उत्तल अनुकूलन - आंतरिक उत्पाद

इनर उत्पाद एक फ़ंक्शन है जो वैक्टर के एक जोड़े को एक स्केलर देता है।

इनर प्रोडक्ट - $ f: \ mathbb {R} ^ n \ times \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ kappa $ जहां $ \ kappa $ एक अदिश राशि है।

आंतरिक उत्पाद की बुनियादी विशेषताएं इस प्रकार हैं -

$ $ \ In \ mathbb {R} ^ n $ होने दें

• $ \ बाएँ \ langle x, x \ right \ rangle \ geq 0, x $ में \ forall x \

• $ \ left \ langle x, x \ right \ rangle = 0 \ Leftrightarrow x = 0, \ forall x \ "$ $

• $ \ left \ langle \ Alpha x, y \ right \ rangle = \ alpha \ left \ langle x, y \ right \ rangle, \ forall \ Alpha \ in \ kappa \: और \: \ forall x, y \ X में $

• $ \ बाएँ \ langle x + y, z \ दाएँ \ rangle = \ बाएँ \ langle x, z \ दाएँ \ rangle + \ बाएँ \ langle y, z \ दाएँ \ rangle, \ forall x, y, z \ _ in X $

• $ \ बाएँ \ langle \ overline {y, x} \ right \ rangle = \ बाएँ (x, y \ दाएँ), \ forall x, y \ x $ में

Note -

• आदर्श और आंतरिक उत्पाद के बीच संबंध: $ \ left \ | x \ right \ | = \ sqrt {\ left (x, x \ right)} $

• $ \ forall x, y \ in \ mathbb {R} ^ n, \ left \ langle x, y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n $

उदाहरण

1. $ x = \ बाएँ (1,2,1 \ दाएँ) के आंतरिक उत्पाद का पता लगाएं: \ और \: y = \ बाएँ (3, -1,3 \ दाएँ) $

समाधान

$ \ left \ langle x, y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 $

$ \ बाएँ \ langle x, y \ right \ rangle = \ बाएँ (1 \ times3 \ दाएँ) + \ बाएँ (2 \ बार-1 \ दाएँ) + \ बाएँ (1 \ times3 \ दाएँ) $

$ \ left \ langle x, y \ right \ rangle = 3 + \ बाएँ (-2 \ दाएँ) + 3 $

$ \ left \ langle x, y \ right \ rangle = 4 $

2. यदि $ x = \ बाएँ (4,9,1 \ दाएँ), y = \ बाएँ (-3,5,1 \ दाएँ) $ और $ z = \ बाएँ (2,4,1 \ दाएँ) $, $ $ बाएँ (x + y, z \ दाएँ) $ खोजें

समाधान

जैसा कि हम जानते हैं, $ \ left \ langle x + y, z \ दाएँ \ rangle = \ बाएँ \ langle x, z \ दाएँ \ rangle + \ बाएँ \ langle y, z \ दाएँ \ rangle $

$ \ बाएँ \ langle x + y, z \ दाएँ \ rangle = \ बाएँ (x_1z_1 + x_2z_2 + x_3z_3 \ दाएँ) + \ बाएँ (y_1z_1 + y_2z_2 + y_3z_3 \ दाएँ) $

$ \ बाएँ \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ बाएँ \ {\ बाएँ (4 \ 2 बार 2 दाएँ) + \ बाएँ (9 \ 4 बार \ दाएँ) + \ बाएँ (1 \ times1 \ दाएँ) \ दाएँ \} + $

$ \ बाएँ \ {\ बाएँ (-3 \ times2 \ दाएँ) + \ बाएँ (5 \ times4 \ दाएँ) + \ बाएँ (1 \ बार 1 \ दाएँ) \ दाएँ \ "$

$ \ बाएँ \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ बाएँ (8 + 36 + 1 \ दाएँ) + \ बाएँ (-6 + 20 + 1 \ दाएँ) $

$ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = 45 + 15 $

$ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = 60 $