Matematica discreta - Funzioni
UN Functionassegna a ogni elemento di un insieme, esattamente un elemento di un insieme correlato. Le funzioni trovano la loro applicazione in vari campi come la rappresentazione della complessità computazionale degli algoritmi, il conteggio di oggetti, lo studio di sequenze e stringhe, solo per citarne alcuni. Il terzo e ultimo capitolo di questa parte evidenzia gli aspetti importanti delle funzioni.
Funzione - Definizione
Una funzione o mappatura (definita come $ f: X \ rightarrow Y $) è una relazione tra gli elementi di un insieme X e gli elementi di un altro insieme Y (X e Y sono insiemi non vuoti). X si chiama Dominio e Y si chiama Codominio della funzione 'f'.
La funzione 'f' è una relazione su X e Y tale che per ogni $ x \ in X $, esiste un $ y \ unico in Y $ tale che $ (x, y) \ in R $. 'x' è chiamata pre-immagine e 'y' è chiamata immagine della funzione f.
Una funzione può essere uno a uno o molti a uno ma non uno a molti.
Funzione iniettiva / uno-a-uno
Una funzione $ f: A \ rightarrow B $ è una funzione iniettiva o uno-a-uno se per ogni $ b \ in B $, esiste al massimo un $ a \ in A $ tale che $ f (s) = t $ .
Ciò significa una funzione f è iniettivo se $ a_1 \ ne a_2 $ implica $ f (a1) \ ne f (a2) $.
Esempio
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ è iniettiva.
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ è iniettiva.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ non è iniettabile come $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $
Funzione Surjective / Onto
Una funzione $ f: A \ rightarrow B $ è suriettiva (su) se l'immagine di f è uguale al suo intervallo. In modo equivalente, per ogni $ b \ in B $, esiste un po 'di $ a \ in A $ tale che $ f (a) = b $. Ciò significa che per ogni y in B, esiste una x in A tale che $ y = f (x) $.
Esempio
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ è surjective.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ non è suriettivo poiché non possiamo trovare un numero reale il cui quadrato sia negativo.
Corrispondente biettivo / uno-a-uno
Una funzione $ f: A \ rightarrow B $ è biiettiva o corrispondente uno a uno se e solo se f è sia iniettiva che suriettiva.
Problema
Dimostrare che una funzione $ f: R \ rightarrow R $ definita da $ f (x) = 2x - 3 $ è una funzione biiettiva.
Explanation - Dobbiamo dimostrare che questa funzione è sia iniettiva che suriettiva.
Se $ f (x_1) = f (x_2) $, allora $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ e implica che $ x_1 = x_2 $.
Quindi, f è injective.
Qui, $ 2x - 3 = y $
Quindi, $ x = (y + 5) / 3 $ che appartiene a R e $ f (x) = y $.
Quindi, f è surjective.
Da f è Entrambi surjective e injective, possiamo dire f è bijective.
Inversa di una funzione
Il inverse di una funzione corrispondente uno-a-uno $ f: A \ rightarrow B $, è la funzione $ g: B \ rightarrow A $, con la seguente proprietà -
$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $
Viene chiamata la funzione f invertible, se esiste la sua funzione inversa g.
Esempio
Una funzione $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, è invertibile poiché ha la funzione inversa $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.
Una funzione $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ non è invertibile poiché non è uno-a-uno come $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.
Composizione delle funzioni
Due funzioni $ f: A \ rightarrow B $ e $ g: B \ rightarrow C $ possono essere composte per dare una composizione $ gof $. Questa è una funzione da A a C definita da $ (gof) (x) = g (f (x)) $
Esempio
Siano $ f (x) = x + 2 $ e $ g (x) = 2x + 1 $, troviamo $ (nebbia) (x) $ e $ (gof) (x) $.
Soluzione
$ (nebbia) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $
$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $
Quindi, $ (nebbia) (x) \ neq (gof) (x) $
Alcuni fatti sulla composizione
Se feg sono uno a uno, anche la funzione $ (gof) $ è uno a uno.
Se feg sono su, allora anche la funzione $ (gof) $ è su.
La composizione detiene sempre la proprietà associativa ma non la proprietà commutativa.