फूरियर श्रृंखला और रूपांतरण
फ़्रीक्वेंसी डोमेन विश्लेषण के अंतिम ट्यूटोरियल में, हमने चर्चा की कि फ़ॉयर श्रृंखला और फ़ूरियर ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग फ़्रीक्वेंसी डोमेन के सिग्नल को परिवर्तित करने के लिए किया जाता है।
फूरियर
1822 में फूरियर एक गणितज्ञ था। वह फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण को आवृत्ति डोमेन में एक संकेत परिवर्तित करने के लिए देता है।
फोरियर श्रेणी
फूरियर श्रृंखला बस यह बताती है कि, आवधिक संकेतों को एक निश्चित भार के साथ गुणा करने पर साइन और कोज़ाइन के योग में दर्शाया जा सकता है। यह आगे बताता है कि आवधिक संकेतों को निम्नलिखित गुणों के साथ आगे के संकेतों में तोड़ा जा सकता है।
- संकेत साइन और कोजाइन हैं
- संकेत एक दूसरे के हार्मोनिक्स हैं
इसे सचित्र रूप में देखा जा सकता है
उपरोक्त संकेत में, अंतिम संकेत वास्तव में उपरोक्त सभी संकेतों का योग है। यह फूरियर का विचार था।
इसकी गणना कैसे की जाती है
चूँकि हमने फ़्रीक्वेंसी डोमेन में देखा है, कि फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक इमेज को प्रोसेस करने के लिए, हमें पहले इसे फ़्रीक्वेंसी डोमेन में बदलने की ज़रूरत है और हमें इसे स्पेसियल डोमेन में बदलने के लिए आउटपुट का उलटा लेना होगा। यही कारण है कि फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण दोनों के दो सूत्र हैं। एक रूपांतरण के लिए और एक इसे स्थानिक डोमेन में वापस परिवर्तित करने के लिए।
फोरियर श्रेणी
फूरियर श्रृंखला को इस सूत्र द्वारा निरूपित किया जा सकता है।
व्युत्क्रम की गणना इस सूत्र द्वारा की जा सकती है।
फुरियर रूपांतरण
फूरियर रूपांतरण केवल यह बताता है कि गैर आवधिक संकेत जिनके वक्र के नीचे का क्षेत्र परिमित है, को भी एक निश्चित भार से गुणा करने के बाद साइन और कोजाइन के अभिन्न अंग में दर्शाया जा सकता है।
फूरियर रूपांतरण में कई व्यापक अनुप्रयोग शामिल हैं, जिसमें छवि संपीड़न (जैसे JPEG संपीड़न), फ़िल्टरिंग और छवि विश्लेषण शामिल हैं।
फूरियर श्रृंखला और परिवर्तन के बीच अंतर
हालांकि फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण दोनों फूरियर द्वारा दिए गए हैं, लेकिन उनके बीच अंतर फूरियर श्रृंखला आवधिक संकेतों पर लागू होता है और फूरियर रूपांतरण गैर आवधिक संकेतों के लिए लागू होता है।
छवियों पर कौन सा लागू किया जाता है
अब सवाल यह है कि कौन सी छवियों पर लागू किया जाता है, फूरियर श्रृंखला या फूरियर रूपांतरण। खैर, इस सवाल का जवाब इस तथ्य में निहित है कि चित्र क्या हैं। छवियाँ गैर आवधिक हैं। और चूंकि छवियां गैर आवधिक हैं, इसलिए फूरियर रूपांतरण का उपयोग उन्हें आवृत्ति डोमेन में बदलने के लिए किया जाता है।
असतत फूरियर रूपांतरण
चूंकि हम छवियों के साथ काम कर रहे हैं, और वास्तव में डिजिटल छवियों, इसलिए डिजिटल छवियों के लिए हम असतत फूरियर रूपांतरण पर काम करेंगे
एक साइनसॉइड के उपरोक्त फूरियर शब्द पर विचार करें। इसमें तीन चीजें शामिल हैं।
- स्थानिक आवृत्ति
- Magnitude
- Phase
स्थानिक आवृत्ति सीधे छवि की चमक के साथ संबंधित है। साइनसॉइड की परिमाण सीधे इसके विपरीत के साथ संबंधित है। कंट्रास्ट अधिकतम और न्यूनतम पिक्सेल तीव्रता के बीच का अंतर है। चरण में रंग की जानकारी होती है।
2 आयामी असतत फूरियर रूपांतरण का सूत्र नीचे दिया गया है।
असतत फूरियर रूपांतरण वास्तव में नमूना फूरियर रूपांतरण है, इसलिए इसमें कुछ नमूने हैं जो एक छवि को दर्शाता है। उपरोक्त सूत्र में f (x, y) छवि को दर्शाता है, और F (u, v) असतत फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। 2 आयामी उलटा असतत फूरियर रूपांतरण का सूत्र नीचे दिया गया है।
व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण को परिवर्तित करता है फूरियर वापस छवि में बदल जाता है
इस संकेत पर विचार करें
अब हम एक छवि देखेंगे, जिसकी हम एफएफटी परिमाण स्पेक्ट्रम की गणना करेंगे और फिर एफएफटी परिमाण स्पेक्ट्रम को स्थानांतरित कर देंगे और फिर हम उस स्थानांतरित स्पेक्ट्रम का लॉग लेंगे।
मूल छवि
फूरियर रूपांतरण परिमाण स्पेक्ट्रम
शिफ्ट किया गया फूरियर रूपांतरण
स्थानांतरित चुंबकत्व स्पेक्ट्रम
