanto, los sistemas de control de circuito cerrado también se denominan sistemas de control automático. El sistema de control de semáforos que tiene un sensor en la entrada es un ejemplo de un sistema de control de circuito cerrado.

Las diferencias entre los sistemas de control de bucle abierto y de bucle cerrado se mencionan en la siguiente tabla.

Sistemas de control de lazo abierto	Sistemas de control de circuito cerrado
La acción de control es independiente de la salida deseada.	La acción de control depende de la salida deseada.
La ruta de retroalimentación no está presente.	La ruta de retroalimentación está presente.
Estos también se denominan como non-feedback control systems.	Estos también se denominan como feedback control systems.
Fácil de diseñar.	Difícil de diseñar.
Estos son económicos.	Estos son más costosos.
Incorrecto.	Preciso.

Si la salida o alguna parte de la salida se devuelve al lado de la entrada y se utiliza como parte de la entrada del sistema, entonces se conoce como feedback. La retroalimentación juega un papel importante para mejorar el rendimiento de los sistemas de control. En este capítulo, analicemos los tipos de retroalimentación y los efectos de la retroalimentación.

Tipos de comentarios

Hay dos tipos de comentarios:

• Retroalimentación positiva
• Retroalimentación negativa

Retroalimentación positiva

La retroalimentación positiva agrega la entrada de referencia, $R(s)$y salida de retroalimentación. La siguiente figura muestra el diagrama de bloques depositive feedback control system.

El concepto de función de transferencia se discutirá en capítulos posteriores. Por el momento, considere que la función de transferencia del sistema de control de retroalimentación positiva es,

$T=\frac{G}{1-GH}$ (Ecuación 1)

Dónde,

• T es la función de transferencia o ganancia general del sistema de control de retroalimentación positiva.

• G es la ganancia de lazo abierto, que es función de la frecuencia.

• H es la ganancia de la ruta de retroalimentación, que es función de la frecuencia.

Retroalimentación negativa

La retroalimentación negativa reduce el error entre la entrada de referencia, $R(s)$y salida del sistema. La siguiente figura muestra el diagrama de bloques delnegative feedback control system.

La función de transferencia del sistema de control de retroalimentación negativa es,

$T=\frac{G}{1+GH}$ (Ecuación 2)

Dónde,

• T es la función de transferencia o ganancia general del sistema de control de retroalimentación negativa.

• G es la ganancia de lazo abierto, que es función de la frecuencia.

• H es la ganancia de la ruta de retroalimentación, que es función de la frecuencia.

La derivación de la función de transferencia anterior se presenta en capítulos posteriores.

Efectos de la retroalimentación

Entendamos ahora los efectos de la retroalimentación.

Efecto de la retroalimentación sobre la ganancia general

• De la Ecuación 2, podemos decir que la ganancia general del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa es la relación de 'G' y (1 + GH). Por lo tanto, la ganancia general puede aumentar o disminuir según el valor de (1 + GH).

• Si el valor de (1 + GH) es menor que 1, la ganancia general aumenta. En este caso, el valor de 'GH' es negativo porque la ganancia de la ruta de retroalimentación es negativa.

• Si el valor de (1 + GH) es mayor que 1, entonces la ganancia general disminuye. En este caso, el valor de 'GH' es positivo porque la ganancia de la ruta de retroalimentación es positiva.

En general, 'G' y 'H' son funciones de frecuencia. Por lo tanto, la retroalimentación aumentará la ganancia general del sistema en un rango de frecuencia y disminuirá en el otro rango de frecuencia.

Efecto de la retroalimentación sobre la sensibilidad

Sensitivity de la ganancia total del sistema de control de bucle cerrado de retroalimentación negativa (T) a la variación en la ganancia de lazo abierto (G) Se define como

$S_{G}^{T} = \frac{\frac{\partial T}{T}}{\frac{\partial G}{G}}=\frac{Percentage\: change \: in \:T}{Percentage\: change \: in \:G}$ (Ecuación 3)

Dónde, ∂T es el cambio incremental en T debido al cambio incremental en G.

Podemos reescribir la Ecuación 3 como

$S_{G}^{T}=\frac{\partial T}{\partial G}\frac{G}{T}$ (Ecuación 4)

Haga una diferenciación parcial con respecto a G en ambos lados de la Ecuación 2.

$\frac{\partial T}{\partial G}=\frac{\partial}{\partial G}\left (\frac{G}{1+GH} \right )=\frac{(1+GH).1-G(H)}{(1+GH)^2}=\frac{1}{(1+GH)^2}$ (Ecuación 5)

De la Ecuación 2, obtendrá

$\frac{G}{T}=1+GH$ (Ecuación 6)

Sustituya la Ecuación 5 y la Ecuación 6 en la Ecuación 4.

$$S_{G}^{T}=\frac{1}{(1+GH)^2}(1+GH)=\frac{1}{1+GH}$$

Entonces, tenemos el sensitivityde la ganancia general del sistema de control de bucle cerrado como el recíproco de (1 + GH). Entonces, la Sensibilidad puede aumentar o disminuir según el valor de (1 + GH).

• Si el valor de (1 + GH) es menor que 1, la sensibilidad aumenta. En este caso, el valor de 'GH' es negativo porque la ganancia de la ruta de retroalimentación es negativa.

• Si el valor de (1 + GH) es mayor que 1, la sensibilidad disminuye. En este caso, el valor de 'GH' es positivo porque la ganancia de la ruta de retroalimentación es positiva.

En general, 'G' y 'H' son funciones de frecuencia. Por lo tanto, la retroalimentación aumentará la sensibilidad de la ganancia del sistema en un rango de frecuencia y disminuirá en el otro rango de frecuencia. Por tanto, tenemos que elegir los valores de 'GH' de tal forma que el sistema sea insensible o menos sensible a las variaciones de los parámetros.

Efecto de la retroalimentación sobre la estabilidad

• Se dice que un sistema es estable, si su salida está bajo control. De lo contrario, se dice que es inestable.

• En la Ecuación 2, si el valor del denominador es cero (es decir, GH = -1), entonces la salida del sistema de control será infinita. Entonces, el sistema de control se vuelve inestable.

Por lo tanto, tenemos que elegir correctamente la retroalimentación para que el sistema de control sea estable.

Efecto de la retroalimentación sobre el ruido

Para conocer el efecto de la retroalimentación sobre el ruido, comparemos las relaciones de la función de transferencia con y sin retroalimentación debido únicamente a la señal de ruido.

Considere una open loop control system con señal de ruido como se muestra a continuación.

los open loop transfer function debido al ruido solo la señal es

$\frac{C(s)}{N(s)}=G_b$ (Ecuación 7)

Se obtiene haciendo que la otra entrada $R(s)$ igual a cero.

Considere un closed loop control system con señal de ruido como se muestra a continuación.

los closed loop transfer function debido al ruido solo la señal es

$\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_b}{1+G_aG_bH}$ (Ecuación 8)

Se obtiene haciendo que la otra entrada $R(s)$ igual a cero.

Compare la Ecuación 7 y la Ecuación 8,

En el sistema de control de bucle cerrado, la ganancia debida a la señal de ruido se reduce en un factor de $(1+G_a G_b H)$ siempre que el término $(1+G_a G_b H)$ es mayor que uno.

Los sistemas de control se pueden representar con un conjunto de ecuaciones matemáticas conocidas como mathematical model. Estos modelos son útiles para el análisis y diseño de sistemas de control. El análisis del sistema de control significa encontrar la salida cuando conocemos la entrada y el modelo matemático. El diseño de un sistema de control significa encontrar el modelo matemático cuando conocemos la entrada y la salida.

Se utilizan principalmente los siguientes modelos matemáticos.

• Modelo de ecuación diferencial
• Modelo de función de transferencia
• Modelo de espacio de estados

Analicemos los dos primeros modelos en este capítulo.

Modelo de ecuación diferencial

El modelo de ecuación diferencial es un modelo matemático de sistemas de control en el dominio del tiempo. Siga estos pasos para el modelo de ecuación diferencial.

• Aplicar leyes básicas al sistema de control dado.

• Obtenga la ecuación diferencial en términos de entrada y salida eliminando la (s) variable (s) intermedia (s).

Ejemplo

Considere el siguiente sistema eléctrico como se muestra en la siguiente figura. Este circuito consta de resistencia, inductor y condensador. Todos estos elementos eléctricos están conectados enseries. El voltaje de entrada aplicado a este circuito es$v_i$ y el voltaje a través del capacitor es el voltaje de salida $v_o$.

La ecuación de malla para este circuito es

$$v_i=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+v_o$$

Sustituir, la corriente que pasa a través del condensador. $i=c\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}$ en la ecuación anterior.

$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+LC\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+v_o$$

$$\Rightarrow\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

La ecuación anterior es de segundo orden. differential equation.

Modelo de función de transferencia

El modelo de función de transferencia es un modelo matemático de sistemas de control de dominio s. losTransfer function de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) se define como la relación entre la transformada de Laplace de salida y la transformada de Laplace de entrada asumiendo que todas las condiciones iniciales son cero.

Si $x(t)$ y $y(t)$ son la entrada y salida de un sistema LTI, entonces las transformadas de Laplace correspondientes son $X(s)$ y $Y(s)$.

Por lo tanto, la función de transferencia del sistema LTI es igual a la relación de $Y(s)$ y $X(s)$.

$$i.e.,\: Transfer\: Function =\frac{Y(s)}{X(s)}$$

El modelo de función de transferencia de un sistema LTI se muestra en la siguiente figura.

Aquí, representamos un sistema LTI con un bloque que tiene una función de transferencia en su interior. Y este bloque tiene una entrada$X(s)$ y salida $Y(s)$.

Ejemplo

Anteriormente, obtuvimos la ecuación diferencial de un sistema eléctrico como

$$\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.

$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} \right )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} \right )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC} \right \}V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC}}$$

Dónde,

• $v_i(s)$ es la transformada de Laplace del voltaje de entrada $v_i$

• $v_o(s)$ es la transformada de Laplace del voltaje de salida $v_o$

La ecuación anterior es una transfer functiondel sistema eléctrico de segundo orden. El modelo de función de transferencia de este sistema se muestra a continuación.

Aquí mostramos un sistema eléctrico de segundo orden con un bloque que tiene la función de transferencia en su interior. Y este bloque tiene una entrada$V_i(s)$ y una salida $V_o(s)$.

En este capítulo, analicemos el differential equation modelingde sistemas mecánicos. Hay dos tipos de sistemas mecánicos según el tipo de movimiento.

• Sistemas mecánicos traslacionales
• Sistemas mecánicos rotacionales

Modelado de sistemas mecánicos traslacionales

Los sistemas mecánicos traslacionales se mueven a lo largo de un straight line. Estos sistemas constan principalmente de tres elementos básicos. Esos son masa, resorte y amortiguador o amortiguador.

Si se aplica una fuerza a un sistema mecánico de traslación, entonces se oponen fuerzas opuestas debido a la masa, elasticidad y fricción del sistema. Dado que la fuerza aplicada y las fuerzas opuestas están en direcciones opuestas, la suma algebraica de las fuerzas que actúan sobre el sistema es cero. Veamos ahora la fuerza a la que se oponen estos tres elementos individualmente.

Masa

La masa es propiedad de un cuerpo, que almacena kinetic energy. Si se aplica una fuerza sobre un cuerpo que tiene masaM, entonces se opone a una fuerza opuesta debido a la masa. Esta fuerza opuesta es proporcional a la aceleración del cuerpo. Suponga que la elasticidad y la fricción son insignificantes.

$$F_m\propto\: a$$

$$\Rightarrow F_m=Ma=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

$$F=F_m=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

Dónde,

• F es la fuerza aplicada

• F_m es la fuerza opuesta debida a la masa

• M es masa

• a es aceleración

• x es el desplazamiento

Primavera

La primavera es un elemento que almacena potential energy. Si se aplica una fuerza al resorteK, entonces se opone a una fuerza opuesta debido a la elasticidad del resorte. Esta fuerza opuesta es proporcional al desplazamiento del resorte. Suponga que la masa y la fricción son insignificantes.

$$F\propto\: x$$

$$\Rightarrow F_k=Kx$$

$$F=F_k=Kx$$

Dónde,

• F es la fuerza aplicada

• F_k es la fuerza opuesta debido a la elasticidad del resorte

• K es constante de resorte

• x es el desplazamiento

Dashpot

Si se aplica una fuerza en el dashpot B, entonces se opone a una fuerza opuesta debido a frictiondel dashpot. Esta fuerza opuesta es proporcional a la velocidad del cuerpo. Suponga que la masa y la elasticidad son insignificantes.

$$F_b\propto\: \nu$$

$$\Rightarrow F_b=B\nu=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

$$F=F_b=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

Dónde,

• F_b es la fuerza opuesta debido a la fricción del amortiguador

• B es el coeficiente de fricción

• v es la velocidad

• x es el desplazamiento

Modelado de sistemas mecánicos rotacionales

Los sistemas mecánicos rotacionales se mueven alrededor de un eje fijo. Estos sistemas constan principalmente de tres elementos básicos. Esos sonmoment of inertia, torsional spring y dashpot.

Si se aplica un par a un sistema mecánico rotatorio, entonces se oponen pares opuestos debido al momento de inercia, la elasticidad y la fricción del sistema. Dado que el par aplicado y los pares opuestos están en direcciones opuestas, la suma algebraica de los pares que actúan sobre el sistema es cero. Veamos ahora el par al que se oponen estos tres elementos individualmente.

Momento de inercia

En el sistema mecánico traslacional, la masa almacena energía cinética. De manera similar, en el sistema mecánico rotacional, el momento de inercia almacenakinetic energy.

Si se aplica un par en un cuerpo que tiene momento de inercia J, entonces se opone a un par opuesto debido al momento de inercia. Este par opuesto es proporcional a la aceleración angular del cuerpo. Suponga que la elasticidad y la fricción son insignificantes.

$$T_j\propto\: \alpha$$

$$\Rightarrow T_j=J\alpha=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

$$T=T_j=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

Dónde,

• T es el par aplicado

• T_j es el par opuesto debido al momento de inercia

• J es momento de inercia

• α es la aceleración angular

• θ es el desplazamiento angular

Resorte torsional

En el sistema mecánico traslacional, el resorte almacena energía potencial. De manera similar, en el sistema mecánico rotacional, el resorte de torsión almacenapotential energy.

Si se aplica un par en el resorte de torsión K, entonces se opone a un par opuesto debido a la elasticidad del resorte de torsión. Este par opuesto es proporcional al desplazamiento angular del resorte de torsión. Suponga que el momento de inercia y la fricción son despreciables.

$$T_k\propto\: \theta$$

$$\Rightarrow T_k=K\theta$$

$$T=T_k=K\theta$$

Dónde,

• T es el par aplicado

• T_k es el par opuesto debido a la elasticidad del resorte de torsión

• K es la constante del resorte de torsión

• θ es el desplazamiento angular

Dashpot

Si se aplica un par en el salpicadero B, entonces se opone a un par opuesto debido a la rotational frictiondel dashpot. Este par opuesto es proporcional a la velocidad angular del cuerpo. Suponga que el momento de inercia y la elasticidad son despreciables.

$$T_b\propto\: \omega$$

$$\Rightarrow T_b=B\omega=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

$$T=T_b=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

Dónde,

• T_b es el par opuesto debido a la fricción rotacional del amortiguador

• B es el coeficiente de fricción rotacional

• ω es la velocidad angular

• θ es el desplazamiento angular

Se dice que dos sistemas son analogous entre sí si se cumplen las dos condiciones siguientes.

• Los dos sistemas son físicamente diferentes
• El modelado de ecuaciones diferenciales de estos dos sistemas es el mismo

Los sistemas eléctricos y los sistemas mecánicos son dos sistemas físicamente diferentes. Hay dos tipos de analogías eléctricas de sistemas mecánicos traslacionales. Esas son analogía de voltaje de fuerza y ​​analogía de corriente de fuerza.

Analogía de voltaje de fuerza

En la analogía del voltaje de fuerza, las ecuaciones matemáticas de translational mechanical system se comparan con las ecuaciones de malla del sistema eléctrico.

Considere el siguiente sistema mecánico de traslación como se muestra en la siguiente figura.

los force balanced equation para este sistema es

$$F=F_m+F_b+F_k$$

$\Rightarrow F=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+Kx$ (Equation 1)

Considere el siguiente sistema eléctrico como se muestra en la siguiente figura. Este circuito consta de una resistencia, un inductor y un condensador. Todos estos elementos eléctricos están conectados en serie. El voltaje de entrada aplicado a este circuito es$V$ voltios y la corriente que fluye a través del circuito es $i$ Amperios.

La ecuación de malla para este circuito es

$V=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+\frac{1}{c}\int idt$ (Equation 2)

Sustituir, $i=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}$ en la ecuación 2.

$$V=R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+\frac{q}{C}$$

$\Rightarrow V=L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{c} \right )q$ (Equation 3)

Al comparar la Ecuación 1 y la Ecuación 3, obtendremos las cantidades análogas del sistema mecánico de traslación y el sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.

Sistema mecánico traslacional	Sistema eléctrico
Fuerza (F)	Voltaje (v)
Masa (M)	Inductancia (L)
Coeficiente de fricción (B)	Resistencia (R)
Constante de resorte (K)	Recíproco de capacitancia $(\frac{1}{c})$
Desplazamiento (x)	Carga (q)
Velocidad (v)	Actual (i)

De manera similar, existe una analogía de voltaje de par para sistemas mecánicos rotacionales. Analicemos ahora esta analogía.

Analogía de voltaje de par

En esta analogía, las ecuaciones matemáticas de rotational mechanical system se comparan con las ecuaciones de malla del sistema eléctrico.

El sistema mecánico rotacional se muestra en la siguiente figura.

La ecuación balanceada de torque es

$$T=T_j+T_b+T_k$$

$\Rightarrow T=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}+k\theta$ (Equation 4)

Al comparar la Ecuación 4 y la Ecuación 3, obtendremos las cantidades análogas de sistema mecánico rotacional y sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.

Sistema mecánico rotacional	Sistema eléctrico
Torque (T)	Voltaje (v)
Momento de inercia (J)	Inductancia (L)
Coeficiente de fricción rotacional (B)	Resistencia (R)
Constante de resorte de torsión (K)	Recíproco de capacitancia $(\frac{1}{c})$
Desplazamiento angular (θ)	Carga (q)
Velocidad angular (ω)	Actual (i)

Forzar analogía actual

En vigor la analogía actual, las ecuaciones matemáticas de la translational mechanical system se comparan con las ecuaciones nodales del sistema eléctrico.

Considere el siguiente sistema eléctrico como se muestra en la siguiente figura. Este circuito consta de una fuente de corriente, una resistencia, un inductor y un condensador. Todos estos elementos eléctricos están conectados en paralelo.

La ecuación nodal es

$i=\frac{V}{R}+\frac{1}{L}\int Vdt+C\frac{\text{d}V}{\text{d}t}$ (Equation 5)

Sustituir, $V=\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}$ en la ecuación 5.

$$i=\frac{1}{R}\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi+C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}$$

$\Rightarrow i=C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{1}{R} \right )\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi$ (Equation 6)

Al comparar la Ecuación 1 y la Ecuación 6, obtendremos las cantidades análogas del sistema mecánico de traslación y el sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.

Sistema mecánico traslacional	Sistema eléctrico
Fuerza (F)	Actual (i)
Masa (M)	Capacitancia (C)
Coeficiente de fricción (B)	Recíproco de resistencia$(\frac{1}{R})$
Constante de resorte (K)	Recíproco de inductancia$(\frac{1}{L})$
Desplazamiento (x)	Flujo magnético (ψ)
Velocidad (v)	Voltaje (v)

De manera similar, existe una analogía de la corriente de par para los sistemas mecánicos rotacionales. Analicemos ahora esta analogía.

Analogía de corriente de par

En esta analogía, las ecuaciones matemáticas del rotational mechanical system se comparan con las ecuaciones de malla nodal del sistema eléctrico.

Al comparar la Ecuación 4 y la Ecuación 6, obtendremos las cantidades análogas de sistema mecánico rotacional y sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.

Sistema mecánico rotacional	Sistema eléctrico
Torque (T)	Actual (i)
Momento de inercia (J)	Capacitancia (C)
Coeficiente de fricción rotacional (B)	Recíproco de resistencia$(\frac{1}{R})$
Constante de resorte de torsión (K)	Recíproco de inductancia$(\frac{1}{L})$
Desplazamiento angular (θ)	Flujo magnético (ψ)
Velocidad angular (ω)	Voltaje (v)

En este capítulo, discutimos las analogías eléctricas de los sistemas mecánicos. Estas analogías son útiles para estudiar y analizar el sistema no eléctrico como el sistema mecánico de un sistema eléctrico análogo.

Los diagramas de bloques consisten en un solo bloque o una combinación de bloques. Estos se utilizan para representar los sistemas de control en forma pictórica.

Elementos básicos del diagrama de bloques

Los elementos básicos de un diagrama de bloques son un bloque, el punto de suma y el punto de partida. Consideremos el diagrama de bloques de un sistema de control de circuito cerrado como se muestra en la siguiente figura para identificar estos elementos.

El diagrama de bloques anterior consta de dos bloques que tienen funciones de transferencia G (s) y H (s). También tiene un punto de suma y un punto de despegue. Las flechas indican la dirección del flujo de señales. Analicemos ahora estos elementos uno por uno.

Bloquear

La función de transferencia de un componente está representada por un bloque. El bloque tiene una sola entrada y una sola salida.

La siguiente figura muestra un bloque que tiene la entrada X (s), la salida Y (s) y la función de transferencia G (s).

Función de transferencia,$G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$

$$\Rightarrow Y(s)=G(s)X(s)$$

La salida del bloque se obtiene multiplicando la función de transferencia del bloque por la entrada.

Punto de suma

El punto de suma se representa con un círculo que tiene una cruz (X) en su interior. Tiene dos o más entradas y salida única. Produce la suma algebraica de las entradas. También realiza la suma o resta o combinación de suma y resta de las entradas en función de la polaridad de las entradas. Veamos estas tres operaciones una a una.

La siguiente figura muestra el punto de suma con dos entradas (A, B) y una salida (Y). Aquí, las entradas A y B tienen signo positivo. Entonces, el punto de suma produce la salida, Y comosum of A and B.

es decir, Y = A + B.

La siguiente figura muestra el punto de suma con dos entradas (A, B) y una salida (Y). Aquí, las entradas A y B tienen signos opuestos, es decir, A tiene signo positivo y B tiene signo negativo. Entonces, el punto de suma produce la salidaY como el difference of A and B.

Y = A + (-B) = A - B.

La siguiente figura muestra el punto de suma con tres entradas (A, B, C) y una salida (Y). Aquí, las entradas A y B tienen signos positivos y C tiene un signo negativo. Entonces, el punto de suma produce la salidaY como

Y = A + B + (−C) = A + B - C.

Punto de despegue

El punto de despegue es un punto desde el cual la misma señal de entrada puede pasar a través de más de una rama. Eso significa que con la ayuda del punto de despegue, podemos aplicar la misma entrada a uno o más bloques, sumando puntos.

En la siguiente figura, el punto de despegue se utiliza para conectar la misma entrada, R (s) a dos bloques más.

En la siguiente figura, el punto de despegue se utiliza para conectar la salida C (s), como una de las entradas al punto de suma.

Representación de diagrama de bloques de sistemas eléctricos

En esta sección, representemos un sistema eléctrico con un diagrama de bloques. Los sistemas eléctricos contienen principalmente tres elementos básicos:resistor, inductor and capacitor.

Considere una serie de circuitos RLC como se muestra en la siguiente figura. Donde, V _i (t) y V _o (t) son los voltajes de entrada y salida. Sea i (t) la corriente que pasa por el circuito. Este circuito está en el dominio del tiempo.

Al aplicar la transformada de Laplace a este circuito, obtendrá el circuito en el dominio s. El circuito es como se muestra en la siguiente figura.

Desde el circuito anterior, podemos escribir

$$I(s)=\frac{V_i(s)-V_o(s)}{R+sL}$$

$\Rightarrow I(s)=\left \{ \frac{1}{R+sL} \right \}\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$ (Equation 1)

$V_o(s)=\left ( \frac{1}{sC} \right )I(s)$ (Equation 2)

Dibujemos ahora los diagramas de bloques para estas dos ecuaciones individualmente. Y luego combine esos diagramas de bloques correctamente para obtener el diagrama de bloques general de la serie de circuitos RLC (dominio s).

La ecuación 1 se puede implementar con un bloque que tenga la función de transferencia, $\frac{1}{R+sL}$. La entrada y salida de este bloque son$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$ y $I(s)$. Requerimos un punto de suma para obtener$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$. El diagrama de bloques de la Ecuación 1 se muestra en la siguiente figura.

La ecuación 2 se puede implementar con un bloque que tenga función de transferencia, $\frac{1}{sC}$. La entrada y salida de este bloque son$I(s)$ y $V_o(s)$. El diagrama de bloques de la Ecuación 2 se muestra en la siguiente figura.

El diagrama de bloques general de la serie de circuitos RLC (dominio s) se muestra en la siguiente figura.

Del mismo modo, puede dibujar el block diagram de cualquier circuito o sistema eléctrico simplemente siguiendo este sencillo procedimiento.

• Convierta el circuito eléctrico en el dominio del tiempo en un circuito eléctrico en el dominio s aplicando la transformada de Laplace.

• Escriba las ecuaciones para la corriente que pasa a través de todos los elementos de las ramas en serie y el voltaje en todas las ramas en derivación.

• Dibuja los diagramas de bloques para todas las ecuaciones anteriores individualmente.

• Combine todos estos diagramas de bloques correctamente para obtener el diagrama de bloques general del circuito eléctrico (dominio s).

El álgebra de diagrama de bloques no es más que el álgebra involucrada con los elementos básicos del diagrama de bloques. Este álgebra se ocupa de la representación pictórica de ecuaciones algebraicas.

Conexiones básicas para bloques

Hay tres tipos básicos de conexiones entre dos bloques.

Conexión en serie

La conexión en serie también se llama cascade connection. En la siguiente figura, dos bloques con funciones de transferencia$G_1(s)$ y $G_2(s)$ están conectados en serie.

Para esta combinación, obtendremos la salida $Y(s)$ como

$$Y(s)=G_2(s)Z(s)$$

Dónde, $Z(s)=G_1(s)X(s)$

$$\Rightarrow Y(s)=G_2(s)[G_1(s)X(s)]=G_1(s)G_2(s)X(s)$$

$$\Rightarrow Y(s)=\lbrace G_1(s)G_2(s)\rbrace X(s)$$

Compare esta ecuación con la forma estándar de la ecuación de salida, $Y(s)=G(s)X(s)$. Dónde,$G(s) = G_1(s)G_2(s)$.

Eso significa que podemos representar el series connectionde dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este único bloque es laproduct of the transfer functionsde esos dos bloques. El diagrama de bloques equivalente se muestra a continuación.

De manera similar, puede representar una conexión en serie de 'n' bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es el producto de las funciones de transferencia de todos esos 'n' bloques.

Coneccion paralela

Los bloques que están conectados en parallel tendrá el same input. En la siguiente figura, dos bloques con funciones de transferencia$G_1(s)$ y $G_2(s)$están conectados en paralelo. Las salidas de estos dos bloques están conectadas al punto de suma.

Para esta combinación, obtendremos la salida $Y(s)$ como

$$Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s)$$

Dónde, $Y_1(s)=G_1(s)X(s)$ y $Y_2(s)=G_2(s)X(s)$

$$\Rightarrow Y(s)=G_1(s)X(s)+G_2(s)X(s)=\lbrace G_1(s)+G_2(s)\rbrace X(s)$$

Compare esta ecuación con la forma estándar de la ecuación de salida, $Y(s)=G(s)X(s)$.

Dónde, $G(s)=G_1(s)+G_2(s)$.

Eso significa que podemos representar el parallel connectionde dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este único bloque es lasum of the transfer functionsde esos dos bloques. El diagrama de bloques equivalente se muestra a continuación.

De manera similar, puede representar una conexión en paralelo de 'n' bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es la suma algebraica de las funciones de transferencia de todos esos 'n' bloques.

Conexión de retroalimentación

Como comentamos en capítulos anteriores, hay dos tipos de feedback- comentarios positivos y comentarios negativos. La siguiente figura muestra el sistema de control de retroalimentación negativa. Aquí, dos bloques con funciones de transferencia$G(s)$ y $H(s)$ formar un circuito cerrado.

La salida del punto de suma es -

$$E(s)=X(s)-H(s)Y(s)$$

La salida $Y(s)$ es -

$$Y(s)=E(s)G(s)$$

Sustituir $E(s)$ valor en la ecuación anterior.

$$Y(s)=\left \{ X(s)-H(s)Y(s)\rbrace G(s) \right\}$$

$$Y(s)\left \{ 1+G(s)H(s)\rbrace = X(s)G(s) \right\}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

Por lo tanto, la función de transferencia de bucle cerrado de retroalimentación negativa es $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

Esto significa que podemos representar la conexión de retroalimentación negativa de dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es la función de transferencia de bucle cerrado de la retroalimentación negativa. El diagrama de bloques equivalente se muestra a continuación.

Del mismo modo, puede representar la conexión de retroalimentación positiva de dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es la función de transferencia de bucle cerrado de la retroalimentación positiva, es decir,$\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}$

Álgebra de diagrama de bloques para sumar puntos

Hay dos posibilidades de cambiar los puntos de suma con respecto a los bloques:

• Cambio de punto de suma después del bloque
• Cambio de punto de suma antes del bloque

Veamos ahora qué tipo de arreglos deben hacerse en los dos casos anteriores uno por uno.

Cambio de punto de suma después del bloque

Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí, el punto de suma está presente antes del bloque.

El punto sumador tiene dos entradas $R(s)$ y $X(s)$. El resultado de esto es$\left \{R(s)+X(s)\right\}$.

Entonces, la entrada al bloque $G(s)$ es $\left \{R(s)+X(s)\right \}$ y el resultado es -

$$Y(s)=G(s)\left \{R(s)+X(s)\right \}$$

$\Rightarrow Y(s)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (Equation 1)

Ahora, cambie el punto de suma después del bloque. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.

Salida del bloque $G(s)$ es $G(s)R(s)$.

La salida del punto de suma es

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (Equation 2)

Compare la Ecuación 1 y la Ecuación 2.

El primer término $‘G(s) R(s)’$es igual en ambas ecuaciones. Pero hay una diferencia en el segundo término. Para obtener el segundo término también igual, necesitamos un bloque más$G(s)$. Es tener la entrada$X(s)$ y la salida de este bloque se da como entrada al punto de suma en lugar de $X(s)$. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.

Cambio de punto de suma antes del bloque

Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí, el punto de suma está presente después del bloque.

La salida de este diagrama de bloques es:

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (Equation 3)

Ahora, cambie el punto de suma antes del bloque. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.

La salida de este diagrama de bloques es:

$Y(S)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (Equation 4)

Compare la Ecuación 3 y la Ecuación 4,

El primer término $‘G(s) R(s)’$es igual en ambas ecuaciones. Pero hay una diferencia en el segundo término. Para obtener el segundo término también igual, necesitamos un bloque más$\frac{1}{G(s)}$. Es tener la entrada$X(s)$ y la salida de este bloque se da como entrada al punto de suma en lugar de $X(s)$. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.

Álgebra de diagrama de bloques para puntos de despegue

Hay dos posibilidades de cambiar los puntos de despegue con respecto a los bloques:

• Cambio de punto de despegue después del bloque
• Cambio de punto de despegue antes del bloque

Veamos ahora qué tipo de arreglos se deben hacer en los dos casos anteriores, uno por uno.

Desplazamiento del punto de despegue después del bloque

Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. En este caso, el punto de despegue está presente antes del bloque.

Aquí, $X(s)=R(s)$ y $Y(s)=G(s)R(s)$

Cuando cambia el punto de despegue después del bloque, la salida $Y(s)$será el mismo. Pero, hay una diferencia en$X(s)$valor. Entonces, para obtener lo mismo$X(s)$ valor, necesitamos un bloque más $\frac{1}{G(s)}$. Es tener la entrada$Y(s)$ y la salida es $X(s)$. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.

Cambio del punto de despegue antes del bloque

Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí, el punto de despegue está presente después del bloque.

Aquí, $X(s)=Y(s)=G(s)R(s)$

Cuando cambia el punto de despegue antes del bloque, la salida $Y(s)$será el mismo. Pero, hay una diferencia en$X(s)$valor. Entonces, para obtener lo mismo$X(s)$ valor, necesitamos un bloque más $G(s)$. Es tener la entrada$R(s)$ y la salida es $X(s)$. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.

Los conceptos discutidos en el capítulo anterior son útiles para reducir (simplificar) los diagramas de bloques.

Reglas de reducción de diagrama de bloques

Siga estas reglas para simplificar (reducir) el diagrama de bloques, que tiene muchos bloques, puntos de suma y puntos de despegue.

• Rule 1 - Compruebe los bloques conectados en serie y simplifique.

• Rule 2 - Verificar los bloques conectados en paralelo y simplificar.

• Rule 3 - Compruebe los bloques conectados en bucle de retroalimentación y simplifique.

• Rule 4 - Si hay dificultades con el punto de despegue mientras se simplifica, muévalo hacia la derecha.

• Rule 5 - Si hay dificultades para sumar el punto mientras se simplifica, muévalo hacia la izquierda.

• Rule 6 - Repita los pasos anteriores hasta que obtenga la forma simplificada, es decir, bloque único.

Note - La función de transferencia presente en este bloque único es la función de transferencia del diagrama de bloques general.

Ejemplo

Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Simplifiquemos (reduzcamos) este diagrama de bloques usando las reglas de reducción del diagrama de bloques.

Step 1 - Usa la regla 1 para bloques $G_1$ y $G_2$. Usa la regla 2 para bloques$G_3$ y $G_4$. El diagrama de bloques modificado se muestra en la siguiente figura.

Step 2 - Usa la regla 3 para los bloques $G_1G_2$ y $H_1$. Utilice la regla 4 para cambiar el punto de despegue después del bloqueo.$G_5$. El diagrama de bloques modificado se muestra en la siguiente figura.

Step 3 - Usa la regla 1 para bloques $(G_3 + G_4)$ y $G_5$. El diagrama de bloques modificado se muestra en la siguiente figura.

Step 4 - Usa la regla 3 para los bloques $(G_3 + G_4)G_5$ y $H_3$. El diagrama de bloques modificado se muestra en la siguiente figura.

Step 5- Utilice la regla 1 para bloques conectados en serie. El diagrama de bloques modificado se muestra en la siguiente figura.

Step 6- Utilice la regla 3 para bloques conectados en bucle de retroalimentación. El diagrama de bloques modificado se muestra en la siguiente figura. Este es el diagrama de bloques simplificado.

Por tanto, la función de transferencia del sistema es

$$\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_1G_2G_5^2(G_3+G_4)}{(1+G_1G_2H_1)\lbrace 1+(G_3+G_4)G_5H_3\rbrace G_5-G_1G_2G_5(G_3+G_4)H_2}$$

Note - Siga estos pasos para calcular la función de transferencia del diagrama de bloques que tiene múltiples entradas.

• Step 1 - Encuentre la función de transferencia del diagrama de bloques considerando una entrada a la vez y haga que las entradas restantes sean cero.

• Step 2 - Repita el paso 1 para las entradas restantes.

• Step 3 - Obtenga la función de transferencia general agregando todas esas funciones de transferencia.

El proceso de reducción del diagrama de bloques lleva más tiempo para sistemas complicados. Porque tenemos que dibujar el diagrama de bloques (parcialmente simplificado) después de cada paso. Entonces, para superar este inconveniente, use gráficos de flujo de señal (representación).

En los dos capítulos siguientes, analizaremos los conceptos relacionados con los gráficos de flujo de señales, es decir, cómo representar el gráfico de flujo de señales a partir de un diagrama de bloques dado y el cálculo de la función de transferencia simplemente usando una fórmula de ganancia sin realizar ningún proceso de reducción.

El gráfico de flujo de señales es una representación gráfica de ecuaciones algebraicas. En este capítulo, analicemos los conceptos básicos relacionados con el gráfico de flujo de señales y también aprendamos a dibujar gráficos de flujo de señales.

Elementos básicos del gráfico de flujo de señales

Los nodos y las ramas son los elementos básicos del gráfico de flujo de señales.

Nodo

Nodees un punto que representa una variable o una señal. Hay tres tipos de nodos: nodo de entrada, nodo de salida y nodo mixto.

• Input Node - Es un nodo, que solo tiene ramas salientes.

• Output Node - Es un nodo, que solo tiene ramas entrantes.

• Mixed Node - Es un nodo, que tiene ramas entrantes y salientes.

Ejemplo

Consideremos el siguiente gráfico de flujo de señales para identificar estos nodos.

• los nodes presentes en este gráfico de flujo de señales son y₁, y₂, y₃ y y₄.

• y₁ y y₄ son los input node y output node respectivamente.

• y₂ y y₃ son mixed nodes.

Rama

Branches un segmento de línea que une dos nodos. Tiene ambosgain y direction. Por ejemplo, hay cuatro ramas en el gráfico de flujo de señal anterior. Estas ramas tienengains de a, b, c y -d.

Construcción del gráfico de flujo de señales

Construyamos un gráfico de flujo de señales considerando las siguientes ecuaciones algebraicas:

$$y_2=a_{12}y_1+a_{42}y_4$$

$$y_3=a_{23}y_2+a_{53}y_5$$

$$y_4=a_{34}y_3$$

$$y_5=a_{45}y_4+a_{35}y_3$$

$$y_6=a_{56}y_5$$

Habra seis nodes(y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ , y ₅ y y ₆ ) y ochobranchesen este gráfico de flujo de señales. Las ganancias de las ramas son un ₁₂ , un ₂₃ , un ₃₄ , un ₄₅ , un ₅₆ , un ₄₂ , un ₅₃ y un ₃₅ .

Para obtener el gráfico de flujo de señal general, dibuje el gráfico de flujo de señal para cada ecuación, luego combine todos estos gráficos de flujo de señal y luego siga los pasos que se indican a continuación:

Step 1 - Gráfico de flujo de señal para $y_2 = a_{13}y_1 + a_{42}y_4$ se muestra en la siguiente figura.

Step 2 - Gráfico de flujo de señal para $y_3 = a_{23}y_2 + a_{53}y_5$ se muestra en la siguiente figura.

Step 3 - Gráfico de flujo de señal para $y_4 = a_{34}y_3$ se muestra en la siguiente figura.

Step 4 - Gráfico de flujo de señal para $y_5 = a_{45}y_4 + a_{35}y_3$ se muestra en la siguiente figura.

Step 5 - Gráfico de flujo de señal para $y_6 = a_{56}y_5$ se muestra en la siguiente figura.

Step 6 - El gráfico de flujo de señales del sistema general se muestra en la siguiente figura.

Conversión de diagramas de bloques en gráficos de flujo de señales

Siga estos pasos para convertir un diagrama de bloques en su gráfico de flujo de señal equivalente.

• Representar todas las señales, variables, puntos de suma y puntos de despegue del diagrama de bloques como nodes en el gráfico de flujo de señales.

• Represente los bloques del diagrama de bloques como branches en el gráfico de flujo de señales.

• Representar las funciones de transferencia dentro de los bloques del diagrama de bloques como gains de las ramas en el gráfico de flujo de señales.

• Conecte los nodos según el diagrama de bloques. Si hay conexión entre dos nodos (pero no hay ningún bloque en el medio), represente la ganancia de la rama como uno.For example, entre puntos de suma, entre punto de suma y punto de despegue, entre entrada y punto de suma, entre punto de despegue y salida.

Ejemplo

Convirtamos el siguiente diagrama de bloques en su gráfico de flujo de señal equivalente.

Representa la señal de entrada $R(s)$ y señal de salida $C(s)$ del diagrama de bloques como nodo de entrada $R(s)$ y nodo de salida $C(s)$ del gráfico de flujo de señal.

Solo como referencia, los nodos restantes (y ₁ a y ₉ ) están etiquetados en el diagrama de bloques. Hay nueve nodos además de los nodos de entrada y salida. Es decir, cuatro nodos para cuatro puntos de suma, cuatro nodos para cuatro puntos de despegue y un nodo para la variable entre bloques.$G_1$ y $G_2$.

La siguiente figura muestra el gráfico de flujo de señal equivalente.

Con la ayuda de la fórmula de ganancia de Mason (discutida en el próximo capítulo), puede calcular la función de transferencia de este gráfico de flujo de señal. Ésta es la ventaja de los gráficos de flujo de señales. Aquí, no necesitamos simplificar (reducir) los gráficos de flujo de señal para calcular la función de transferencia.

Analicemos ahora la fórmula de ganancia de Mason. Suponga que hay 'N' rutas de avance en un gráfico de flujo de señales. La ganancia entre los nodos de entrada y salida de un gráfico de flujo de señal no es más que latransfer functiondel sistema. Puede calcularse utilizando la fórmula de ganancia de Mason.

Mason’s gain formula is

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^N _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

Dónde,

• C(s) es el nodo de salida

• R(s) es el nodo de entrada

• T es la función de transferencia o ganancia entre $R(s)$ y $C(s)$

• P_ies la ^iésima ganancia de la ruta de avance

$\Delta =1-(sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains)$

$+(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \:nontouching \: loops)$

$$-(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops)+...$$

Δ _i se obtiene a partir de Δ eliminando los bucles que tocan el i ^ésimo camino hacia adelante .

Considere el siguiente gráfico de flujo de señales para comprender la terminología básica involucrada aquí.

Camino

Es un cruce de ramas de un nodo a cualquier otro nodo en la dirección de las flechas de rama. No debe atravesar ningún nodo más de una vez.

Examples - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5$ y $y_5 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$

Camino hacia adelante

La ruta que existe desde el nodo de entrada al nodo de salida se conoce como forward path.

Examples - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ y $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

Ganancia de camino hacia adelante

Se obtiene calculando el producto de todas las ganancias de rama de la ruta de avance.

Examples - $abcde$ es la ganancia de camino hacia adelante de $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ y abge es la ganancia de camino hacia adelante de $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

Lazo

La ruta que comienza en un nodo y termina en el mismo nodo se conoce como loop. Por tanto, es un camino cerrado.

Examples - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ y $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$.

Ganancia de bucle

Se obtiene calculando el producto de todas las ganancias de rama de un bucle.

Examples - $b_j$ es la ganancia de bucle de $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ y $g_h$ es la ganancia de bucle de $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$.

Bucles que no se tocan

Estos son los bucles, que no deberían tener ningún nodo común.

Examples - Los bucles, $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ y $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ no se tocan.

Cálculo de la función de transferencia utilizando la fórmula de ganancia de Mason

Consideremos el mismo gráfico de flujo de señal para encontrar la función de transferencia.

• Número de trayectos hacia adelante, N = 2.

• El primer camino hacia adelante es: $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

• Ganancia de la primera ruta de avance, $p_1 = abcde$.

• El segundo camino hacia adelante es - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$.

• Ganancia del segundo camino hacia adelante, $p_2 = abge$.

• Número de bucles individuales, L = 5.

• Los bucles son - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$, $y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$, $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ y $y_5 \rightarrow y_5$.

• Las ganancias de bucle son: $l_1 = bj$, $l_2 = gh$, $l_3 = cdh$, $l_4 = di$ y $l_5 = f$.

• Número de dos bucles que no se tocan = 2.

• El primer par de bucles que no se tocan es: $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$.

• Obtener el producto del primer par de bucles que no se tocan, $l_1l_4 = bjdi$

• El segundo par de bucles que no se tocan es - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$, $y_5 \rightarrow y_5$.

• El producto de ganancia del segundo par de bucles que no se tocan es - $l_1l_5 = bjf$

En este gráfico de flujo de señal no hay un número mayor de (más de dos) bucles sin contacto.

Sabemos,

$\Delta =1-(sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains)$

$+(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \:nontouching \: loops)$

$$-(sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops)+...$$

Sustituye los valores en la ecuación anterior,

$\Delta =1-(bj+gh+cdh+di+f)+(bjdi+bjf)-(0)$

$\Rightarrow \Delta=1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf$

No hay ningún bucle que no toque la primera ruta de avance.

Entonces, $\Delta_1=1$.

Similar, $\Delta_2=1$. Dado que, no hay bucle que no toque el segundo camino hacia adelante.

Sustituir, N = 2 en la fórmula de ganancia de Mason

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^2 _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1+P_2\Delta_2}{\Delta}$$

Sustituye todos los valores necesarios en la ecuación anterior.

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)1+(abge)1}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

$$\Rightarrow T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

Por lo tanto, la función de transferencia es:

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

Podemos analizar la respuesta de los sistemas de control tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Discutiremos el análisis de respuesta en frecuencia de los sistemas de control en capítulos posteriores. Analicemos ahora sobre el análisis de respuesta en el tiempo de los sistemas de control.

¿Qué es Time Response?

Si la salida del sistema de control para una entrada varía con respecto al tiempo, entonces se llama time responsedel sistema de control. La respuesta temporal consta de dos partes.

• Respuesta transitoria
• Respuesta de estado estacionario

La respuesta del sistema de control en el dominio del tiempo se muestra en la siguiente figura.

Aquí, tanto el estado transitorio como el estable se indican en la figura. Las respuestas correspondientes a estos estados se conocen como respuestas transitorias y de estado estable.

Matemáticamente, podemos escribir la respuesta de tiempo c (t) como

$$c(t)=c_{tr}(t)+c_{ss}(t)$$

Dónde,

• c _tr (t) es la respuesta transitoria
• c _ss (t) es la respuesta de estado estable

Respuesta transitoria

Después de aplicar la entrada al sistema de control, la salida tarda cierto tiempo en alcanzar el estado estable. Entonces, la salida estará en estado transitorio hasta que pase a un estado estable. Por lo tanto, la respuesta del sistema de control durante el estado transitorio se conoce comotransient response.

La respuesta transitoria será cero para valores grandes de 't'. Idealmente, este valor de 't' es infinito y prácticamente es cinco veces constante.

Matemáticamente, podemos escribirlo como

$$\lim_{t\rightarrow \infty }c_{tr}(t)=0$$

Respuesta de estado estacionario

La parte de la respuesta de tiempo que permanece incluso después de que la respuesta transitoria tiene un valor cero para valores grandes de 't' se conoce como steady state response. Esto significa que la respuesta transitoria será cero incluso durante el estado estable.

Example

Encontremos los términos transitorios y de estado estable de la respuesta en el tiempo del sistema de control. $c(t)=10+5e^{-t}$

Aquí, el segundo término $5e^{-t}$ será cero como tdenota infinito. Entonces, esta es latransient term. Y el primer término 10 permanece incluso comotse acerca al infinito. Entonces, esta es lasteady state term.

Señales de prueba estándar

Las señales de prueba estándar son impulso, escalón, rampa y parabólico. Estas señales se utilizan para conocer el rendimiento de los sistemas de control utilizando la respuesta temporal de la salida.

Señal de impulso de la unidad

Una señal de impulso unitario, δ (t) se define como

$\delta (t)=0$ para $t\neq 0$

y $\int_{0^-}^{0^+} \delta (t)dt=1$

La siguiente figura muestra la señal de impulso de la unidad.

Entonces, la señal de impulso unitario existe solo en 't' es igual a cero. El área de esta señal en un pequeño intervalo de tiempo alrededor de 't' es igual a cero es uno. El valor de la señal de impulso unitario es cero para todos los demás valores de 't'.

Señal de paso de unidad

Una señal de paso unitario, u (t) se define como

$$u(t)=1;t\geq 0$$

$=0; t<0$

La siguiente figura muestra la señal de paso unitario.

Entonces, la señal de paso unitario existe para todos los valores positivos de 't', incluido el cero. Y su valor es uno durante este intervalo. El valor de la señal de paso unitario es cero para todos los valores negativos de 't'.

Señal de rampa de unidad

Una señal de rampa unitaria, r (t) se define como

$$r(t)=t; t\geq 0$$

$=0; t<0$

Podemos escribir la señal de rampa de la unidad, $r(t)$ en términos de señal de paso unitario, $u(t)$ como

$$r(t)=tu(t)$$

La siguiente figura muestra la señal de rampa de la unidad.

Entonces, la señal de rampa unitaria existe para todos los valores positivos de 't', incluido el cero. Y su valor aumenta linealmente con respecto a 't' durante este intervalo. El valor de la señal de rampa unitaria es cero para todos los valores negativos de 't'.

Unidad de señal parabólica

Una señal parabólica unitaria, p (t) se define como,

$$p(t)=\frac{t^2}{2}; t\geq 0$$

$=0; t<0$

Podemos escribir una señal parabólica unitaria, $p(t)$ en términos de la señal de paso unitario, $u(t)$ como,

$$p(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$$

La siguiente figura muestra la señal parabólica de la unidad.

Entonces, la señal parabólica unitaria existe para todos los valores positivos de ‘t’incluyendo cero. Y su valor aumenta de forma no lineal con respecto a 't' durante este intervalo. El valor de la señal parabólica unitaria es cero para todos los valores negativos de 't'.

En este capítulo, analicemos la respuesta temporal del sistema de primer orden. Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado. Aquí, una función de transferencia de bucle abierto,$\frac{1}{sT}$ está conectado con una retroalimentación negativa unitaria.

Sabemos que la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado tiene retroalimentación negativa unitaria como,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

Sustituir, $G(s)=\frac{1}{sT}$ en la ecuación anterior.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{sT}}{1+\frac{1}{sT}}=\frac{1}{sT+1}$$

La potencia de s es uno en el término denominador. Por lo tanto, la función de transferencia anterior es de primer orden y se dice que el sistema es elfirst order system.

Podemos reescribir la ecuación anterior como

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$$

Dónde,

• C(s) es la transformada de Laplace de la señal de salida c (t),

• R(s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada r (t), y

• T es la constante de tiempo.

Siga estos pasos para obtener la respuesta (salida) del sistema de primer orden en el dominio del tiempo.

• Tome la transformada de Laplace de la señal de entrada $r(t)$.

• Considere la ecuación, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

• Sustituir $R(s)$ valor en la ecuación anterior.

• Haz fracciones parciales de $C(s)$ si es requerido.

• Aplicar la transformada de Laplace inversa a $C(s)$.

En el capítulo anterior, hemos visto las señales de prueba estándar como impulso, escalón, rampa y parabólico. Averigüemos ahora las respuestas del sistema de primer orden para cada entrada, una por una. El nombre de la respuesta se da según el nombre de la señal de entrada. Por ejemplo, la respuesta del sistema a una entrada de impulso se denomina respuesta de impulso.

Respuesta de impulso del sistema de primer orden

Considera el unit impulse signal como entrada al sistema de primer orden.

Entonces, $r(t)=\delta (t)$

Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.

$R(s)=1$

Considere la ecuación, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Sustituir, $R(s) = 1$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )(1)=\frac{1}{sT+1}$$

Reorganice la ecuación anterior en una de las formas estándar de transformadas de Laplace.

$$C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} \right )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right )$$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$c(t)=\frac{1}{T}e^\left ( {-\frac{t}{T}} \right )u(t)$$

La respuesta de impulso de la unidad se muestra en la siguiente figura.

los unit impulse response, c (t) es una señal decreciente exponencial para valores positivos de 't' y es cero para valores negativos de 't'.

Respuesta escalonada del sistema de primer orden

Considera el unit step signal como entrada al sistema de primer orden.

Entonces, $r(t)=u(t)$

Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

Considere la ecuación, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Sustituir, $R(s)=\frac{1}{s}$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}$$

Haz fracciones parciales de C (s).

$$C(s)=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A}{s}+\frac{B}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A\left ( sT+1 \right )+Bs}{s\left ( sT+1 \right )}$$

En ambos lados, el término denominador es el mismo. Entonces, serán cancelados el uno por el otro. Por lo tanto, equipare los términos del numerador.

$$1=A\left ( sT+1 \right )+Bs$$

Al igualar los términos constantes en ambos lados, obtendrá A = 1.

Sustituya, A = 1 e iguale el coeficiente de la s términos en ambos lados.

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

Sustituir, A = 1 y B = −T en expansión de fracción parcial de $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}$$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

los unit step response, c (t) tiene los términos transitorio y de estado estacionario.

El término transitorio en la respuesta al escalón unitario es:

$$c_{tr}(t)=-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

El término de estado estable en la respuesta al escalón unitario es:

$$c_{ss}(t)=u(t)$$

La siguiente figura muestra la respuesta al escalón unitario.

El valor de la unit step response, c(t)es cero en t = 0 y para todos los valores negativos de t. Está aumentando gradualmente desde el valor cero y finalmente llega a uno en estado estable. Entonces, el valor de estado estable depende de la magnitud de la entrada.

Respuesta de rampa del sistema de primer orden

Considera el unit ramp signal como entrada al sistema de primer orden.

$So, r(t)=tu(t)$

Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.

$$R(s)=\frac{1}{s^2}$$

Considere la ecuación, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Sustituir, $R(s)=\frac{1}{s^2}$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s^2} \right )=\frac{1}{s^2(sT+1)}$$

Haz fracciones parciales de $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{C}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2}{s^2(sT+1)}$$

En ambos lados, el término denominador es el mismo. Entonces, serán cancelados el uno por el otro. Por lo tanto, equipare los términos del numerador.

$$1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2$$

Al igualar los términos constantes en ambos lados, obtendrá A = 1.

Sustituya, A = 1 e iguale el coeficiente de los términos s en ambos lados.

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

De manera similar, sustituya B = −T e iguale el coeficiente de $s^2$términos en ambos lados. Conseguirás$C=T^2$.

Sustituya A = 1, B = −T y $C = T^2$ en la expansión de fracción parcial de $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{sT+1}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}$$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$c(t)=\left ( t-T+Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

los unit ramp response, c (t) tiene los términos transitorio y de estado estacionario.

El término transitorio en la respuesta de rampa de la unidad es:

$$c_{tr}(t)=Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

El término de estado estable en la respuesta de rampa de la unidad es:

$$c_{ss}(t)=(t-T)u(t)$$

La siguiente figura muestra la respuesta de rampa de la unidad.

los unit ramp response, c (t) sigue la señal de entrada de rampa unitaria para todos los valores positivos de t. Pero hay una desviación de T unidades de la señal de entrada.

Respuesta parabólica del sistema de primer orden

Considera el unit parabolic signal como entrada al sistema de primer orden.

Entonces, $r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$

Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.

$$R(s)=\frac{1}{s^3}$$

Considere la ecuación, $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

Sustituir $R(s)=\frac{1}{s^3}$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left( \frac{1}{s^3} \right )=\frac{1}{s^3(sT+1)}$$

Haz fracciones parciales de $C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s^3(sT+1)}=\frac{A}{s^3}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s}+\frac{D}{sT+1}$$

Después de simplificar, obtendrás los valores de A, B, C y D como 1, $-T, \: T^2\: and \: −T^3$respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de C (s).

$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1} \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+\frac{1}{T}}$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$c(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

los unit parabolic response, c (t) tiene los términos transitorio y de estado estacionario.

El término transitorio en la respuesta parabólica unitaria es

$$C_{tr}(t)=-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

El término de estado estacionario en la respuesta parabólica unitaria es

$$C_{ss}(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2 \right )u(t)$$

A partir de estas respuestas, podemos concluir que los sistemas de control de primer orden no son estables con las entradas de rampa y parabólicas porque estas respuestas continúan aumentando incluso en una cantidad infinita de tiempo. Los sistemas de control de primer orden son estables con entradas de impulso y paso porque estas respuestas tienen salida limitada. Pero la respuesta al impulso no tiene un término de estado estable. Entonces, la señal de paso se usa ampliamente en el dominio del tiempo para analizar los sistemas de control a partir de sus respuestas.

En este capítulo, analicemos la respuesta temporal del sistema de segundo orden. Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado. Aquí, una función de transferencia de bucle abierto,$\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ está conectado con una retroalimentación negativa unitaria.

Sabemos que la función de transferencia del sistema de control de circuito cerrado que tiene retroalimentación negativa unitaria como

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

Sustituir, $G(s)=\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ en la ecuación anterior.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\left (\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}{1+ \left ( \frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2}$$

La potencia de 's' es dos en el término denominador. Por lo tanto, la función de transferencia anterior es de segundo orden y se dice que el sistema es elsecond order system.

La ecuación característica es -

$$s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2=0$$

Las raíces de la ecuación característica son:

$$s=\frac{-2\omega \delta _n\pm \sqrt{(2\delta\omega _n)^2-4\omega _n^2}}{2}=\frac{-2(\delta\omega _n\pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1})}{2}$$

$$\Rightarrow s=-\delta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1}$$

• Las dos raíces son imaginarias cuando δ = 0.
• Las dos raíces son reales e iguales cuando δ = 1.
• Las dos raíces son reales pero no iguales cuando δ> 1.
• Las dos raíces son conjugadas complejas cuando 0 <δ <1.

Podemos escribir $C(s)$ ecuación como,

$$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$$

Dónde,

• C(s) es la transformada de Laplace de la señal de salida, c (t)

• R(s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada, r (t)

• ω_n es la frecuencia natural

• δ es la relación de amortiguación.

Siga estos pasos para obtener la respuesta (salida) del sistema de segundo orden en el dominio del tiempo.

• Tome la transformada de Laplace de la señal de entrada, $r(t)$.

• Considere la ecuación, $C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$

• Sustituir $R(s)$ valor en la ecuación anterior.

• Haz fracciones parciales de $C(s)$ si es requerido.

• Aplicar la transformada de Laplace inversa a $C(s)$.

Respuesta escalonada del sistema de segundo orden

Considere la señal de paso unitario como una entrada al sistema de segundo orden.

La transformada de Laplace de la señal de paso unitario es,

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

Sabemos que la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden es,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

Caso 1: δ = 0

Sustituir, $\delta = 0$ en la función de transferencia.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )R(s)$$

Sustituir, $R(s) = \frac{1}{s}$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}$$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$c(t)=\left ( 1-\cos(\omega_n t) \right )u(t)$$

Entonces, la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden cuando $/delta = 0$ será una señal de tiempo continuo con amplitud y frecuencia constantes.

Caso 2: δ = 1

Sustituir, $/delta = 1$ en la función de transferencia.

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)R(s)$$

Sustituir, $R(s) = \frac{1}{s}$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)\left ( \frac{1}{s} \right)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}$$

Haz fracciones parciales de $C(s)$.

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\omega_n}+\frac{C}{(s+\omega_n)^2}$$

Después de simplificar, obtendrá los valores de A, B y C como $1,\: -1\: and \: −\omega _n$respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de$C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}$$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$c(t)=(1-e^{-\omega_nt}-\omega _nte^{-\omega_nt})u(t)$$

Por tanto, la respuesta escalonada unitaria del sistema de segundo orden intentará alcanzar la entrada escalonada en estado estable.

Caso 3: 0 <δ <1

Podemos modificar el término denominador de la función de transferencia de la siguiente manera:

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta \omega_n)+(\delta \omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)$$

La función de transferencia se convierte en,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )R(s)$$

Sustituir, $R(s) = \frac{1}{s}$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}$$

Haz fracciones parciales de $C(s)$.

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

Después de simplificar, obtendrá los valores de A, B y C como $1,\: -1 \: and \: −2\delta \omega _n$respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de C (s).

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}-\frac{\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_n\sqrt{1-\delta^2}}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2} \right )$

Sustituir, $\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$ como $\omega_d$ en la ecuación anterior.

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_d}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right )$$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\delta \omega_nt}\cos(\omega_dt)-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}e^{-\delta\omega_nt}\sin(\omega_dt) \right )u(t)$$

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( (\sqrt{1-\delta^2})\cos(\omega_dt)+\delta \sin(\omega_dt) \right ) \right )u(t)$$

Si $\sqrt{1-\delta^2}=\sin(\theta)$, entonces 'δ' será cos (θ). Sustituye estos valores en la ecuación anterior.

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}(\sin(\theta)\cos(\omega_dt)+\cos(\theta)\sin(\omega_dt)) \right )u(t)$$

$$\Rightarrow c(t)=\left ( 1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta) \right )u(t)$$

Entonces, la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden tiene oscilaciones amortiguadas (amplitud decreciente) cuando 'δ' se encuentra entre cero y uno.

Caso 4: δ> 1

Podemos modificar el término denominador de la función de transferencia de la siguiente manera:

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta\omega_n)+(\delta\omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=\left ( s+\delta\omega_n \right )^2-\omega_n^2\left ( \delta^2-1 \right )$$

La función de transferencia se convierte en,

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)} \right )R(s)$$

Sustituir, $R(s) = \frac{1}{s}$ en la ecuación anterior.

$C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-(\omega_n\sqrt{\delta^2-1})^2} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$

Haz fracciones parciales de $C(s)$.

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$$

$$=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}+\frac{C}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}$$

Después de simplificar, obtendrás los valores de A, B y C como 1, $\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$ y $\frac{-1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de$C(s)$.

$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )$$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$c(t)=\left ( 1+\left ( \frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )u(t)$

Dado que está sobre amortiguado, la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden cuando δ> 1 nunca alcanzará la entrada escalonada en el estado estacionario.

Respuesta de impulso del sistema de segundo orden

los impulse response del sistema de segundo orden puede obtenerse utilizando cualquiera de estos dos métodos.

• Siga el procedimiento involucrado mientras deriva la respuesta al escalón considerando el valor de $R(s)$ como 1 en lugar de $\frac{1}{s}$.

• Haz la diferenciación de la respuesta escalonada.

La siguiente tabla muestra la respuesta al impulso del sistema de segundo orden para 4 casos de la relación de amortiguación.

Condición de la relación de amortiguación	Respuesta de impulso para t ≥ 0
δ = 0	$\omega_n\sin(\omega_nt)$
δ = 1	$\omega_n^2te^{-\omega_nt}$
0 <δ <1	$\left ( \frac{\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt)$
δ> 1	$\left ( \frac{\omega_n}{2\sqrt{\delta^2-1}} \right )\left ( e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )$

En este capítulo, analicemos las especificaciones en el dominio del tiempo del sistema de segundo orden. La respuesta al escalón del sistema de segundo orden para el caso subamortiguado se muestra en la siguiente figura.

Todas las especificaciones del dominio del tiempo están representadas en esta figura. La respuesta hasta el tiempo de estabilización se conoce como respuesta transitoria y la respuesta después del tiempo de estabilización se conoce como respuesta de estado estable.

Tiempo de retardo

Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance half of its final valuedesde el instante cero. Se denota por$t_d$.

Considere la respuesta al escalón del sistema de segundo orden para t ≥ 0, cuando 'δ' se encuentra entre cero y uno.

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

El valor final de la respuesta al escalón es uno.

Por lo tanto, en $t=t_d$, el valor de la respuesta al escalón será 0,5. Sustituya estos valores en la ecuación anterior.

$$c(t_d)=0.5=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)$$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)=0.5$$

Al usar la aproximación lineal, obtendrá el delay time t_d como

$$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$$

Hora de levantarse

Es el tiempo necesario para que la respuesta surja de 0% to 100% of its final value. Esto es aplicable paraunder-damped systems. Para los sistemas sobreamortiguados, considere la duración del 10% al 90% del valor final. El tiempo de subida se denota port_r.

En t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Sabemos que el valor final de la respuesta escalonada es uno.

Por lo tanto, en $t = t_2$, el valor de la respuesta al escalón es uno. Sustituya estos valores en la siguiente ecuación.

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

$$c(t_2)=1=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)$$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \omega_dt_2+\theta=\pi$$

$$\Rightarrow t_2=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

Sustituya los valores t ₁ y t ₂ en la siguiente ecuación derise time,

$$t_r=t_2-t_1$$

$$\therefore \: t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

De la ecuación anterior, podemos concluir que el tiempo de subida $t_r$ y la frecuencia amortiguada $\omega_d$ son inversamente proporcionales entre sí.

Hora pico

Es el tiempo necesario para que la respuesta llegue al peak valuepor primera vez. Se denota por$t_p$. A$t = t_p$, la primera derivada de la respuesta es cero.

Sabemos que la respuesta escalonada del sistema de segundo orden para casos con amortiguación insuficiente es

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

Diferenciar $c(t)$ con respecto a 't'.

$$\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\omega_d\cos(\omega_dt+\theta)-\left ( \frac{-\delta\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

Sustituir, $t=t_p$ y $\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=0$ en la ecuación anterior.

$$0=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\left [ \omega_d\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta) \right ]$$

$$\Rightarrow \omega_n\sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta)\cos(\omega_dt_p+\theta)-\cos(\theta)\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta-\omega_dt_p-\theta)=0$$

$$\Rightarrow sin(-\omega_dt_p)=0\Rightarrow -\sin(\omega_dt_p)=0\Rightarrow sin(\omega_dt_p)=0$$

$$\Rightarrow \omega_dt_p=\pi$$

$$\Rightarrow t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$$

De la ecuación anterior, podemos concluir que la hora pico $t_p$ y la frecuencia amortiguada $\omega_d$ son inversamente proporcionales entre sí.

Sobrepaso de pico

Sobrepaso pico M_pse define como la desviación de la respuesta en el momento pico del valor final de respuesta. También se llamamaximum overshoot.

Matemáticamente, podemos escribirlo como

$$M_p=c(t_p)-c(\infty)$$

Dónde,

c (t _p ) es el valor máximo de la respuesta.

c (∞) es el valor final (estado estable) de la respuesta.

A $t = t_p$, la respuesta c (t) es -

$$c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_p+\theta)$$

Sustituir, $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$ en el lado derecho de la ecuación anterior.

$$c(t_P)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_n\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin\left ( \omega_d\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right ) +\theta\right )$$

$$\Rightarrow c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )(-\sin(\theta))$$

Lo sabemos

$$\sin(\theta)=\sqrt{1-\delta^2}$$

Entonces, obtendremos $c(t_p)$ como

$$c(t_p)=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

Sustituye los valores de $c(t_p)$ y $c(\infty)$ en la ecuación de sobreimpulso del pico.

$$M_p=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}-1$$

$$\Rightarrow M_p=e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

Percentage of peak overshoot % $M_p$ se puede calcular utilizando esta fórmula.

$$\%M_p=\frac{M_p}{c(\infty )}\times 100\%$$

Sustituyendo los valores de $M_p$ y $c(\infty)$ en la fórmula anterior, obtendremos el porcentaje de sobrepaso máximo $\%M_p$ como

$$\%M_p=\left ( e^ {-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )} \right )\times 100\%$$

De la ecuación anterior, podemos concluir que el porcentaje de sobreimpulso pico $\% M_p$ disminuirá si la relación de amortiguación $\delta$ aumenta.

Tiempo de estabilización

Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance el estado estable y permanezca dentro de las bandas de tolerancia especificadas alrededor del valor final. En general, las bandas de tolerancia son del 2% y el 5%. El tiempo de asentamiento se denota por$t_s$.

El tiempo de estabilización para la banda de tolerancia del 5% es:

$$t_s=\frac{3}{\delta\omega_n}=3\tau$$

El tiempo de estabilización para la banda de tolerancia del 2% es:

$$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}=4\tau$$

Dónde, $\tau$ es la constante de tiempo y es igual a $\frac{1}{\delta\omega_n}$.

• Tanto el tiempo de asentamiento $t_s$ y la constante de tiempo $\tau$ son inversamente proporcionales a la relación de amortiguación $\delta$.

• Tanto el tiempo de asentamiento $t_s$ y la constante de tiempo $\tau$son independientes de la ganancia del sistema. Eso significa que incluso la ganancia del sistema cambia, el tiempo de estabilización$t_s$ y constante de tiempo $\tau$ nunca cambiará.

Ejemplo

Encontremos ahora las especificaciones en el dominio del tiempo de un sistema de control que tiene la función de transferencia de bucle cerrado $\frac{4}{s^2+2s+4}$ cuando la señal de paso unitario se aplica como entrada a este sistema de control.

Sabemos que la forma estándar de la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden es

$$\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

Al equiparar estas dos funciones de transferencia, obtendremos la frecuencia natural no amortiguada $\omega_n$ como 2 rad / seg y la relación de amortiguación $\delta$ como 0,5.

Conocemos la fórmula de la frecuencia amortiguada $\omega_d$ como

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$$

Sustituir, $\omega_n$ y $\delta$ valores en la fórmula anterior.

$$\Rightarrow \omega_d=2\sqrt{1-(0.5)^2}$$

$$\Rightarrow \omega_d=1.732 \: rad/sec$$

Sustituir, $\delta$ valor en la siguiente relación

$$\theta=\cos^{-1}\delta$$

$$\Rightarrow \theta=\cos^{-1}(0.5)=\frac{\pi}{3}\:rad$$

Sustituya los valores necesarios anteriores en la fórmula de cada especificación del dominio del tiempo y simplifique para obtener los valores de las especificaciones del dominio del tiempo para la función de transferencia dada.

La siguiente tabla muestra las fórmulas de las especificaciones en el dominio del tiempo, la sustitución de los valores necesarios y los valores finales.

Especificación de dominio de tiempo	Fórmula	Sustitución de valores en fórmula	Valor final
Tiempo de retardo	$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$	$t_d=\frac{1+0.7(0.5)}{2}$	$t_d$= 0,675 segundos
Hora de levantarse	$t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$	$t_r=\frac{\pi-(\frac{\pi}{3})}{1.732}$	$t_r$= 1,207 segundos
Hora pico	$t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$	$t_p=\frac{\pi}{1.732}$	$t_p$= 1.813 segundos
% Sobrepaso de pico	$\%M_p=\left( e^{-\left (\frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right ) }\right )\times 100\%$	$\%M_p=\left( e^{-\left (\frac{0.5\pi}{\sqrt{1-(0.5)^2}} \right ) }\right )\times 100\%$	$\% \: M_p$= 16,32%
Tiempo de estabilización para banda de tolerancia del 2%	$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}$	$t_S=\frac{4}{(0.5)(2)}$	$t_s$= 4 segundos

La desviación de la salida del sistema de control de la respuesta deseada durante el estado estable se conoce como steady state error. Se representa como$e_{ss}$. Podemos encontrar el error de estado estable usando el teorema del valor final de la siguiente manera.

$$e_{ss}=\lim_{t \to \infty}e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)$$

Dónde,

E (s) es la transformada de Laplace de la señal de error, $e(t)$

Analicemos cómo encontrar errores de estado estable para los sistemas de control de retroalimentación unitaria y no unitaria, uno por uno.

Errores de estado estacionario para sistemas de retroalimentación Unity

Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado, que tiene retroalimentación negativa unitaria.

Dónde,

• R (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada de referencia $r(t)$
• C (s) es la transformada de Laplace de la señal de salida $c(t)$

Conocemos la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de retroalimentación negativa unitaria como

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

La salida del punto de suma es -

$$E(s)=R(s)-C(s)$$

Sustituir $C(s)$ valor en la ecuación anterior.

$$E(s)=R(s)-\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}$$

Sustituir $E(s)$ valor en la fórmula de error de estado estable

$$e_{ss}=\lim_{s \to 0} \frac{sR(s)}{1+G(s)}$$

La siguiente tabla muestra los errores de estado estable y las constantes de error para señales de entrada estándar como paso unitario, rampa unitaria y señales parabólicas unitarias.

Señal de entrada	Error de estado estable $e_{ss}$	Constante de error
señal de paso unitario	$\frac{1}{1+k_p}$	$K_p=\lim_{s \to 0}G(s)$
señal de rampa de unidad	$\frac{1}{K_v}$	$K_v=\lim_{s \to 0}sG(s)$
unidad de señal parabólica	$\frac{1}{K_a}$	$K_a=\lim_{s \to 0}s^2G(s)$

Dónde, $K_p$, $K_v$ y $K_a$ son la constante de error de posición, la constante de error de velocidad y la constante de error de aceleración respectivamente.

Note - Si alguna de las señales de entrada anteriores tiene una amplitud distinta a la unidad, multiplique el error de estado estable correspondiente con esa amplitud.

Note- No podemos definir el error de estado estable para la señal de impulso unitario porque existe solo en el origen. Entonces, no podemos comparar la respuesta al impulso con la entrada de impulso unitario comot denota infinito.

Ejemplo

Encontremos el error de estado estable para una señal de entrada $r(t)=\left( 5+2t+\frac{t^2}{2} \right )u(t)$ del sistema de control de retroalimentación negativa unitaria con $G(s)=\frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$

La señal de entrada dada es una combinación de tres señales paso, rampa y parabólica. La siguiente tabla muestra las constantes de error y los valores de error de estado estable para estas tres señales.

Señal de entrada	Constante de error	Error de estado estable
$r_1(t)=5u(t)$	$K_p=\lim_{s \to 0}G(s)=\infty$	$e_{ss1}=\frac{5}{1+k_p}=0$
$r_2(t)=2tu(t)$	$K_v=\lim_{s \to 0}sG(s)=\infty$	$e_{ss2}=\frac{2}{K_v}=0$
$r_3(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$	$K_a=\lim_{s \to 0}s^2G(s)=1$	$e_{ss3}=\frac{1}{k_a}=1$

Obtendremos el error de estado estable general sumando los tres errores de estado estable anteriores.

$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$

$$\Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$

Por lo tanto, obtuvimos el error de estado estable $e_{ss}$ como 1 para este ejemplo.

Errores de estado estacionario para sistemas de retroalimentación que no son de unidad

Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado, que tiene retroalimentación negativa no unitaria.

Podemos encontrar los errores de estado estacionario solo para los sistemas de retroalimentación unitaria. Entonces, tenemos que convertir el sistema de retroalimentación no unitaria en un sistema de retroalimentación unitaria. Para esto, incluya una ruta de retroalimentación positiva unitaria y una ruta de retroalimentación negativa unitaria en el diagrama de bloques anterior. El nuevo diagrama de bloques se ve como se muestra a continuación.

Simplifique el diagrama de bloques anterior manteniendo la retroalimentación negativa unitaria tal como está. El siguiente es el diagrama de bloques simplificado.

Este diagrama de bloques se asemeja al diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria. Aquí, el bloque único tiene la función de transferencia$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ en vez de $G(s)$. Ahora puede calcular los errores de estado estable utilizando la fórmula de error de estado estable dada para los sistemas de retroalimentación negativa unitaria.

Note- No tiene sentido encontrar los errores de estado estacionario para sistemas de circuito cerrado inestables. Entonces, tenemos que calcular los errores de estado estacionario solo para sistemas estables de bucle cerrado. Esto significa que debemos verificar si el sistema de control es estable o no antes de encontrar los errores de estado estable. En el próximo capítulo, discutiremos la estabilidad relacionada con los conceptos.

La estabilidad es un concepto importante. En este capítulo, analicemos la estabilidad del sistema y los tipos de sistemas basados ​​en la estabilidad.

¿Qué es la estabilidad?

Se dice que un sistema es estable, si su salida está bajo control. De lo contrario, se dice que es inestable. UNstable system produce una salida acotada para una entrada acotada dada.

La siguiente figura muestra la respuesta de un sistema estable.

Esta es la respuesta del sistema de control de primer orden para la entrada de pasos unitarios. Esta respuesta tiene valores entre 0 y 1. Por tanto, es salida acotada. Sabemos que la señal de paso unitario tiene el valor de uno para todos los valores positivos detincluyendo cero. Entonces, es una entrada acotada. Por lo tanto, el sistema de control de primer orden es estable ya que tanto la entrada como la salida están limitadas.

Tipos de sistemas basados ​​en la estabilidad

Podemos clasificar los sistemas basados ​​en la estabilidad de la siguiente manera.

• Sistema absolutamente estable
• Sistema condicionalmente estable
• Sistema marginalmente estable

Sistema absolutamente estable

Si el sistema es estable para todo el rango de valores de los componentes del sistema, entonces se conoce como absolutely stable system. El sistema de control de bucle abierto es absolutamente estable si todos los polos de la función de transferencia de bucle abierto están presentes en la mitad izquierda de‘s’ plane. De manera similar, el sistema de control de lazo cerrado es absolutamente estable si todos los polos de la función de transferencia de lazo cerrado están presentes en la mitad izquierda del plano 's'.

Sistema condicionalmente estable

Si el sistema es estable para un cierto rango de valores de componentes del sistema, entonces se conoce como conditionally stable system.

Sistema marginalmente estable

Si el sistema es estable al producir una señal de salida con amplitud constante y frecuencia constante de oscilaciones para entrada acotada, entonces se conoce como marginally stable system. El sistema de control de bucle abierto es marginalmente estable si dos polos cualesquiera de la función de transferencia de bucle abierto están presentes en el eje imaginario. De manera similar, el sistema de control de lazo cerrado es marginalmente estable si dos polos cualesquiera de la función de transferencia de lazo cerrado están presentes en el eje imaginario.

En este capítulo, analicemos el análisis de estabilidad en el ‘s’dominio utilizando el criterio de estabilidad de RouthHurwitz. En este criterio, requerimos la ecuación característica para encontrar la estabilidad de los sistemas de control de lazo cerrado.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es tener una condición necesaria y una condición suficiente para la estabilidad. Si algún sistema de control no satisface la condición necesaria, entonces podemos decir que el sistema de control es inestable. Pero, si el sistema de control satisface la condición necesaria, entonces puede ser estable o no. Entonces, la condición suficiente es útil para saber si el sistema de control es estable o no.

Condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz

La condición necesaria es que los coeficientes del polinomio característico sean positivos. Esto implica que todas las raíces de la ecuación característica deben tener partes reales negativas.

Considere la ecuación característica del orden 'n' es -

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$$

Tenga en cuenta que no debe faltar ningún término en el n^thorden ecuación característica. Esto significa que eln^th La ecuación característica de orden no debe tener ningún coeficiente de valor cero.

Condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz

La condición suficiente es que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh tengan el mismo signo. Esto significa que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben ser positivos o negativos.

Método de matriz de Routh

Si todas las raíces de la ecuación característica existen en la mitad izquierda del plano 's', entonces el sistema de control es estable. Si existe al menos una raíz de la ecuación característica en la mitad derecha del plano 's', entonces el sistema de control es inestable. Entonces, tenemos que encontrar las raíces de la ecuación característica para saber si el sistema de control es estable o inestable. Pero es difícil encontrar las raíces de la ecuación característica a medida que aumenta el orden.

Entonces, para superar este problema, tenemos la Routh array method. En este método, no es necesario calcular las raíces de la ecuación característica. Primero formule la tabla de Routh y encuentre el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. El número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh da el número de raíces de la ecuación característica que existen en la mitad derecha del plano 's' y el sistema de control es inestable.

Siga este procedimiento para formar la tabla Routh.

• Llene las dos primeras filas de la matriz de Routh con los coeficientes del polinomio característico como se menciona en la siguiente tabla. Comience con el coeficiente de$s^n$ y continuar hasta el coeficiente de $s^0$.

• Llene las filas restantes de la matriz de Routh con los elementos mencionados en la tabla siguiente. Continúe este proceso hasta que obtenga el primer elemento de columna derow $s^0$ es $a_n$. Aquí,$a_n$ es el coeficiente de $s^0$ en el polinomio característico.

Note - Si algún elemento de fila de la tabla de Routh tiene algún factor común, entonces puede dividir los elementos de fila con ese factor para que la simplificación sea fácil.

La siguiente tabla muestra la matriz de Routh del polinomio característico de n- ^ésimo orden.

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$$

$s^n$	$a_0$	$a_2$	$a_4$	$a_6$	...	...
$s^{n-1}$	$a_1$	$a_3$	$a_5$	$a_7$	...	...
$s^{n-2}$	$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$	$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$	$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$	...	...	...
$s^{n-3}$	$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$	$c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$	$\vdots$
$\vdots $	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$s^1$	$\vdots$	$\vdots$
$s^0$	$a_n$

Example

Encontremos la estabilidad del sistema de control que tiene la ecuación característica,

$$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$$

Step 1 - Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico, $s^4+3s^3+3s^2+2s+1$son positivas. Entonces, el sistema de control satisface la condición necesaria.

Step 2 - Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$s^4$	$1$	$3$	$1$
$s^3$	$3$	$2$
$s^2$	$\frac{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$	$\frac{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$
$s^1$	$\frac{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$
$s^0$	$1$

Step 3 - Verificar la condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh son positivos. No hay ningún cambio de signo en la primera columna de la matriz de Routh. Entonces, el sistema de control es estable.

Casos especiales de Routh Array

Podemos encontrarnos con dos tipos de situaciones, mientras formamos la mesa de Routh. Es difícil completar la tabla de Routh a partir de estas dos situaciones.

Los dos casos especiales son:

• El primer elemento de cualquier fila de la matriz de Routh es cero.
• Todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero.

Analicemos ahora cómo superar la dificultad en estos dos casos, uno por uno.

El primer elemento de cualquier fila de la matriz de Routh es cero

Si alguna fila de la matriz de Routh contiene solo el primer elemento como cero y al menos uno de los elementos restantes tiene un valor distinto de cero, reemplace el primer elemento con un pequeño entero positivo, $\epsilon$. Y luego continúe el proceso de completar la tabla de Routh. Ahora, encuentre el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh sustituyendo$\epsilon$ tiende a cero.

Example

Encontremos la estabilidad del sistema de control que tiene la ecuación característica,

$$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$$

Step 1 - Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico, $s^4+2s^3+s^2+2s+1$son positivas. Entonces, el sistema de control cumplió la condición necesaria.

Step 2 - Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$s^4$	$1$	$1$	$1$
$s^3$	2 1	2 1
$s^2$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$
$s^1$
$s^0$

La fila $s^3$los elementos tienen 2 como factor común. Entonces, todos estos elementos se dividen por 2.

Special case (i) - Solo el primer elemento de la fila $s^2$es cero. Entonces, reemplácelo por$\epsilon$ y continuar el proceso de completar la tabla de Routh.

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	$\epsilon$	1
$s^1$	$\frac{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$
$s^0$	1

Step 3 - Verificar la condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Como $\epsilon$ tiende a cero, la tabla de Routh se vuelve así.

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	0	1
$s^1$	-∞
$s^0$	1

Hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. Por tanto, el sistema de control es inestable.

Todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero

En este caso, siga estos dos pasos:

• Escribe la ecuación auxiliar, A (s) de la fila, que está justo encima de la fila de ceros.

• Diferenciar la ecuación auxiliar, A (s) con respecto a s. Llene la fila de ceros con estos coeficientes.

Example

Encontremos la estabilidad del sistema de control que tiene la ecuación característica,

$$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$$

Step 1 - Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico dado son positivos. Entonces, el sistema de control cumplió la condición necesaria.

Step 2 - Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$s^5$	1	1	1
$s^4$	3 1	3 1	3 1
$s^3$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$
$s^2$
$s^1$
$s^0$

La fila $s^4$ los elementos tienen el factor común de 3. Entonces, todos estos elementos se dividen entre 3.

Special case (ii) - Todos los elementos de la fila $s^3$son cero. Entonces, escribe la ecuación auxiliar, A (s) de la fila$s^4$.

$$A(s)=s^4+s^2+1$$

Diferenciar la ecuación anterior con respecto a s.

$$\frac{\text{d}A(s)}{\text{d}s}=4s^3+2s$$

Coloque estos coeficientes en fila $s^3$.

$s^5$	1	1	1
$s^4$	1	1	1
$s^3$	4 2	2 1
$s^2$	$\frac{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$	$\frac{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$
$s^1$	$\frac{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$
$s^0$	1

Step 3 - Verificar la condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. Por tanto, el sistema de control es inestable.

En el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, podemos saber si los polos de lazo cerrado están en la mitad izquierda del plano 's' o en la mitad derecha del plano 's' o en un eje imaginario. Entonces, no podemos encontrar la naturaleza del sistema de control. Para superar esta limitación, existe una técnica conocida como lugar de raíces. Discutiremos esta técnica en los próximos dos capítulos.

En el diagrama del lugar de las raíces, podemos observar la trayectoria de los polos de bucle cerrado. Por tanto, podemos identificar la naturaleza del sistema de control. En esta técnica, utilizaremos una función de transferencia de bucle abierto para conocer la estabilidad del sistema de control de bucle cerrado.

Conceptos básicos del lugar de las raíces

El lugar de las raíces es el lugar de las raíces de la ecuación característica al variar la ganancia del sistema K de cero a infinito.

Sabemos que la ecuación característica del sistema de control de lazo cerrado es

$$1+G(s)H(s)=0$$

Podemos representar $G(s)H(s)$ como

$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$

Dónde,

• K representa el factor multiplicador

• N (s) representa el término numerador que tiene (factorizado) el polinomio de n- ^ésimo orden de 's'.

• D (s) representa el término denominador que tiene (factorizada) m ^ésimo polinomio de orden de 's'.

Sustituir, $G(s)H(s)$ valor en la ecuación característica.

$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

$$\Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$

Case 1 − K = 0

Si $K=0$, luego $D(s)=0$.

Eso significa que los polos de lazo cerrado son iguales a los polos de lazo abierto cuando K es cero.

Case 2 − K = ∞

Vuelva a escribir la ecuación característica anterior como

$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} \right )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

Sustituir, $K = \infty$ en la ecuación anterior.

$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N(s)=0$$

Si $K=\infty$, luego $N(s)=0$. Significa que los polos de lazo cerrado son iguales a los ceros de lazo abierto cuando K es infinito.

De los dos casos anteriores, podemos concluir que las ramas del lugar de las raíces comienzan en los polos de bucle abierto y terminan en ceros de bucle abierto.

Condición de ángulo y condición de magnitud

Los puntos en las ramas del lugar de las raíces satisfacen la condición de ángulo. Entonces, la condición de ángulo se usa para saber si el punto existe en la rama del lugar de las raíces o no. Podemos encontrar el valor de K para los puntos en las ramas del lugar de las raíces usando la condición de magnitud. Entonces, podemos usar la condición de magnitud para los puntos, y esto satisface la condición de ángulo.

La ecuación característica del sistema de control de bucle cerrado es

$$1+G(s)H(s)=0$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$

los phase angle de $G(s)H(s)$ es

$$\angle G(s)H(s)=\tan^{-1}\left ( \frac{0}{-1} \right )=(2n+1)\pi$$

los angle conditiones el punto en el que el ángulo de la función de transferencia de bucle abierto es un múltiplo impar de 180 ⁰ .

Magnitud de $G(s)H(s)$ es -

$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$

La condición de magnitud es el punto (que cumplió la condición de ángulo) en el que la magnitud de la función de transferencia de bucle abierto es uno.

los root locuses una representación gráfica en el dominio s y es simétrica con respecto al eje real. Porque los polos y ceros de bucle abierto existen en el dominio s que tienen los valores como pares conjugados reales o complejos. En este capítulo, analicemos cómo construir (dibujar) el lugar de las raíces.

Reglas para la construcción del lugar de las raíces

Siga estas reglas para construir un lugar de raíces.

Rule 1 - Localice los polos y ceros de bucle abierto en el plano 's'.

Rule 2 - Calcula el número de ramas del lugar de las raíces.

Sabemos que las ramas del lugar de las raíces comienzan en los polos de bucle abierto y terminan en ceros de bucle abierto. Entonces, el número de ramas del lugar de las raícesN es igual al número de polos finitos de bucle abierto P o el número de ceros de bucle abierto finitos Z, el que sea mayor.

Matemáticamente, podemos escribir el número de ramas del lugar de las raíces N como

$N=P$ Si $P\geq Z$

$N=Z$ Si $P<Z$

Rule 3 - Identificar y dibujar el real axis root locus branches.

Si el ángulo de la función de transferencia de lazo abierto en un punto es un múltiplo impar de 180 ⁰ , entonces ese punto está en el lugar de las raíces. Si existe un número impar de polos y ceros en bucle abierto en el lado izquierdo de un punto en el eje real, entonces ese punto está en la rama del lugar de las raíces. Por tanto, la rama de puntos que satisface esta condición es el eje real de la rama del lugar de las raíces.

Rule 4 - Encuentra el centroide y el ángulo de las asíntotas.

• Si $P = Z$, entonces todas las ramas del lugar de las raíces comienzan en polos finitos de lazo abierto y terminan en ceros finitos de lazo abierto.

• Si $P > Z$ , luego $Z$ número de ramas del lugar de raíces comienzan en polos finitos de bucle abierto y terminan en ceros finitos de bucle abierto y $P − Z$ El número de ramas del lugar de las raíces comienza en polos finitos de lazo abierto y termina en infinitos ceros de lazo abierto.

• Si $P < Z$ , entonces el número P de ramas del lugar de las raíces comienza en polos finitos de lazo abierto y termina en ceros finitos de lazo abierto y $Z − P$ El número de ramas del lugar de las raíces comienza en infinitos polos de bucle abierto y termina en ceros finitos de bucle abierto.

Entonces, algunas de las ramas del lugar de las raíces se acercan al infinito, cuando $P \neq Z$. Las asíntotas dan la dirección de estas ramas del lugar de las raíces. El punto de intersección de las asíntotas en el eje real se conoce comocentroid.

Podemos calcular el centroid α al usar esta fórmula,

$\alpha = \frac{\sum Real\: part\: of\: finite\: open\: loop\: poles\:-\sum Real\: part\: of\: finite\: open\: loop\: zeros}{P-Z}$

La fórmula para el ángulo de asymptotes θ es

$$\theta=\frac{(2q+1)180^0}{P-Z}$$

Dónde,

$$q=0,1,2,....,(P-Z)-1$$

Rule 5 - Encontrar los puntos de intersección de las ramas del lugar de las raíces con un eje imaginario.

Podemos calcular el punto en el que la rama del lugar de las raíces se cruza con el eje imaginario y el valor de K en ese punto utilizando el método de matriz de Routh y especial case (ii).

• Si todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero, entonces la rama del lugar de las raíces se cruza con el eje imaginario y viceversa.

• Identifique la fila de tal manera que si hacemos que el primer elemento sea cero, entonces los elementos de toda la fila sean cero. Encuentra el valor deK para esta combinación.

• Sustituye esto Kvalor en la ecuación auxiliar. Obtendrá el punto de intersección de la rama del lugar de las raíces con un eje imaginario.

Rule 6 - Encuentra puntos de ruptura y robo.

• Si existe una rama del lugar de las raíces del eje real entre dos polos de bucle abierto, entonces habrá una break-away point entre estos dos polos de bucle abierto.

• Si existe una rama del lugar de las raíces del eje real entre dos ceros de bucle abierto, entonces habrá una break-in point entre estos dos ceros de bucle abierto.

Note - Los puntos de ruptura y ruptura existen solo en las ramas del lugar de las raíces del eje real.

Siga estos pasos para encontrar puntos de fuga y robo.

• Escribir $K$ en términos de $s$ de la ecuación característica $1 + G(s)H(s) = 0$.

• Diferenciar $K$con respecto a sy hágalo igual a cero. Sustituye estos valores de$s$ en la ecuación anterior.

• Los valores de $s$ por lo cual el $K$ el valor es positivo son los break points.

Rule 7 - Encuentre el ángulo de salida y el ángulo de llegada.

El ángulo de salida y el ángulo de llegada se pueden calcular en polos de bucle abierto conjugados complejos y ceros de bucle abierto conjugados complejos, respectivamente.

La frmula para el angle of departure $\phi_d$ es

$$\phi_d=180^0-\phi$$

La frmula para el angle of arrival $\phi_a$ es

$$\phi_a=180^0+\phi$$

Dónde,

$$\phi=\sum \phi_P-\sum \phi_Z$$

Ejemplo

Dibujemos ahora el lugar de las raíces del sistema de control que tiene la función de transferencia de bucle abierto, $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}$

Step 1 - La función de transferencia de bucle abierto dada tiene tres polos en $s = 0, s = −1$ y $s = −5$. No tiene cero. Por lo tanto, el número de ramas del lugar de las raíces es igual al número de polos de la función de transferencia de bucle abierto.

$$N=P=3$$

Los tres polos que se encuentran se muestran en la figura anterior. El segmento de línea entre$s = −1$ y $s = 0$es una rama del lugar de las raíces en el eje real. Y la otra rama del lugar de las raíces en el eje real es el segmento de línea a la izquierda de$s = −5$.

Step 2 - Obtendremos los valores del centroide y el ángulo de las asíntotas usando las fórmulas dadas.

Centroide $\alpha = −2$

El ángulo de las asíntotas son $\theta = 60^0,180^0$ y $300^0$.

El centroide y las tres asíntotas se muestran en la siguiente figura.

Step 3 - Dado que dos asíntotas tienen los ángulos de $60^0$ y $300^0$, dos ramas del lugar de las raíces se cruzan con el eje imaginario. Al usar el método de matriz de Routh y el caso especial (ii), las ramas del lugar de las raíces se cruzan con el eje imaginario en$j\sqrt{5}$ y $−j\sqrt{5}$.

Habrá un punto de ruptura en la rama del lugar de las raíces del eje real entre los polos $s = −1$ y $s = 0$. Siguiendo el procedimiento dado para el cálculo del punto de ruptura, lo obtendremos como$s = −0.473$.

El diagrama del lugar de las raíces para el sistema de control dado se muestra en la siguiente figura.

De esta manera, puede dibujar el diagrama del lugar de las raíces de cualquier sistema de control y observar el movimiento de los polos de la función de transferencia de bucle cerrado.

A partir de los diagramas del lugar de las raíces, podemos conocer el rango de valores de K para diferentes tipos de amortiguamiento.

Efectos de agregar polos y ceros en bucle abierto en el lugar de las raíces

El lugar de las raíces se puede cambiar en ‘s’ plane agregando los polos de bucle abierto y los ceros de bucle abierto.

• Si incluimos un polo en la función de transferencia de bucle abierto, algunas de las ramas del lugar de las raíces se moverán hacia la mitad derecha del plano 's'. Debido a esto, la relación de amortiguación$\delta$disminuye. Lo que implica, frecuencia amortiguada$\omega_d$ aumenta y las especificaciones del dominio del tiempo como el tiempo de retraso $t_d$, hora de levantarse $t_r$ y hora pico $t_p$disminución. Pero, afecta la estabilidad del sistema.

• Si incluimos un cero en la función de transferencia de bucle abierto, algunas de las ramas del lugar de las raíces se moverán hacia la mitad izquierda del plano 's'. Entonces, aumentará la estabilidad del sistema de control. En este caso, la relación de amortiguación$\delta$aumenta. Lo que implica, frecuencia amortiguada$\omega_d$ disminuye y las especificaciones del dominio del tiempo como el tiempo de retraso $t_d$, hora de levantarse $t_r$ y hora pico $t_p$ incrementar.

Entonces, según el requisito, podemos incluir (agregar) los polos o ceros de bucle abierto a la función de transferencia.

Ya hemos discutido el análisis de respuesta en el tiempo de los sistemas de control y las especificaciones en el dominio del tiempo de los sistemas de control de segundo orden. En este capítulo, analicemos el análisis de respuesta de frecuencia de los sistemas de control y las especificaciones en el dominio de frecuencia de los sistemas de control de segundo orden.

¿Qué es la respuesta de frecuencia?

La respuesta de un sistema se puede dividir tanto en la respuesta transitoria como en la respuesta de estado estable. Podemos encontrar la respuesta transitoria usando integrales de Fourier. La respuesta de estado estable de un sistema para una señal sinusoidal de entrada se conoce comofrequency response. En este capítulo, nos centraremos solo en la respuesta de estado estable.

Si se aplica una señal sinusoidal como entrada a un sistema lineal invariable en el tiempo (LTI), se produce la salida de estado estable, que también es una señal sinusoidal. Las señales sinusoidales de entrada y salida tienen la misma frecuencia, pero diferentes amplitudes y ángulos de fase.

Deje que la señal de entrada sea -

$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$

La función de transferencia de bucle abierto será:

$$G(s)=G(j\omega)$$

Podemos representar $G(j\omega)$ en términos de magnitud y fase como se muestra a continuación.

$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \angle G(j\omega)$$

Sustituir, $\omega = \omega_0$ en la ecuación anterior.

$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \angle G(j\omega_0)$$

La señal de salida es

$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \angle G(j\omega_0))$$

• los amplitude de la señal sinusoidal de salida se obtiene multiplicando la amplitud de la señal sinusoidal de entrada y la magnitud de $G(j\omega)$ a $\omega = \omega_0$.

• los phase de la señal sinusoidal de salida se obtiene sumando la fase de la señal sinusoidal de entrada y la fase de $G(j\omega)$ a $\omega = \omega_0$.

Dónde,

• A es la amplitud de la señal sinusoidal de entrada.

• ω₀ es la frecuencia angular de la señal sinusoidal de entrada.

Podemos escribir, frecuencia angular $\omega_0$ Como se muestra abajo.

$$\omega_0=2\pi f_0$$

Aquí, $f_0$es la frecuencia de la señal sinusoidal de entrada. Del mismo modo, puede seguir el mismo procedimiento para el sistema de control de circuito cerrado.

Especificaciones de dominio de frecuencia

Las especificaciones en el dominio de la frecuencia son resonant peak, resonant frequency and bandwidth.

Considere la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden como,

$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

Sustituir, $s = j\omega$ en la ecuación anterior.

$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right )+j\left ( \frac{2\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

Dejar, $\frac{\omega}{\omega_n}=u$ Sustituye este valor en la ecuación anterior.

$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$

Magnitud de $T(j\omega)$ es -

$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$

Fase de $T(j\omega)$ es -

$$\angle T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} \right )$$

Frecuencia de resonancia

Es la frecuencia a la que la magnitud de la respuesta de frecuencia tiene un valor pico por primera vez. Se denota por$\omega_r$. A$\omega = \omega_r$, la primera derivada de la magnitud de $T(j\omega)$ es cero.

Diferenciar $M$ con respecto a $u$.

$$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) \right ]$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

Sustituir, $u=u_r$ y $\frac{\text{d}M}{\text{d}u}==0$ en la ecuación anterior.

$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 \right ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

$$\Rightarrow 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$

$$\Rightarrow u_r^2-1+2\delta^2=0$$

$$\Rightarrow u_r^2=1-2\delta^2$$

$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$

Sustituir, $u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$ en la ecuación anterior.

$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$

$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$

Pico resonante

Es el valor pico (máximo) de la magnitud de $T(j\omega)$. Se denota por$M_r$.

A $u = u_r$, la Magnitud de $T(j\omega)$ es -

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$

Sustituir, $u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$ y $1 − u_r^2 = 2\delta^2$ en la ecuación anterior.

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$

$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$

El pico resonante en la respuesta de frecuencia corresponde al pico de sobreimpulso en la respuesta transitoria en el dominio del tiempo para ciertos valores de relación de amortiguación $\delta$. Por lo tanto, el pico resonante y el sobreimpulso del pico están correlacionados entre sí.

Banda ancha

Es el rango de frecuencias sobre el cual, la magnitud de $T(j\omega)$ cae al 70,7% desde su valor de frecuencia cero.

A $\omega = 0$, El valor de $u$ será cero.

Sustituir, $u = 0$ En m.

$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$

Por tanto, la magnitud de $T(j\omega)$ es uno en $\omega = 0$.

A una frecuencia de 3 dB, la magnitud de $T(j\omega)$ será el 70,7% de la magnitud de $T(j\omega)$ a $\omega = 0$.

yo como $\omega = \omega_B, M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$

$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$

Dejar, $u_b^2=x$

$$\Rightarrow 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$

$$\Rightarrow x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$

$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$

Considere solo el valor positivo de x.

$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$

$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

Sustituir, $x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$

$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$

Banda ancha $\omega_b$ en la respuesta de frecuencia es inversamente proporcional al tiempo de subida $t_r$ en la respuesta transitoria del dominio del tiempo.

El diagrama de Bode o el diagrama de Bode consta de dos diagramas:

• Gráfico de magnitud
• Gráfico de fase

En ambas gráficas, el eje x representa la frecuencia angular (escala logarítmica). Considerando que, yaxis representa la magnitud (escala lineal) de la función de transferencia de bucle abierto en el gráfico de magnitud y el ángulo de fase (escala lineal) de la función de transferencia de bucle abierto en el gráfico de fase.

los magnitude de la función de transferencia de bucle abierto en dB es -

$$M=20\: \log|G(j\omega)H(j\omega)|$$

los phase angle de la función de transferencia de bucle abierto en grados es -

$$\phi=\angle G(j\omega)H(j\omega)$$

Note - La base del logaritmo es 10.

Básico de Bode Plots

La siguiente tabla muestra los valores de pendiente, magnitud y ángulo de fase de los términos presentes en la función de transferencia de lazo abierto. Estos datos son útiles al dibujar los diagramas de Bode.

Tipo de término	G (jω) H (jω)	Pendiente (dB / dec)	Magnitud (dB)	Ángulo de fase (grados)
Constante	$K$	$0$	$20 \log K$	$0$
Cero en origen	$j\omega$	$20$	$20 \log \omega$	$90$
'n' ceros en el origen	$(j\omega)^n$	$20\: n$	$20\: n \log \omega$	$90\: n$
Polo en origen	$\frac{1}{j\omega}$	$-20$	$-20 \log \omega$	$-90 \: or \: 270$
'n' polos en origen	$\frac{1}{(j\omega)^n}$	$-20\: n$	$-20 \: n \log \omega$	$-90 \: n \: or \: 270 \: n$
Cero simple	$1+j\omega r$	$20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $20\: \log \omega r\: for \: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $90 \: for \: \omega > \frac{1}{r}$
Polo simple	$\frac{1}{1+j\omega r}$	$-20$	$0\: for\: \omega < \frac{1}{r}$ $-20\: \log \omega r\: for\: \omega > \frac{1}{r}$	$0 \: for \: \omega < \frac{1}{r}$ $-90\: or \: 270 \: for\: \omega > \frac{1}{r}$
Término derivado de segundo orden	$\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )$	$40$	$40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$0 \: for \: \omega < \omega_n$ $90 \: for \: \omega = \omega_n$ $180 \: for \: \omega > \omega_n$
Término integral de segundo orden	$\frac{1}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$	$-40$	$-40\: \log\: \omega_n\: for \: \omega < \omega_n$ $-20\: \log\:(2\delta\omega_n^2)\: for \: \omega=\omega_n$ $-40 \: \log \: \omega\:for \:\omega > \omega_n$	$-0 \: for \: \omega < \omega_n$ $-90 \: for \: \omega = \omega_n$ $-180 \: for \: \omega > \omega_n$

Considere la función de transferencia de bucle abierto $G(s)H(s) = K$.

Magnitud $M = 20\: \log K$ dB

Ángulo de fase $\phi = 0$ grados

Si $K = 1$, entonces la magnitud es 0 dB.

Si $K > 1$, entonces la magnitud será positiva.

Si $K < 1$, entonces la magnitud será negativa.

La siguiente figura muestra el diagrama de Bode correspondiente.

La gráfica de magnitud es una línea horizontal, que es independiente de la frecuencia. La línea de 0 dB en sí es la gráfica de magnitud cuando el valor de K es uno. Para los valores positivos de K, la línea horizontal se desplazará$20 \:\log K$dB por encima de la línea de 0 dB. Para los valores negativos de K, la línea horizontal se desplazará$20\: \log K$dB por debajo de la línea de 0 dB. La línea de cero grados en sí misma es la gráfica de fase para todos los valores positivos de K.

Considere la función de transferencia de bucle abierto $G(s)H(s) = s$.

Magnitud $M = 20 \log \omega$ dB

Ángulo de fase $\phi = 90^0$

A $\omega = 0.1$ rad / seg, la magnitud es -20 dB.

A $\omega = 1$ rad / seg, la magnitud es 0 dB.

A $\omega = 10$ rad / seg, la magnitud es 20 dB.

La siguiente figura muestra el diagrama de Bode correspondiente.

La gráfica de magnitud es una línea, que tiene una pendiente de 20 dB / dec. Esta línea comenzaba en$\omega = 0.1$rad / seg con una magnitud de -20 dB y continúa en la misma pendiente. Está tocando la línea de 0 dB en$\omega = 1$rad / seg. En este caso, la gráfica de fase es una línea de 90 ⁰ .

Considere la función de transferencia de bucle abierto $G(s)H(s) = 1 + s\tau$.

Magnitud $M = 20\: log \sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ dB

Ángulo de fase $\phi = \tan^{-1}\omega\tau$ grados

por $ω < \frac{1}{\tau}$ , la magnitud es 0 dB y el ángulo de fase es 0 grados.

por $\omega > \frac{1}{\tau}$ , la magnitud es $20\: \log \omega\tau$dB y el ángulo de fase es 90 ⁰ .

La siguiente figura muestra el diagrama de Bode correspondiente.

La gráfica de magnitud tiene una magnitud de 0 dB hasta $\omega=\frac{1}{\tau}$rad / seg. Desde$\omega = \frac{1}{\tau}$rad / seg, tiene una pendiente de 20 dB / dec. En este caso, el diagrama de fase tiene un ángulo de fase de 0 grados hasta$\omega = \frac{1}{\tau}$rad / sec y desde aquí, tiene un ángulo de fase de 90 ⁰ . Este diagrama de Bode se llamaasymptotic Bode plot.

Como las gráficas de magnitud y fase se representan con líneas rectas, las gráficas de Bode exactas se asemejan a las gráficas de Bode asintóticas. La única diferencia es que los diagramas de Bode exactos tendrán curvas simples en lugar de líneas rectas.

De manera similar, puede dibujar los diagramas de Bode para otros términos de la función de transferencia de bucle abierto que se dan en la tabla.

En este capítulo, entendamos en detalle cómo construir (dibujar) diagramas de Bode.

Reglas para la construcción de parcelas de Bode

Siga estas reglas mientras construye un diagrama de Bode.

• Represente la función de transferencia de bucle abierto en la forma estándar de constante de tiempo.

• Sustituir, $s=j\omega$ en la ecuación anterior.

• Encuentre las frecuencias de las esquinas y organícelas en orden ascendente.

• Tenga en cuenta la frecuencia de inicio de la trama Bode como décimo ^º de la frecuencia mínima esquina o 0,1 rad / seg lo que sea menor valor y dibujar el diagrama de Bode hasta 10 veces la frecuencia máxima de esquina.

• Dibuje las gráficas de magnitud para cada término y combine estas gráficas correctamente.

• Dibuje las gráficas de fase para cada término y combine estas gráficas correctamente.

Note - La frecuencia de la esquina es la frecuencia a la que hay un cambio en la pendiente de la gráfica de magnitud.

Ejemplo

Considere la función de transferencia de bucle abierto de un sistema de control de bucle cerrado

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{(s+2)(s+5)}$$

Convirtamos esta función de transferencia de bucle abierto en una forma estándar de constante de tiempo.

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{2\left( \frac{s}{2}+1 \right )5 \left( \frac{s}{5}+1 \right )}$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=\frac{s}{\left( 1+\frac{s}{2} \right )\left( 1+\frac{s}{5} \right )}$$

Por lo tanto, podemos dibujar el diagrama de Bode en una hoja de registro semi utilizando las reglas mencionadas anteriormente.

Análisis de estabilidad mediante diagramas de Bode

A partir de las gráficas de Bode, podemos decir si el sistema de control es estable, marginalmente estable o inestable según los valores de estos parámetros.

• Ganar frecuencia de cruce y frecuencia de cruce de fase
• Ganar margen y margen de fase

Frecuencia de cruce de fase

La frecuencia a la que la gráfica de fase tiene la fase de -180 ⁰ se conoce comophase cross over frequency. Se denota por$\omega_{pc}$. La unidad de frecuencia de cruce de fase esrad/sec.

Ganar frecuencia cruzada

La frecuencia a la que la gráfica de magnitud tiene una magnitud de cero dB se conoce como gain cross over frequency. Se denota por$\omega_{gc}$. La unidad de frecuencia de cruce de ganancia esrad/sec.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre la frecuencia de cruce de fase y la frecuencia de cruce de ganancia se enumera a continuación.

• Si la fase cruza la frecuencia $\omega_{pc}$ es mayor que la frecuencia de cruce de ganancia $\omega_{gc}$, entonces el sistema de control es stable.

• Si la fase cruza la frecuencia $\omega_{pc}$ es igual a la frecuencia de cruce de ganancia $\omega_{gc}$, entonces el sistema de control es marginally stable.

• Si la fase cruza la frecuencia $\omega_{pc}$ es menor que la frecuencia de cruce de ganancia $\omega_{gc}$, entonces el sistema de control es unstable.

Ganar margen

Ganar margen $GM$ es igual al negativo de la magnitud en dB en la frecuencia de cruce de fase.

$$GM=20\log\left( \frac{1}{M_{pc}}\right )=20logM_{pc}$$

Dónde, $M_{pc}$es la magnitud en la frecuencia de cruce de fase. La unidad de margen de ganancia (GM) esdB.

Margen de fase

La fórmula del margen de fase $PM$ es

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

Dónde, $\phi_{gc}$es el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La unidad de margen de fase esdegrees.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre el margen de ganancia y el margen de fase se enumera a continuación.

• Si tanto el margen de ganancia $GM$ y el margen de fase $PM$ son positivos, entonces el sistema de control es stable.

• Si tanto el margen de ganancia $GM$ y el margen de fase $PM$ son iguales a cero, entonces el sistema de control es marginally stable.

• Si el margen de ganancia $GM$ y / o el margen de fase $PM$ son / es negativo, entonces el sistema de control es unstable.

En los capítulos anteriores, discutimos los diagramas de Bode. Allí, tenemos dos gráficos separados para la magnitud y la fase como función de la frecuencia. Analicemos ahora las parcelas polares. La gráfica polar es una gráfica que se puede dibujar entre magnitud y fase. Aquí, las magnitudes están representadas solo por valores normales.

La forma polar de $G(j\omega)H(j\omega)$ es

$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \angle G(j\omega)H(j\omega)$$

los Polar plot es un gráfico, que se puede dibujar entre la magnitud y el ángulo de fase de $G(j\omega)H(j\omega)$ variando $\omega$de cero a ∞. La hoja del gráfico polar se muestra en la siguiente figura.

Esta hoja gráfica consta de círculos concéntricos y líneas radiales. losconcentric circles y el radial linesrepresentan las magnitudes y los ángulos de fase respectivamente. Estos ángulos están representados por valores positivos en sentido antihorario. De manera similar, podemos representar ángulos con valores negativos en el sentido de las agujas del reloj. Por ejemplo, el ángulo 270 ⁰ en anti-sentido de las agujas del reloj es igual al ángulo de -90 ⁰ en la dirección de las agujas del reloj.

Reglas para dibujar gráficos polares

Siga estas reglas para trazar las gráficas polares.

• Sustituir, $s = j\omega$ en la función de transferencia de bucle abierto.

• Escribe las expresiones para la magnitud y la fase de $G(j\omega)H(j\omega)$.

• Encuentre la magnitud inicial y la fase de $G(j\omega)H(j\omega)$ sustituyendo $\omega = 0$. Entonces, la gráfica polar comienza con esta magnitud y el ángulo de fase.

• Encuentre la magnitud final y la fase de $G(j\omega)H(j\omega)$ sustituyendo $\omega = \infty$. Entonces, la gráfica polar termina con esta magnitud y el ángulo de fase.

• Compruebe si la gráfica polar se cruza con el eje real, haciendo que el término imaginario de $G(j\omega)H(j\omega)$ igual a cero y encuentre el valor (es) de $\omega$.

• Compruebe si la gráfica polar se cruza con el eje imaginario, haciendo el término real de $G(j\omega)H(j\omega)$ igual a cero y encuentre el valor (es) de $\omega$.

• Para dibujar un diagrama polar con mayor claridad, encuentre la magnitud y la fase de $G(j\omega)H(j\omega)$ considerando los otros valores de $\omega$.

Ejemplo

Considere la función de transferencia de bucle abierto de un sistema de control de bucle cerrado.

$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$

Dibujemos la gráfica polar para este sistema de control usando las reglas anteriores.

Step 1 - Sustituto, $s = j\omega$ en la función de transferencia de bucle abierto.

$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

La magnitud de la función de transferencia de bucle abierto es

$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$

El ángulo de fase de la función de transferencia de bucle abierto es

$$\phi=-90^0-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}$$

Step 2 - La siguiente tabla muestra la magnitud y el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto en $\omega = 0$ rad / seg y $\omega = \infty$ rad / seg.

Frecuencia (rad / seg)	Magnitud	Ángulo de fase (grados)
0	∞	-90 o 270
∞	0	-270 o 90

Entonces, la gráfica polar comienza en (∞, −90 ⁰ ) y termina en (0, −270 ⁰ ). Los términos primero y segundo dentro de los corchetes indican la magnitud y el ángulo de fase respectivamente.

Step 3- Basado en las coordenadas polares inicial y final, esta gráfica polar intersecará el eje real negativo. El ángulo de fase correspondiente al eje real negativo es -180 ⁰ o 180 ⁰ . Entonces, al igualar el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto a -180 ⁰ o 180 ⁰ , obtendremos el$\omega$ valor como $\sqrt{2}$.

Sustituyendo $\omega = \sqrt{2}$ en la magnitud de la función de transferencia de bucle abierto, obtendremos $M = 0.83$. Por lo tanto, la gráfica polar interseca el eje real negativo cuando$\omega = \sqrt{2}$y la coordenada polar es (0.83, −180 ⁰ ).

Entonces, podemos dibujar el diagrama polar con la información anterior en la hoja del gráfico polar.

Las gráficas de Nyquist son la continuación de las gráficas polares para encontrar la estabilidad de los sistemas de control de lazo cerrado variando ω de −∞ a ∞. Eso significa que los gráficos de Nyquist se utilizan para dibujar la respuesta de frecuencia completa de la función de transferencia de bucle abierto.

Criterio de estabilidad de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist funciona en el principle of argument. Establece que si hay P polos y Z ceros están encerrados por la trayectoria cerrada del plano 's', entonces el correspondiente$G(s)H(s)$ el avión debe rodear el origen $P − Z$veces. Entonces, podemos escribir el número de cercos N como,

$$N=P-Z$$

• Si la trayectoria cerrada del plano 's' encerrado contiene solo polos, entonces la dirección del cerco en el $G(s)H(s)$ El plano será opuesto a la dirección del camino cerrado encerrado en el plano 's'.

• Si la trayectoria cerrada del plano 's' encerrado contiene solo ceros, entonces la dirección del cerco en el $G(s)H(s)$ El plano estará en la misma dirección que la del camino cerrado encerrado en el plano 's'.

Apliquemos ahora el principio de argumento a toda la mitad derecha del plano 's' seleccionándolo como un camino cerrado. Esta ruta seleccionada se llamaNyquist contorno.

Sabemos que el sistema de control de lazo cerrado es estable si todos los polos de la función de transferencia de lazo cerrado están en la mitad izquierda del plano 's'. Entonces, los polos de la función de transferencia de bucle cerrado no son más que las raíces de la ecuación característica. A medida que aumenta el orden de la ecuación característica, es difícil encontrar las raíces. Entonces, correlacionemos estas raíces de la ecuación característica de la siguiente manera.

• Los polos de la ecuación característica son los mismos que los polos de la función de transferencia de lazo abierto.

• Los ceros de la ecuación característica son los mismos que los de los polos de la función de transferencia de lazo cerrado.

Sabemos que el sistema de control de lazo abierto es estable si no hay un polo de lazo abierto en la mitad derecha del plano 's'.

es decir,$P=0 \Rightarrow N=-Z$

Sabemos que el sistema de control de lazo cerrado es estable si no hay un polo de lazo cerrado en la mitad derecha del plano 's'.

es decir,$Z=0 \Rightarrow N=P$

Nyquist stability criterionestablece que el número de cercos alrededor del punto crítico (1 + j0) debe ser igual a los polos de la ecuación característica, que no son más que los polos de la función de transferencia de lazo abierto en la mitad derecha del plano 's'. El cambio de origen a (1 + j0) da el plano de ecuación característico.

Reglas para dibujar gráficos de Nyquist

Siga estas reglas para trazar las tramas de Nyquist.

• Localice los polos y ceros de la función de transferencia de bucle abierto $G(s)H(s)$ en el plano 's'.

• Dibuja la gráfica polar variando $\omega$de cero a infinito. Si el polo o cero está presente en s = 0, entonces variando$\omega$ de 0+ a infinito para dibujar un diagrama polar.

• Dibuje la imagen especular del gráfico polar anterior para valores de $\omega$que van de −∞ a cero (0 ^- si hay algún polo o cero presente en s = 0).

• El número de semicírculos de radio infinito será igual al número de polos o ceros en el origen. El semicírculo de radio infinito comenzará en el punto donde termina la imagen especular de la gráfica polar. Y este semicírculo de radio infinito terminará en el punto donde comienza la gráfica polar.

Después de dibujar la gráfica de Nyquist, podemos encontrar la estabilidad del sistema de control de lazo cerrado usando el criterio de estabilidad de Nyquist. Si el punto crítico (-1 + j0) se encuentra fuera del cerco, entonces el sistema de control de circuito cerrado es absolutamente estable.

Análisis de estabilidad usando gráficos de Nyquist

A partir de los gráficos de Nyquist, podemos identificar si el sistema de control es estable, marginalmente estable o inestable según los valores de estos parámetros.

• Ganar frecuencia de cruce y frecuencia de cruce de fase
• Ganar margen y margen de fase

Frecuencia de cruce de fase

La frecuencia a la que el gráfico de Nyquist interseca el eje real negativo (el ángulo de fase es 180 ⁰ ) se conoce comophase cross over frequency. Se denota por$\omega_{pc}$.

Ganar frecuencia cruzada

La frecuencia a la que la gráfica de Nyquist tiene la magnitud de uno se conoce como gain cross over frequency. Se denota por$\omega_{gc}$.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre la frecuencia de cruce de fase y la frecuencia de cruce de ganancia se enumera a continuación.

• Si la fase cruza la frecuencia $\omega_{pc}$ es mayor que la frecuencia de cruce de ganancia $\omega_{gc}$, entonces el sistema de control es stable.

• Si la fase cruza la frecuencia $\omega_{pc}$ es igual a la frecuencia de cruce de ganancia $\omega_{gc}$, entonces el sistema de control es marginally stable.

• Si la fase cruza la frecuencia $\omega_{pc}$ es menor que la frecuencia de cruce de ganancia $\omega_{gc}$, entonces el sistema de control es unstable.

Ganar margen

El margen de ganancia $GM$ es igual al recíproco de la magnitud del gráfico de Nyquist en la frecuencia de cruce de fase.

$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$

Dónde, $M_{pc}$ es la magnitud en escala normal a la frecuencia de cruce de fase.

Margen de fase

El margen de fase $PM$es igual a la suma de 180 ⁰ y el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia.

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

Dónde, $\phi_{gc}$ es el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre el margen de ganancia y el margen de fase se enumera a continuación.

• Si el margen de ganancia $GM$ es mayor que uno y el margen de fase $PM$ es positivo, entonces el sistema de control es stable.

• Si el margen de ganancia $GM$ es igual a uno y el margen de fase $PM$ es cero grados, entonces el sistema de control es marginally stable.

• Si el margen de ganancia $GM$ es menor que uno y / o el margen de fase $PM$ es negativo, entonces el sistema de control es unstable.

Hay tres tipos de compensadores: compensadores de retraso, adelanto y retraso-adelanto. Estos son los más utilizados.

Compensador de retraso

El Compensador de retraso es una red eléctrica que produce una salida sinusoidal que tiene el retraso de fase cuando se aplica una entrada sinusoidal. El circuito compensador de retraso en el dominio 's' se muestra en la siguiente figura.

Aquí, el condensador está en serie con la resistencia. $R_2$ y la salida se mide a través de esta combinación.

La función de transferencia de este compensador de retraso es:

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{\alpha} \left( \frac{s+\frac{1}{\tau}}{s+\frac{1}{\alpha\tau}} \right )$$

Dónde,

$$\tau=R_2C$$

$$\alpha=\frac{R_1+R_2}{R_2}$$

De la ecuación anterior, $\alpha$ es siempre mayor que uno.

De la función de transferencia, podemos concluir que el compensador de retraso tiene un polo en $s = − \frac{1}{\alpha \tau}$ y un cero en $s = −\frac{1}{\tau}$. Esto significa que el polo estará más cerca del origen en la configuración polo cero del compensador de retardo.

Sustituir, $s = j\omega$ en la función de transferencia.

$$\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}=\frac{1}{\alpha}\left( \frac{j\omega+\frac{1}{\tau}}{j\omega+\frac{1}{\alpha\tau}}\right )$$

Ángulo de fase $\phi = \tan^{−1} \omega\tau − tan^{−1} \alpha\omega\tau$

Sabemos que la fase de la señal sinusoidal de salida es igual a la suma de los ángulos de fase de la señal sinusoidal de entrada y la función de transferencia.

Entonces, para producir el desfase en la salida de este compensador, el ángulo de fase de la función de transferencia debe ser negativo. Esto sucederá cuando$\alpha > 1$.

Compensador de plomo

El compensador de adelanto es una red eléctrica que produce una salida sinusoidal con adelanto de fase cuando se aplica una entrada sinusoidal. El circuito del compensador de adelanto en el dominio 's' se muestra en la siguiente figura.

Aquí, el condensador es paralelo a la resistencia. $R_1$ y la salida se mide a través de la resistencia $ R_2.

La función de transferencia de este compensador de plomo es:

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$

Dónde,

$$ \ tau = R_1C $$

$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$

De la función de transferencia, podemos concluir que el compensador principal tiene un polo en $ s = - \ frac {1} {\ beta}$ and zero at $s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.

Sustituya $ s = j \ omega $ en la función de transferencia.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$

Ángulo de fase $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $

Sabemos que la fase de la señal sinusoidal de salida es igual a la suma de los ángulos de fase de la señal sinusoidal de entrada y la función de transferencia.

Entonces, para producir el adelanto de fase en la salida de este compensador, el ángulo de fase de la función de transferencia debe ser positivo. Esto sucederá cuando $ 0 <\ beta <1 $. Por lo tanto, el cero estará más cerca del origen en la configuración polo cero del compensador de adelanto.

Compensador de retraso-adelanto

El compensador Lag-Lead es una red eléctrica que produce un desfase en una región de frecuencia y un adelanto de fase en otra región de frecuencia. Es una combinación de los compensadores de retraso y de adelanto. El circuito compensador de retraso-adelanto en el dominio 's' se muestra en la siguiente figura.

Este circuito parece que ambos compensadores están en cascada. Entonces, la función de transferencia de este circuito será el producto de las funciones de transferencia de los compensadores de adelanto y retraso.

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Sabemos que $ \ alpha \ beta = 1 $.

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right) \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Dónde,

$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$

$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$

Los distintos tipos de controladores se utilizan para mejorar el rendimiento de los sistemas de control. En este capítulo, discutiremos los controladores básicos como el proporcional, el derivado y el integral.

Controlador proporcional

El controlador proporcional produce una salida que es proporcional a la señal de error.

$$ u (t) \ propto e (t) $$

$$ \ Flecha derecha u (t) = K_P e (t) $$

Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados -

$$ U (s) = K_P E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P $$

Por lo tanto, la función de transferencia del controlador proporcional es $ K_P $.

Dónde,

U (s) es la transformada de Laplace de la señal de actuación u (t)

E (s) es la transformada de Laplace de la señal de error e (t)

K _P es la constante de proporcionalidad

El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador proporcional se muestra en la siguiente figura.

El controlador proporcional se utiliza para cambiar la respuesta transitoria según el requisito.

Controlador derivado

El controlador derivado produce una salida, que es una derivada de la señal de error.

$$ u (t) = K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$

Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.

$$ U (s) = K_D sE (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_D s $$

Por lo tanto, la función de transferencia del controlador derivado es $ K_D s $.

Donde, $ K_D $ es la constante derivada.

El diagrama de bloques del sistema de control de bucle cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador derivado se muestra en la siguiente figura.

El controlador derivado se utiliza para convertir el sistema de control inestable en uno estable.

Controlador integral

El controlador integral produce una salida, que es integral de la señal de error.

$$ u (t) = K_I \ int e (t) dt $$

Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados -

$$ U (s) = \ frac {K_I E (s)} {s} $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = \ frac {K_I} {s} $$

Por lo tanto, la función de transferencia del controlador integral es $ \ frac {K_I} {s} $.

Donde, $ K_I $ es la constante integral.

El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador integral se muestra en la siguiente figura.

El controlador integral se usa para disminuir el error de estado estable.

Analicemos ahora sobre la combinación de controladores básicos.

Controlador proporcional derivado (PD)

El controlador derivado proporcional produce una salida, que es la combinación de las salidas de los controladores derivado y proporcional.

$$ u (t) = K_P e (t) + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$

Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados -

$$ U (s) = (K_P + K_D s) E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + K_D s $$

Por lo tanto, la función de transferencia del controlador derivado proporcional es $ K_P + K_D s $.

El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador derivativo proporcional se muestra en la siguiente figura.

El controlador derivado proporcional se utiliza para mejorar la estabilidad del sistema de control sin afectar el error de estado estable.

Controlador proporcional integral (PI)

El controlador integral proporcional produce una salida, que es la combinación de salidas de los controladores proporcional e integral.

$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt $$

Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados -

$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} \ right) E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} $$

Por lo tanto, la función de transferencia del controlador integral proporcional es $ K_P + \ frac {K_I} {s} $.

El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador integral proporcional se muestra en la siguiente figura.

El controlador integral proporcional se utiliza para disminuir el error de estado estable sin afectar la estabilidad del sistema de control.

Controlador proporcional integral derivado (PID)

El controlador proporcional integral derivado produce una salida, que es la combinación de las salidas de los controladores proporcionales, integrales y derivados.

$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$

Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados -

$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s \ right) E (s) $$

$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $$

Por lo tanto, la función de transferencia del controlador derivado integral proporcional es $ K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $.

El diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria junto con el controlador derivado integral proporcional se muestra en la siguiente figura.

El controlador derivado integral proporcional se utiliza para mejorar la estabilidad del sistema de control y disminuir el error de estado estable.

los state space model del sistema Linear Time-Invariant (LTI) se puede representar como,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

La primera y la segunda ecuaciones se conocen como ecuación de estado y ecuación de salida, respectivamente.

Dónde,

• X y $ \ dot {X} $ son el vector de estado y el vector de estado diferencial respectivamente.

• U e Y son vector de entrada y vector de salida respectivamente.

• A es la matriz del sistema.

• B y C son las matrices de entrada y salida.

• D es la matriz de retroalimentación.

Conceptos básicos del modelo de espacio de estados

La siguiente terminología básica involucrada en este capítulo.

Estado

Es un grupo de variables, que resume la historia del sistema para predecir los valores futuros (salidas).

Variable de estado

El número de variables de estado requeridas es igual al número de elementos de almacenamiento presentes en el sistema.

Examples - corriente que fluye a través del inductor, voltaje a través del condensador

Vector de estado

Es un vector que contiene las variables de estado como elementos.

En los capítulos anteriores, hemos discutido dos modelos matemáticos de los sistemas de control. Estos son el modelo de ecuación diferencial y el modelo de función de transferencia. El modelo de espacio de estados se puede obtener a partir de cualquiera de estos dos modelos matemáticos. Analicemos ahora estos dos métodos uno por uno.

Modelo de espacio de estados a partir de ecuación diferencial

Considere la siguiente serie del circuito RLC. Tiene un voltaje de entrada, $ v_i (t)$ and the current flowing through the circuit is $yo (t) $.

Hay dos elementos de almacenamiento (inductor y condensador) en este circuito. Entonces, el número de variables de estado es igual a dos y estas variables de estado son la corriente que fluye a través del inductor, $ i (t)$ and the voltage across capacitor, $v_c (t) $.

Desde el circuito, el voltaje de salida, $ v_0 (t)$ is equal to the voltage across capacitor, $v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Aplicar KVL alrededor del bucle.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Flecha derecha \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

El voltaje a través del capacitor es -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Diferenciar la ecuación anterior con respecto al tiempo.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Vector de estado, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Vector de estado diferencial, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Podemos organizar las ecuaciones diferenciales y la ecuación de salida en la forma estándar del modelo de espacio de estados como,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Dónde,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: y \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

Modelo de espacio de estado de la función de transferencia

Considere los dos tipos de funciones de transferencia según el tipo de términos presentes en el numerador.

• Función de transferencia que tiene un término constante en el numerador.
• Función de transferencia que tiene una función polinomial de 's' en Numerador.

Función de transferencia que tiene un término constante en el numerador

Considere la siguiente función de transferencia de un sistema

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ PS

Rearrange, the above equation as

$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)Y(s)=b_0 U(s)$$

Apply inverse Laplace transform on both sides.

$$\frac{\text{d}^ny(t)}{\text{d}t^n}+a_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}y(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+a_1\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+a_0y(t)=b_0 u(t)$$

Let

$$y(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

$$\frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{\text{d}^{n-1}y(t)}{\text{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{\text{d}^ny(t)}{\text{d}t^n}=\dot{x}_n$$

and $u(t)=u$

Then,

$$\dot{x}_n+a_{n-1}x_n+...+a_1x_2+a_0x_1=b_0 u$$

From the above equation, we can write the following state equation.

$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+b_0 u$$

The output equation is -

$$y(t)=y=x_1$$

The state space model is -

$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \\\vdots \\\dot{x}_{n-1} \\\dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

Here, $D=\left [ 0 \right ].$

Example

Find the state space model for the system having transfer function.

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

Rearrange, the above equation as,

$$(s^2+s+1)Y(s)=U(s)$$

Apply inverse Laplace transform on both the sides.

$$\frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+y(t)=u(t)$$

Let

$$y(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

and $u(t)=u$

Then, the state equation is

$$\dot{x}_2=-x_1-x_2+u$$

The output equation is

$$y(t)=y=x_1$$

The state space model is

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}\left [u \right ]$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

Transfer function having polynomial function of ‘s’ in Numerator

Consider the following transfer function of a system

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\left( \frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0} \right )(b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)$$

The above equation is in the form of product of transfer functions of two blocks, which are cascaded.

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\left(\frac{V(s)}{U(s)} \right ) \left(\frac{Y(s)}{V(s)} \right )$$

Here,

$$\frac{V(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

Rearrange, the above equation as

$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)V(s)=U(s)$$

Apply inverse Laplace transform on both the sides.

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+a_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+a_1 \frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+a_0v(t)=u(t)$$

Let

$$v(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}v((t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

$$\frac{\text{d}^2v(t)}{\text{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}=\dot{x}_n$$

and $u(t)=u$

Then, the state equation is

$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u$$

Consider,

$$\frac{Y(s)}{V(s)}=b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0$$

Rearrange, the above equation as

$$Y(s)=(b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)V(s)$$

Apply inverse Laplace transform on both the sides.

$$y(t)=b_n\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+b_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+b_1\frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+b_0v(t)$$

By substituting the state variables and $y(t)=y$ in the above equation, will get the output equation as,

$$y=b_n\dot{x}_n+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

Substitute, $\dot{x}_n$ value in the above equation.

$$y=b_n(-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u)+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

$$y=(b_0-b_na_0)x_1+(b_1-b_na_1)x_2+...+(b_{n-1}-b_na_{n-1})x_n+b_n u$$

The state space model is

$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \\\vdots \\\dot{x}_{n-1} \\\dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=[b_0-b_na_0 \quad b_1-b_na_1 \quad ... \quad b_{n-2}-b_na_{n-2} \quad b_{n-1}-b_na_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

If $b_n = 0$, then,

$$Y=[b_0 \quad b_1 \quad ...\quad b_{n-2} \quad b_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

In the previous chapter, we learnt how to obtain the state space model from differential equation and transfer function. In this chapter, let us discuss how to obtain transfer function from the state space model.

Transfer Function from State Space Model

We know the state space model of a Linear Time-Invariant (LTI) system is -

$$\dot{X}=AX+BU$$

$$Y=CX+DU$$

Apply Laplace Transform on both sides of the state equation.

$$sX(s)=AX(s)+BU(s)$$

$$\Rightarrow (sI-A)X(s)=BU(s)$$

$$\Rightarrow X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$$

Apply Laplace Transform on both sides of the output equation.

$$Y(s)=CX(s)+DU(s)$$

Substitute, X(s) value in the above equation.

$$\Rightarrow Y(s)=C(sI-A)^{-1}BU(s)+DU(s)$$

$$\Rightarrow Y(s)=[C(sI-A)^{-1}B+D]U(s)$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

The above equation represents the transfer function of the system. So, we can calculate the transfer function of the system by using this formula for the system represented in the state space model.

Note − When $D = [0]$, the transfer function will be

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B$$

Example

Let us calculate the transfer function of the system represented in the state space model as,

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}[u]$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

Here,

$$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}, \quad C=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \quad and \quad D=[0]$$

The formula for the transfer function when $D = [0]$ is -

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B$$

Substitute, A, B & C matrices in the above equation.

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}s+1 & 1 \\-1 & s \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \frac{\begin{bmatrix}s & -1 \\1 & s+1 \end{bmatrix}}{(s+1)s-1(-1)}\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}s \\1 \end{bmatrix}}{s^2+s+1}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

Therefore, the transfer function of the system for the given state space model is

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

State Transition Matrix and its Properties

If the system is having initial conditions, then it will produce an output. Since, this output is present even in the absence of input, it is called zero input response $x_{ZIR}(t)$. Mathematically, we can write it as,

$$x_{ZIR}(t)=e^{At}X(0)=L^{-1}\left \{ \left [ sI-A \right ]^{-1}X(0) \right \}$$

From the above relation, we can write the state transition matrix $\phi(t)$ as

$$\phi(t)=e^{At}=L^{-1}[sI-A]^{-1}$$

So, the zero input response can be obtained by multiplying the state transition matrix $\phi(t)$ with the initial conditions matrix.

Following are the properties of the state transition matrix.

• If $t = 0$, then state transition matrix will be equal to an Identity matrix.

  $$\phi(0) = I$$

• Inverse of state transition matrix will be same as that of state transition matrix just by replcing ‘t’ by ‘-t’.

  $$\phi^{-1}(t) = \phi(−t)$$

• If $t = t_1 + t_2$ , then the corresponding state transition matrix is equal to the multiplication of the two state transition matrices at $t = t_1$ and $t = t_2$.

  $$\phi(t_1 + t_2) = \phi(t_1) \phi(t_2)$$

Controllability and Observability

Let us now discuss controllability and observability of control system one by one.

Controllability

A control system is said to be controllable if the initial states of the control system are transferred (changed) to some other desired states by a controlled input in finite duration of time.

We can check the controllability of a control system by using Kalman’s test.

• Write the matrix $Q_c$ in the following form.

  $$Q_c=\left [ B \quad AB \quad A^2B \quad ...\quad A^{n-1}B \right ]$$

• Find the determinant of matrix $Q_c$ and if it is not equal to zero, then the control system is controllable.

Observability

A control system is said to be observable if it is able to determine the initial states of the control system by observing the outputs in finite duration of time.

We can check the observability of a control system by using Kalman’s test.

• Write the matrix $Q_o$ in following form.

  $$Q_o=\left [ C^T \quad A^TC^T \quad (A^T)^2C^T \quad ...\quad (A^T)^{n-1}C^T \right ]$$

• Find the determinant of matrix $Q_o$ and if it is not equal to zero, then the control system is observable.

Example

Let us verify the controllability and observability of a control system which is represented in the state space model as,

$$\dot{x}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} [u]$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

Here,

$$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}, D=[0]\quad and \quad n=2$$

For $n = 2$, the matrix $Q_c$ will be

$$Q_c=\left [B \quad AB \right ]$$

We will get the product of matrices A and B as,

$$AB=\begin{bmatrix}-1 \\1 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow Q_c =\begin{bmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$|Q_c|=1 \neq 0$$

Since the determinant of matrix $Q_c$ is not equal to zero, the given control system is controllable.

For $n = 2$, the matrix $Q_o$ will be -

$$Q_o=\left [C^T \quad A^TC^T \right ]$$

Here,

$$A^T=\begin{bmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix} \quad and \quad C^T=\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$$

We will get the product of matrices $A^T$ and $C^T$ as

$$A^TC^T=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow Q_o=\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow |Q_o|=-1 \quad \neq 0$$

Since, the determinant of matrix $Q_o$ is not equal to zero, the given control system is observable.

Therefore, the given control system is both controllable and observable.