Sistemas de control - Nyquist Plots

Las gráficas de Nyquist son la continuación de las gráficas polares para encontrar la estabilidad de los sistemas de control de lazo cerrado variando ω de −∞ a ∞. Eso significa que los gráficos de Nyquist se utilizan para dibujar la respuesta de frecuencia completa de la función de transferencia de bucle abierto.

Criterio de estabilidad de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist funciona en el principle of argument. Establece que si hay P polos y Z ceros están encerrados por la trayectoria cerrada del plano 's', entonces el plano $ G (s) H (s) $ correspondiente debe rodear el origen $ P - Z $ veces. Entonces, podemos escribir el número de cercos N como,

$$ N = PZ $$

Si la trayectoria cerrada del plano 's' encerrado contiene solo polos, entonces la dirección del cerco en el plano $ G (s) H (s) $ será opuesta a la dirección de la trayectoria cerrada cerrada en el plano 's'.
Si la trayectoria cerrada del plano 's' encerrado contiene solo ceros, entonces la dirección del cerco en el plano $ G (s) H (s) $ será en la misma dirección que la de la trayectoria cerrada cerrada en la 's' avión.

Apliquemos ahora el principio de argumento a toda la mitad derecha del plano 's' seleccionándolo como un camino cerrado. Esta ruta seleccionada se llamaNyquist contorno.

Sabemos que el sistema de control de lazo cerrado es estable si todos los polos de la función de transferencia de lazo cerrado están en la mitad izquierda del plano 's'. Entonces, los polos de la función de transferencia de bucle cerrado no son más que las raíces de la ecuación característica. A medida que aumenta el orden de la ecuación característica, es difícil encontrar las raíces. Entonces, correlacionemos estas raíces de la ecuación característica de la siguiente manera.

Los polos de la ecuación característica son los mismos que los polos de la función de transferencia de bucle abierto.
Los ceros de la ecuación característica son los mismos que los de los polos de la función de transferencia de lazo cerrado.

Sabemos que el sistema de control de lazo abierto es estable si no hay un polo de lazo abierto en la mitad derecha del plano 's'.

es decir, $ P = 0 \ Flecha derecha N = -Z $

Sabemos que el sistema de control de lazo cerrado es estable si no hay un polo de lazo cerrado en la mitad derecha del plano 's'.

es decir, $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criterionestablece que el número de cercos alrededor del punto crítico (1 + j0) debe ser igual a los polos de la ecuación característica, que no es más que los polos de la función de transferencia de lazo abierto en la mitad derecha del plano 's'. El cambio de origen a (1 + j0) da el plano de ecuación característico.

Reglas para dibujar gráficos de Nyquist

Siga estas reglas para trazar las tramas de Nyquist.

Localice los polos y ceros de la función de transferencia de lazo abierto $ G (s) H (s) $ en el plano 's'.
Dibuja la gráfica polar variando $ \ omega $ de cero a infinito. Si hay polo o cero presente en s = 0, entonces variando $ \ omega $ de 0+ a infinito para dibujar un diagrama polar.
Dibuje la imagen especular de la gráfica polar anterior para valores de $ \ omega $ que van de −∞ a cero (0 ^- si hay algún polo o cero presente en s = 0).
El número de semicírculos de radio infinito será igual al número de polos o ceros en el origen. El semicírculo de radio infinito comenzará en el punto donde termina la imagen especular del gráfico polar. Y este semicírculo de radio infinito terminará en el punto donde comienza la gráfica polar.

Después de dibujar la gráfica de Nyquist, podemos encontrar la estabilidad del sistema de control de lazo cerrado usando el criterio de estabilidad de Nyquist. Si el punto crítico (-1 + j0) se encuentra fuera del cerco, entonces el sistema de control de circuito cerrado es absolutamente estable.

Análisis de estabilidad utilizando gráficos de Nyquist

A partir de los gráficos de Nyquist, podemos identificar si el sistema de control es estable, marginalmente estable o inestable según los valores de estos parámetros.

Ganar frecuencia de cruce y frecuencia de cruce de fase
Ganar margen y margen de fase

Frecuencia de cruce de fase

La frecuencia a la que la gráfica de Nyquist interseca el eje real negativo (el ángulo de fase es 180 ⁰ ) se conoce comophase cross over frequency. Se indica con $ \ omega_ {pc} $.

Ganar frecuencia cruzada

La frecuencia a la que la gráfica de Nyquist tiene la magnitud de uno se conoce como gain cross over frequency. Se indica con $ \ omega_ {gc} $.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre la frecuencia de cruce de fase y la frecuencia de cruce de ganancia se enumera a continuación.

Si la frecuencia de cruce de fase $ \ omega_ {pc} $ es mayor que la frecuencia de cruce de ganancia $ \ omega_ {gc} $, entonces el sistema de control es stable.
Si la frecuencia de cruce de fase $ \ omega_ {pc} $ es igual a la frecuencia de cruce de ganancia $ \ omega_ {gc} $, entonces el sistema de control es marginally stable.
Si la frecuencia de cruce de fase $ \ omega_ {pc} $ es menor que la frecuencia de cruce de ganancia $ \ omega_ {gc} $, entonces el sistema de control es unstable.

Ganar margen

El margen de ganancia $ GM $ es igual al recíproco de la magnitud del gráfico de Nyquist en la frecuencia de cruce de fase.

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

Donde, $ M_ {pc} $ es la magnitud en escala normal a la frecuencia de cruce de fase.

Margen de fase

El margen de fase $ PM $ es igual a la suma de 180 ⁰ y el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia.

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Donde, $ \ phi_ {gc} $ es el ángulo de fase en la frecuencia de cruce de ganancia.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre el margen de ganancia y el margen de fase se enumera a continuación.

Si el margen de ganancia $ GM $ es mayor que uno y el margen de fase $ PM $ es positivo, entonces el sistema de control es stable.
Si el margen de ganancia $ GM $ es igual a uno y el margen de fase $ PM $ es cero grados, entonces el sistema de control es marginally stable.
Si el margen de ganancia $ GM $ es menor que uno y / o el margen de fase $ PM $ es negativo, entonces el sistema de control es unstable.