(Hyper-) Volumen des Demi- (Hyper-) Würfels
Der Demihyperwürfel wird gebildet, indem die konvexe Hülle des Satzes von Punkten in aufgenommen wird$\{0, 1\}^n$ mit einer geraden Anzahl von $1$s. Man kann sich vorstellen, einen Hyperwürfel zu nehmen und "jeden anderen" Scheitelpunkt abzuschneiden.
Beispiele
Zum Beispiel die $3$-demihypercube (der auch ein regulärer Tetraeder ist) kann mit Eckpunkten beschrieben werden $(0,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, und $(1,1,0)$.
Das $4$-demicube ist der $16$-Zelle .
Frage
Was ist das Hypervolumen des Demihyperwürfels unter dieser Konstruktion?
(Ich konnte diese Informationen auf Wikipedia oder anderswo nicht finden und bin teilweise neugierig, weil sie sich auf meine Frage "https://math.stackexchange.com/q/3813522/121988" beziehen.)
Antworten
Dies könnte ein naiver Ansatz sein.
Der Halbwürfel ist der Würfel, aber wie Sie sagten, mit $2^n/2=2^{n-1}$von seinen Eckpunkten "abgeschnitten". Wie viel schneiden wir jedes Mal ab? Wir schneiden einen Simplex ab, der von den Standardbasisvektoren überspannt wird$e_1,...,e_n$, dessen Volumen ist $1/n!$.
Der Halbwürfel (aufgebaut aus dem Würfel der Kantenlänge 1) sollte also Volumen haben
$$V_n = 1-\frac{2^{n-1}}{n!}.$$
Es ist nicht ganz das, was Sie in Ihrer Antwort erhalten haben. Aber vielleicht liegt der Unterschied nur in der Größe des ursprünglichen Würfels.
Wie Jean Marie kommentierte , erscheint die Formel am Ende von Seite 26 in der Veröffentlichung "Das Volumenprodukt konvexer Körper mit vielen Hyperebenensymmetrien" von Franck Barthe und Matthieu Fradelizi:
Der Demihyperwürfel wird durch Abschneiden aus dem Würfel erhalten $2^{n-1}$ Einfachheiten, deren Eckpunkte ein Eckpunkt sind $x \in \{-1; 1\}^n$ des Würfels so, dass $\prod x_i = -1$ und sein $n$Nachbarn. Sie haben einen rechten Winkel bei$x$ und die Länge der Kanten durch diesen Scheitelpunkt sind $2$ so $$ |DH_n| = 2^n - 2^{n-1} \times \frac{2^n}{n!} = 2^n\left(1 - \frac{2^{n-1}}{n!}\right). $$
Beachten Sie, dass die Autoren den Demihyperwürfel auf der konvexen Hülle von Punkten mit Koordinaten von definieren $\{-1, 1\}$Um das Volumen der Konstruktion in der Frage zu erhalten, dividieren Sie durch einen Faktor von $2^n$nachgiebig $$ 1 - \frac{2^{n-1}}{n!}. $$
Bearbeiten: Das ursprüngliche Zitat, das ich aus dem Papier genommen hatte, gab das Volumenprodukt an , nicht das Volumen, das ich in der Frage angefordert hatte. Diese Antwort wurde korrigiert, um dies widerzuspiegeln.