Limit Superior ist ein Clusterpunkt

Question

Lassen $(x_n)$ eine Sequenz in sein $\mathbb{R}$ und $a\in\mathbb{R}$. Wenn$$(\forall\varepsilon)(\forall m)(0<\varepsilon\land m\in\mathbb{N}\implies(\exists n)(n\in\mathbb{N}\land m\leq n\land |x_n-a|<\varepsilon)),$$ dann $a$wird als Clusterpunkt von bezeichnet$(x_n)$.

Lassen $(x_n)$ eine Sequenz in sein $\mathbb{R}$. Das möchte ich zeigen$\limsup x_n:=\inf_{n\in\mathbb{N}}(\sup_{n\leq k}x_k)$ ist ein Clusterpunkt von $(x_n)$. Ich habe dies bereits für gezeigt$\limsup x_n\in\{\infty,-\infty\}$. Annehmen$\limsup x_n\in\mathbb{R}$. Lassen$0<\varepsilon$ und $m\in\mathbb{N}$. Dann$$\limsup x_n\leq\sup_{m\leq k}x_n.$$ So $\limsup x_n-\varepsilon<\sup_{m\leq k}x_k$. Es gibt$m\leq\ell$ so dass $\limsup x_n-\varepsilon<x_\ell$.

Wie kann ich das zeigen? $x_\ell<\limsup x_n+\varepsilon$? Oder wie kann ich verwenden$x_\ell$ zu finden $x_{\ell'}$ Für welche Ungleichheiten gelten?

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Deutlich, $\limsup x_n<\limsup x_n+\varepsilon$. Daher existiert es$n_0\in\mathbb{N}$ so dass $$\sup_{n_0\leq k}x_k<\limsup x_n+\varepsilon.$$ Wie kann ich diese Tatsache zusammen mit dem, was ich oben gezeigt habe, verwenden, um eine Ganzzahl zu finden? $k\leq m$ für welche $$\limsup x_n-\varepsilon<x_k<\limsup x_n+\varepsilon$$ hält?

Answer 1

Fix $\epsilon > 0$ und $c \in \mathbb N$.

$\limsup x_n = \inf_n \sup_{m \geq n} x_m$also $\limsup x_n + \epsilon$ ist keine Untergrenze für die monoton abnehmende Sequenz $(\sup_{m \geq n} x_m)_n$, also gibt es einige $N$ st für alle $n \geq N$, $\sup_{m \geq n} x_m < \limsup x_n + \epsilon$. Wir können WLOG nehmen$N \geq c$, indem Sie es einfach durch ersetzen $\max(N,c)$.

$\limsup x_n$ ist auch eine Untergrenze für die monoton abnehmende Sequenz $(\sup_{m \geq n} x_m)_n$, so $\sup_{m \geq N} x_m > \limsup x_n - \epsilon$. Also seit dem$\sup$ ist die kleinste Obergrenze, es gibt einige $\ell \geq N \geq c$ st $x_\ell > \limsup x_n - \epsilon$. Dann$x_\ell \leq \sup_{m \geq N} x_n < \limsup x_n + \epsilon$. Daher$\limsup x_n - \epsilon < x_\ell < \limsup x_n + \epsilon$, wie gewünscht.