Bulanık Mantık - Klasik Küme Teorisi

Bir setfarklı unsurların sırasız bir koleksiyonudur. Küme parantezini kullanarak elemanlarını listeleyerek açık bir şekilde yazılabilir. Elemanların sırası değiştirilirse veya bir kümenin herhangi bir elemanı tekrarlanırsa, kümede herhangi bir değişiklik yapmaz.

Misal

Tüm pozitif tam sayılar kümesi.
Güneş sistemindeki tüm gezegenlerin bir kümesi.
Hindistan'daki tüm eyaletlerden oluşan bir dizi.
Alfabedeki tüm küçük harflerden oluşan bir dizi.

Bir Kümenin Matematiksel Gösterimi

Setler iki şekilde temsil edilebilir -

Kadro veya Tablo Form

Bu formda, bir küme, onu oluşturan tüm elemanlar listelenerek temsil edilir. Öğeler kaşlı ayraç içine alınır ve virgülle ayrılır.

Aşağıda, Kadro veya Tablo Formundaki küme örnekleri verilmiştir -

İngilizce alfabede ünlüler kümesi, A = {a, e, i, o, u}
10'dan küçük tek sayılar kümesi, B = {1,3,5,7,9}

Oluşturucu Gösterimini Ayarla

Bu formda küme, kümenin elemanlarının ortak olarak sahip olduğu bir özellik belirtilerek tanımlanır. Küme, A = {x: p (x)} olarak tanımlanmıştır.

Example 1 - {a, e, i, o, u} kümesi şu şekilde yazılır:

A = {x: x, İngilizce alfabede bir sesli harftir}

Example 2 - {1,3,5,7,9} kümesi şu şekilde yazılır:

B = {x: 1 ≤ x <10 ve (x% 2) ≠ 0}

Bir x elemanı herhangi bir S kümesinin üyesi ise, x∈S ile gösterilir ve eğer bir eleman S kümesinin bir üyesi değilse, y∉S ile gösterilir.

Example - S = {1,1,2,1,7,2}, 1 ∈ S ancak 1,5 ∉ S ise

Bir Kümenin Asalitesi

| S || S | ile gösterilen bir S kümesinin önemi, kümenin elemanlarının sayısıdır. Sayı aynı zamanda kardinal sayı olarak da adlandırılır. Bir kümenin sonsuz sayıda elemanı varsa, onun kardinalitesi ∞∞'dur.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

X ve Y olmak üzere iki küme varsa, | X | = | Y | aynı kardinaliteye sahip iki X ve Y kümesini belirtir. X'teki öğelerin sayısı Y'deki öğelerin sayısına tam olarak eşit olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda, X'ten Y'ye bir "f" önyargılı işlevi vardır.

| X | ≤ | Y | , X'in kardinalitesinin, Y'nin kardinalitesini ayarlamaktan küçük veya ona eşit olduğunu belirtir. X'teki elemanların sayısı Y'ninkinden az veya ona eşit olduğunda meydana gelir. Burada, X'ten Y'ye bir 'f' enjeksiyon fonksiyonu vardır.

| X | <| Y | X'in kardinalitesinin, setin Y'nin kardinalitesinden daha az olduğunu belirtir. X'teki elemanların sayısı Y'ninkinden daha az olduğunda ortaya çıkar. Burada, X'ten Y'ye 'f' işlevi enjeksiyon işlevidir, ancak önyargılı değildir.

Eğer | X | ≤ | Y | ve | X | ≤ | Y | sonra | X | = | Y | . X ve Y kümelerine genel olarakequivalent sets.

Set Türleri

Setler birçok türe ayrılabilir; bunlardan bazıları sonlu, sonsuz, alt küme, evrensel, uygun, tekli küme vb.

Sınırlı set

Belirli sayıda eleman içeren bir küme, sonlu küme olarak adlandırılır.

Example - S = {x | x ∈ N ve 70> x> 50}

Sonsuz Küme

Sonsuz sayıda eleman içeren bir kümeye sonsuz küme denir.

Example - S = {x | x ∈ N ve x> 10}

Alt küme

Bir X kümesi, X'in her bir öğesi Y kümesinin bir öğesi ise, Y kümesinin bir alt kümesidir (X ⊆ Y olarak yazılmıştır).

Example 1- X = {1,2,3,4,5,6} ve Y = {1,2} olsun. Burada Y kümesi, X kümesinin bir alt kümesidir, çünkü Y kümesinin tüm elemanları X kümesinde bulunur. Dolayısıyla, Y⊆X yazabiliriz.

Example 2- X = {1,2,3} ve Y = {1,2,3} olsun. Burada Y kümesi, X kümesinin bir alt kümesidir (uygun bir alt küme değil), çünkü Y kümesinin tüm elemanları X kümesinde. Bu nedenle, Y⊆X yazabiliriz.

Uygun altküme

"Uygun alt küme" terimi "alt küme" olarak tanımlanabilir ancak eşit değildir. Bir X Kümesi, X'in her bir elemanı Y kümesinin bir elemanıysa ve | X | X | Y kümesinin uygun bir alt kümesidir (X ⊂ Y olarak yazılır). <| Y |.

Example- X = {1,2,3,4,5,6} ve Y = {1,2} olsun. Burada Y ⊂ X ayarlayın, çünkü Y'deki tüm öğeler X'te de bulunur ve X, Y kümesinden daha büyük en az bir öğeye sahiptir.

Evrensel set

Belirli bir bağlam veya uygulamadaki tüm öğelerin bir koleksiyonudur. Bu bağlamdaki veya uygulamadaki tüm kümeler, esasen bu evrensel kümenin alt kümeleridir. Evrensel kümeler U olarak temsil edilir.

Example- U'yu dünyadaki tüm hayvanların kümesi olarak tanımlayabiliriz. Bu durumda, tüm memelilerden oluşan bir dizi U'nun bir alt kümesidir, tüm balıkların bir kümesi U'nun bir alt kümesidir, tüm böceklerden oluşan bir dizi U'nun bir alt kümesidir vb.

Boş Küme veya Boş Küme

Boş bir küme hiçbir öğe içermez. Φ ile gösterilir. Boş bir kümedeki eleman sayısı sonlu olduğundan, boş küme sonlu bir kümedir. Boş küme veya boş kümenin önem derecesi sıfırdır.

Example - S = {x | x ∈ N ve 7 <x <8} = Φ

Tekli Set veya Birim Seti

Bir Singleton kümesi veya Birim kümesi yalnızca bir öğe içerir. Bir tekli küme {s} ile gösterilir.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Eşit Küme

İki set aynı öğeleri içeriyorsa, eşit oldukları söylenir.

Example - Eğer A = {1,2,6} ve B = {6,1,2} ise, bunlar eşittir çünkü A kümesinin her elemanı B kümesinin bir elemanı ve B kümesinin her elemanı A kümesinin bir elemanıdır.

Eşdeğer Set

İki kümenin kardinaliteleri aynıysa, bunlara eşdeğer kümeler denir.

Example- Eğer A = {1,2,6} ve B = {16,17,22} ise, A'nın kardinalitesi B'nin kardinalitesine eşit olduğu için bunlar eşdeğerdir, yani | A | = | B | = 3

Çakışan Küme

En az bir ortak öğesi olan iki kümeye örtüşen kümeler denir. Örtüşen kümeler durumunda -

$$ n \ left (A \ cup B \ sağ) = n \ sol (A \ sağ) + n \ sol (B \ sağ) - n \ sol (A \ cap B \ sağ) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ sağ) = n \ left (AB \ sağ) + n \ left (BA \ sağ) + n \ left (A \ cap B \ sağ) $$

$$ n \ left (A \ sağ) = n \ sol (AB \ sağ) + n \ sol (A \ cap B \ sağ) $$

$$ n \ left (B \ sağ) = n \ sol (BA \ sağ) + n \ sol (A \ cap B \ sağ) $$

Example- A = {1,2,6} ve B = {6,12,42} olsun. Ortak bir '6' öğesi vardır, dolayısıyla bu kümeler örtüşen kümelerdir.

Ayrık Set

Ortak bir öğeye sahip değillerse, iki A ve B kümesine ayrık kümeler denir. Bu nedenle, ayrık kümeler aşağıdaki özelliklere sahiptir -

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ sağ) = n \ sol (A \ sağ) + n \ sol (B \ sağ) $$

Example - A = {1,2,6} ve B = {7,9,14} olsun, tek bir ortak eleman yoktur, dolayısıyla bu kümeler örtüşen kümelerdir.

Klasik Setlerde İşlemler

Set İşlemleri arasında Set Union, Set Intersection, Set Difference, Complement of Set ve Cartesian Product bulunur.

Birlik

A ve B kümelerinin birleşimi (A ∪ BA ∪ B ile gösterilir), A'da, B'de veya hem A hem de B'de bulunan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example - A = {10,11,12,13} ve B = {13,14,15} ise, A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - Ortak öğe yalnızca bir kez oluşur.

Kavşak

A ve B kümelerinin kesişimi (A ∩ B ile gösterilir), hem A hem de B'de bulunan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.

Fark / Göreli Tamamlayıcı

A ve B kümelerinin küme farkı (A – B ile gösterilir), yalnızca A'da olan ancak B'de olmayan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, A - B = {x | x ∈ A VE x ∉ B}.

Example- A = {10,11,12,13} ve B = {13,14,15} ise, (A - B) = {10,11,12} ve (B - A) = {14,15} . Burada (A - B) ≠ (B - A) görebiliriz

Bir Setin Tamamlayıcısı

Bir A kümesinin tamamlayıcısı (A ile gösterilir), A kümesinde olmayan öğeler kümesidir. Dolayısıyla, A ′ = {x | x ∉ A}.

Daha spesifik olarak, A '= (U' A) burada U, tüm nesneleri içeren evrensel bir kümedir.

Example - Eğer A = {x | x tamsayılar kümesine aitse} o zaman A ′ = {y | y tek tamsayılar kümesine ait değildir}

Kartezyen Ürün / Çapraz Ürün

N sayıda kümenin Kartezyen çarpımı A1, A2,… A1 × A2 ... × An olarak belirtilen tüm olası sıralı çiftler (x1, x2,… xn) olarak tanımlanabilir, burada x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ Bir

Example - İki set A = {a, b} ve B = {1,2} alırsak,

A ve B'nin Kartezyen çarpımı - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} şeklinde yazılır.

Ve B ve A'nın Kartezyen çarpımı - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} şeklinde yazılır.