सिस्टम वर्गीकरण
सिस्टम को निम्नलिखित श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है:
- रैखिक और गैर-रैखिक सिस्टम
- टाइम वेरिएंट और टाइम इनवेरिएंट सिस्टम
- रैखिक समय संस्करण और रैखिक समय अपरिवर्तनीय प्रणाली
- स्थैतिक और गतिशील सिस्टम
- कारण और गैर-कारण प्रणाली
- इनवर्टेबल और नॉन-इंवर्टेबल सिस्टम
- स्थिर और अस्थिर प्रणाली
रैखिक और गैर-रैखिक सिस्टम
एक प्रणाली को रैखिक कहा जाता है जब यह सुपरपोजिशन और समरूप सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। एक्स 1 (टी), एक्स 2 (टी), और आउटपुट क्रमशः वाई 1 (टी), वाई 2 (टी) के रूप में दो प्रणालियों पर विचार करें । फिर, महाशक्ति और समरूप सिद्धांतों के अनुसार,
टी [ए १ एक्स १ (टी) + ए २ एक्स २ (टी)] = ए १ टी [एक्स १ (टी)] + २ टी [एक्स २ (टी)]
$ \ इसलिए, $ T [एक ए १ एक्स १ (टी) + ए २ एक्स २ (टी)] = ए १ वाई १ (टी) + ए २ वाई २ (टी)
उपरोक्त अभिव्यक्ति से, स्पष्ट है कि समग्र प्रणाली की प्रतिक्रिया व्यक्तिगत प्रणाली की प्रतिक्रिया के बराबर है।
Example:
(t) = x 2 (t)
उपाय:
y 1 (t) = T [x 1 (t)] = x 1 2 (t)
y 2 (t) = T [x 2 (t)] = x 2 2 (t)
टी [ए १ एक्स १ (टी) + ए २ एक्स २ (टी)] = [ए १ एक्स १ (टी) + ए २ एक्स २ (टी)] २
जो 1 y 1 (t) + 2 y 2 (t) के बराबर नहीं है । इसलिए प्रणाली को गैर रेखीय कहा जाता है।
टाइम वेरिएंट और टाइम इनवेरिएंट सिस्टम
एक प्रणाली को समय के प्रकार के रूप में कहा जाता है यदि इसकी इनपुट और आउटपुट विशेषताओं समय के साथ बदलती हैं। अन्यथा, सिस्टम को समय अपरिवर्तनीय माना जाता है।
समय अपरिवर्तनीय प्रणाली की स्थिति यह है:
y (n, t) = y (nt)
समय संस्करण प्रणाली के लिए शर्त यह है:
y (n, t) $ \ neq $ y (nt)
जहाँ y (n, t) = T [x (nt)] = इनपुट परिवर्तन
y (nt) = आउटपुट चेंज
Example:
y (n) = x (एन)
y (n, t) = T [x (nt)] = x (-nt)
y (nt) = x (- (nt)) = x (-n + t)
$ \ _ इसलिए $ y (n, t) n y (nt)। इसलिए, सिस्टम टाइम वेरिएंट है।
रैखिक समय संस्करण (LTV) और रैखिक समय Invariant (LTI) सिस्टम
यदि कोई प्रणाली रैखिक और समय दोनों प्रकार की है, तो इसे रैखिक समय संस्करण (LTV) प्रणाली कहा जाता है।
यदि कोई प्रणाली रैखिक और समय दोनों ही अपरिवर्तनीय है तो उस प्रणाली को रैखिक समय व्युत्क्रम (LTI) प्रणाली कहा जाता है।
स्थैतिक और गतिशील सिस्टम
स्टैटिक सिस्टम मेमोरी-कम है जबकि डायनामिक सिस्टम एक मेमोरी सिस्टम है।
Example 1: y (t) = 2 x (t)
वर्तमान मान t = 0 के लिए, सिस्टम आउटपुट y (0) = 2x (0) है। यहां, आउटपुट केवल वर्तमान इनपुट पर निर्भर है। इसलिए सिस्टम मेमोरी कम या स्थिर है।
Example 2: y (t) = २ x (t) + ३ x (t-३)
वर्तमान मान t = 0 के लिए, सिस्टम आउटपुट y (0) = 2x (0) + 3x (-3) है।
यहां x (-3) वर्तमान इनपुट के लिए पिछले मूल्य है जिसके लिए सिस्टम को इस आउटपुट को प्राप्त करने के लिए मेमोरी की आवश्यकता होती है। इसलिए, प्रणाली एक गतिशील प्रणाली है।
Causal and Non-Causal Systems
यदि सिस्टम का उत्पादन वर्तमान और पिछले इनपुट पर निर्भर करता है, और भविष्य के इनपुट पर निर्भर नहीं करता है, तो एक प्रणाली को कारण कहा जाता है।
गैर-कारण प्रणाली के लिए, आउटपुट भविष्य के इनपुट पर भी निर्भर करता है।
Example 1: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3)
वर्तमान मान t = 1 के लिए, सिस्टम आउटपुट y (1) = 2x (1) + 3x (-2) है।
यहां, सिस्टम आउटपुट केवल वर्तमान और पिछले इनपुट पर निर्भर करता है। इसलिए, प्रणाली कारण है।
Example 2: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3) + 6x (t + 3)
वर्तमान मान t = 1 के लिए, सिस्टम आउटपुट y (1) = 2x (1) + 3x (-2) + 6x (4) है, सिस्टम आउटपुट भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है। इसलिए प्रणाली गैर-कारण प्रणाली है।
इन्वर्टिबल और नॉन-इनवर्टेबल सिस्टम
यदि सिस्टम का इनपुट आउटपुट पर दिखाई देता है, तो एक सिस्टम को इन्वर्टिबल कहा जाता है।
Y (S) = X (S) H1 (S) H2 (S)
= X (S) H1 (S) · $ 1 \ _ (H1 (S)) $ H2 (S) = 1 / (H1 (S)) से
$ \ इसलिए, $ Y (S) = X (S)
$ \ से $ y (t) = x (t)
इसलिए, सिस्टम उलटा है।
यदि y (t) $ \ neq $ x (t) है, तो सिस्टम को गैर-उल्टा कहा जाता है।
स्थिर और अस्थिर प्रणाली
सिस्टम को स्थिर तभी कहा जाता है जब आउटपुट बाध्य इनपुट के लिए बाध्य होता है। एक बंधे हुए इनपुट के लिए, यदि आउटपुट सिस्टम में अनबाउंड है, तो इसे अस्थिर कहा जाता है।
Note: एक बंधे हुए संकेत के लिए, आयाम परिमित है।
Example 1:y (t) = x 2 (t)
इनपुट को यू (टी) (यूनिट स्टेप बाउंड इनपुट) तो आउटपुट वाई (टी) = यू 2 (टी) = यू (टी) = बाउंडेड आउटपुट।
इसलिए, सिस्टम स्थिर है।
Example 2: y (t) = $ \ int x (t) \, dt $
बता दें कि इनपुट u (t) (यूनिट स्टेप बाउंड इनपुट) है तो आउटपुट y (t) = $ \ int u (t) \, dt $ = रैम्प सिग्नल (अनबाउंड क्योंकि रैंप का आयाम परिमित नहीं है, जब यह अनंत हो जाता है t $ \ _ से $ अनंत)।
इसलिए, सिस्टम अस्थिर है।