Цифры из $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ написаны и любые два $x,y$ взяты и мы заменяем $x,y$ просто $x+y+xy$

Aug 17 2020

Это действительно хороший вопрос! (Каждый сталкивался с вопросом, который заставляет их любить математику, это мой :)

Пишем серию цифр $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

Теперь мы можем выбрать любые два числа $x$ а также $y$ и мы заменяем эти два числа всего одним числом $x+y+xy$

Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется только одно число, найдите последнее число.

Это меня просто сбило с толку! Серьезно понятия не имею, как действовать дальше. Разве не интересно, что у нас получается одно и то же число, независимо от того, с чего мы начали? Приветствуются все подсказки , как решить эту проблему.

Ответы

8 TeresaLisbon Aug 17 2020 at 00:02

Это неизменный вопрос: представьте себе функцию $f(x_1,...,x_m)$ (где $m$ определенное количество аргументов и $x_i$ являются действительными числами) со следующим свойством: $f(x_1,...,x_m)$ не меняется, когда вы берете любые два из этих $x_i,x_j$ и заменить их просто $x_i+x_j+x_ix_j$.

Что тогда происходит? Если есть только один номер$N$ на доске осталось после всего этого, тогда $f(x_1,...,x_m) = f(N)$, так $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ при условии, что $f(x_1,...,x_m)$ имеет ровно один прообраз.

Подсказка для этой функции $f$ происходит от $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, так что что-то вроде: добавить $1$ ко всем имеющимся у вас числам и умножить эти результаты вместе?

Очевидно, что такая функция работает! В этом случае мы должны добавить$1$к каждому из чисел и умножьте их все. Это похоже на умножение$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, что просто $2011$.

Теперь, какой бы последний номер на доске ни был, один плюс $2011$, так что, это $2010$.

7 JCAA Aug 17 2020 at 00:01

Операция $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ на действительных числах является ассоциативным, поэтому результат не зависит от порядка шагов и равен $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

6 Fawkes4494d3 Aug 17 2020 at 00:04

Предположим, вы выбираете $\frac1m$ а также $\frac1n$ в первую очередь замените их на $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(Обратите внимание, что $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

В следующий ход вы можете выбрать два числа $\frac1a$ а также $\frac1b$, и замененный номер будет выглядеть так же, как указано выше, с $a,b$ замена $m,n$. Однако, если вы выберете новый номер, полученный на предыдущем шаге, т.е.$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ и один из исходных номеров $\frac1a$, то вы заменяете их на $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

Заполните промежуточные шаги, чтобы показать по индукции, что заменяемое число на любом шаге будет выглядеть как $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, так что окончательный ответ будет $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.