SymPy - Integração

O pacote SymPy contém módulo de integrais. Ele implementa métodos para calcular integrais definidas e indefinidas de expressões. O método integrate () é usado para calcular integrais definidos e indefinidos. Para calcular uma integral indefinida ou primitiva, basta passar a variável após a expressão.

Por exemplo -

integrate(f, x)

Para calcular uma integral definida, passe o argumento da seguinte forma -

(integration_variable, lower_limit, upper_limit)

>>> from sympy import * 
>>> x,y = symbols('x y') 
>>> expr=x**2 + x + 1 
>>> integrate(expr, x)

O trecho de código acima fornece uma saída equivalente à expressão abaixo -

$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

>>> expr=sin(x)*tan(x) 
>>> expr 
>>> integrate(expr,x)

O trecho de código acima fornece uma saída equivalente à expressão abaixo -

$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$

O exemplo de integral definida é dado abaixo -

>>> expr=exp(-x**2) 
>>> integrate(expr,(x,0,oo) )

O trecho de código acima fornece uma saída equivalente à expressão abaixo -

$\frac{\sqrt\pi}{2}$

Você pode passar várias tuplas de limite para realizar uma integral múltipla. Um exemplo é dado abaixo -

>>> expr=exp(-x**2 - y**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))

O trecho de código acima fornece uma saída equivalente à expressão abaixo -

$\frac{\pi}{4}$

Você pode criar integrais não avaliados usando o objeto Integral, que pode ser avaliado chamando o método doit ().

>>> expr = Integral(log(x)**2, x) 
>>> expr

O trecho de código acima fornece uma saída equivalente à expressão abaixo -

$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$

>>> expr.doit()

O trecho de código acima fornece uma saída equivalente à expressão abaixo -

$x\log(x)^2 - 2xlog(x) + 2x$

Transformadas Integrais

SymPy suporta vários tipos de transformações integrais como segue -

• laplace_transform
• fourier_transform
• sine_transform
• cosine_transform
• hankel_transform

Essas funções são definidas no módulo sympy.integrals.transforms. Os exemplos a seguir calculam a transformada de Fourier e a transformada de Laplace, respectivamente.

Example 1

>>> from sympy import fourier_transform, exp 
>>> from sympy.abc import x, k 
>>> expr=exp(-x**2) 
>>> fourier_transform(expr, x, k)

Ao executar o comando acima no shell python, a seguinte saída será gerada -

sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)

O que é equivalente a -

$\sqrt\pi * e^{\pi^2k^2}$

Example 2

>>> from sympy.integrals import laplace_transform 
>>> from sympy.abc import t, s, a 
>>> laplace_transform(t**a, t, s)

Ao executar o comando acima no shell python, a seguinte saída será gerada -

(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)