उत्तल अनुकूलन - जेन्सेन की असमानता

S को $ \ mathbb {R} ^ n $ और $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ में एक गैर-रिक्त उत्तल सेट सेट करें। तब f उत्तल है यदि और केवल यदि प्रत्येक पूर्णांक $ k> 0 $ के लिए

$ x_1, x_2, ... x_k \ _ in, \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0, \ forall i - 1,2, s, k $। हमारे पास $ f \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i \ right) \ leq \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ k \ lambda _if \ left (x \ right) है $

प्रमाण

कश्मीर पर प्रेरण द्वारा।

$ k = 1: x_1 \ _ S $ इसलिए $ f \ left (\ lambda_1 x_1 \ right) \ leq \ lambda_i f \ left (x_1 \ right) $ क्योंकि $ \ lambda_i = 1 $।

$ k = 2: \ lambda_1 + \ lambda_2 = 1 $ और $ x_1, x_2 \ _ S $ में

इसलिए, एस $ में $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \

इसलिए परिभाषा के अनुसार, $ f \ बाएँ (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 \ दाएँ) \ leq \ lambda _1f \ बाएँ (x_1 \ दाएँ) + \ lambda _2f \ बाएँ (x_2 \ दाएँ) $

$ N <k $ के लिए कथन सत्य है

इसलिए,

$ f \ बाएँ (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 + .... + \ _ lambda_k x_k \ right) \ leq \ lambda_1 f \ बाएँ (x_1 \ दाएँ) + \ lambda_2 f \ बाएँ (x_2 \ दाएँ) + ... + ... \ lambda_k f \ left (x_k \ right) $

$ k = n + 1: $ Let $ x_1, x_2, .... x_n, x_ {n + 1} S $ में और $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ {n + 1} = 1 $

इसलिए S $ में $ \ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ....... + \ _ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ _

इस प्रकार, $ f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $

$ = f \ left (\ बाएँ (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ _ mu_n \ right) \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_tu} {\ mu_1 + \ mu_2 + \ mu_3} + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $

$ = f \ left (\ mu_y + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $ जहां $ \ mu = \ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n $

$ y = \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ _ mu_2 + ... + \ mu_n} $ और $ $ mu_1 + \ mu_ {n + 1} = 1, y \ _ in $ S $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq's mu f \ left (y \ right) + \ mu_ {n +1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq $

$ \ बाएँ (\ mu_1 + \ _ mu_2 + ... + \ _ mu_n \ दाएँ) f \ बाएँ (\ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_n {{mu_1 + \ mu_2 + ... + \ _ mu_n} \ दाएँ) + \ mu_ {n + 1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ दाएँ) \ leq का बायां (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ _ mu_n \ n सही) $

$ \ बाईं [\ frac {\ mu_1} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ _ mu_n} f \ left (x_1 \ right) + ... + \ frac {\ _ mu_n} {mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ left (x_n \ right) \ right] + \ mu_ {n + 1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ _ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq का mu_1f \ बाएँ (x_1 \ दाएँ) + \ mu_2f \ बाएँ () x_2 \ right) + .... $

इसलिए साबित हुआ।