Matematica discreta - Probabilità

Strettamente correlato ai concetti di conteggio è la probabilità. Spesso proviamo a indovinare i risultati di giochi d'azzardo, come giochi di carte, slot machine e lotterie; cioè proviamo a trovare la probabilità o la probabilità che si ottenga un particolare risultato.

Probabilitypuò essere concettualizzato come trovare la possibilità che si verifichi un evento. Matematicamente, è lo studio dei processi casuali e dei loro risultati. Le leggi della probabilità hanno un'ampia applicabilità in una varietà di campi come la genetica, le previsioni meteorologiche, i sondaggi di opinione, i mercati azionari ecc.

Concetti basilari

La teoria della probabilità fu inventata nel XVII secolo da due matematici francesi, Blaise Pascal e Pierre de Fermat, che si occupavano di problemi matematici riguardanti il caso.

Prima di passare ai dettagli della probabilità, vediamo il concetto di alcune definizioni.

Random Experiment- Un esperimento in cui tutti i possibili risultati sono noti e l'output esatto non può essere previsto in anticipo è chiamato esperimento casuale. Lanciare una moneta equa è un esempio di esperimento casuale.

Sample Space- Quando eseguiamo un esperimento, l'insieme S di tutti i possibili risultati è chiamato spazio campionario. Se lanciamo una moneta, lo spazio campione $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event- Qualsiasi sottoinsieme di uno spazio campione viene chiamato evento. Dopo aver lanciato una moneta, ottenere Testa in cima è un evento.

La parola "probabilità" indica la possibilità che si verifichi un particolare evento. Il meglio che possiamo dire è quanto è probabile che si verifichino, usando l'idea di probabilità.

$ Probabilità \: di \: occorrenza \: di \: an \: evento = \ frac {Totale \: numero \: di \: favorevole \: risultato} {Totale \: numero \: di \: esiti} $

Poiché il verificarsi di qualsiasi evento varia tra lo 0% e il 100%, la probabilità varia tra 0 e 1.

Passaggi per trovare la probabilità

Passaggio 1: calcola tutti i possibili risultati dell'esperimento.

Passaggio 2: calcolare il numero di risultati favorevoli dell'esperimento.

Passaggio 3: applicare la formula di probabilità corrispondente.

Lanciare una moneta

Se viene lanciata una moneta, ci sono due possibili risultati: Testa $ (H) $ o Croce $ (T) $

Quindi, numero totale di risultati = 2

Quindi, la probabilità di ottenere una testa $ (H) $ in cima è 1/2 e la probabilità di ottenere una croce $ (T) $ in cima è 1/2

Lanciare un dado

Quando un dado viene lanciato, sei possibili risultati possono essere in cima: $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.

La probabilità di uno qualsiasi dei numeri è 1/6

La probabilità di ottenere numeri pari è 3/6 = 1/2

La probabilità di ottenere numeri dispari è 3/6 = 1/2

Prendere carte da un mazzo

Da un mazzo di 52 carte, se viene scelta una carta, trova la probabilità che venga pescato un asso e anche la probabilità che venga pescato un diamante.

Numero totale di risultati possibili - 52

Risultati dell'essere un asso - 4

Probabilità di essere un asso = 4/52 = 1/13

Probabilità di essere un diamante = 13/52 = 1/4

Assiomi di probabilità

La probabilità di un evento varia sempre da 0 a 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
Per un evento impossibile la probabilità è 0 e per un certo evento la probabilità è 1.
Se il verificarsi di un evento non è influenzato da un altro evento, vengono chiamati mutuamente esclusivi o disgiunti.

Se $ A_1, A_2 .... A_n $ sono eventi che si escludono a vicenda / disgiunti, allora $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ per $ i \ ne j $ e $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

Proprietà della probabilità

Se ci sono due eventi $ x $ e $ \ overline {x} $ che sono complementari, la probabilità dell'evento complementare è -

$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
Per due eventi non disgiunti A e B, la probabilità dell'unione di due eventi -

$ P (A \ cup B) = P (A) + P (B) $
Se un evento A è un sottoinsieme di un altro evento B (cioè $ A \ sottoinsieme B $), la probabilità di A è minore o uguale alla probabilità di B. Quindi, $ A \ sottoinsieme B $ implica $ P (A ) \ leq p (B) $

Probabilità condizionale

La probabilità condizionale di un evento B è la probabilità che l'evento si verifichi dato che un evento A si è già verificato. Questo è scritto come $ P (B | A) $.

Matematicamente - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

Se gli eventi A e B si escludono a vicenda, la probabilità condizionata dell'evento B dopo l'evento A sarà la probabilità dell'evento B che è $ P (B) $.

Problem 1

In un paese il 50% di tutti gli adolescenti possiede una bicicletta e il 30% di tutti gli adolescenti possiede una bicicletta e una bicicletta. Qual è la probabilità che un adolescente possieda una bicicletta dato che l'adolescente possiede una bicicletta?

Solution

Supponiamo che A sia l'evento di adolescenti che possiedono solo una bicicletta e B sia l'evento di adolescenti che possiedono solo una bicicletta.

Quindi, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ e $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ dal problema dato.

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $

Quindi, la probabilità che un adolescente possieda una bicicletta dato che l'adolescente possiede una bicicletta è del 60%.

Problem 2

In una classe, il 50% di tutti gli studenti gioca a cricket e il 25% di tutti gli studenti gioca a cricket e pallavolo. Qual è la probabilità che uno studente giochi a pallavolo dato che lo studente gioca a cricket?

Solution

Supponiamo che A sia l'evento in cui gli studenti giocano solo a cricket e B sia l'evento in cui gli studenti giocano solo a pallavolo.

Quindi, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ e $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ dal problema dato.

$ P \ lgruppo B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0,25 / 0,5 = 0,5 $

Quindi, la probabilità che uno studente giochi a pallavolo dato che lo studente gioca a cricket è del 50%.

Problem 3

Sei buoni laptop e tre laptop difettosi sono confusi. Per trovare i laptop difettosi, tutti vengono testati uno per uno a caso. Qual è la probabilità di trovare entrambi i laptop difettosi nelle prime due scelte?

Solution

Sia A l'evento in cui troviamo un laptop difettoso nel primo test e B l'evento in cui troviamo un laptop difettoso nel secondo test.

Quindi, $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ volte 2/8 = 1/12 $

Teorema di Bayes

Theorem- Se A e B sono due eventi che si escludono a vicenda, dove $ P (A) $ è la probabilità di A e $ P (B) $ è la probabilità di B, $ P (A | B) $ è la probabilità di A dato che B è vero. $ P (B | A) $ è la probabilità di B dato che A è vero, quindi il teorema di Bayes afferma:

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

Applicazione del teorema di Bayes

In situazioni in cui tutti gli eventi dello spazio campione sono eventi che si escludono a vicenda.
In situazioni in cui è noto $ P (A_i \ cap B) $ per $ A_i $ o $ P (A_i) $ e $ P (B | A_i) $ per $ A_i $.

Problem

Considera tre portapenne. Il primo portapenne contiene 2 penne rosse e 3 penne blu; il secondo ha 3 penne rosse e 2 penne blu; e il terzo ha 4 penne rosse e 1 penna blu. Esiste la stessa probabilità che ciascun supporto per penna venga selezionato. Se una penna viene estratta a caso, qual è la probabilità che sia una penna rossa?

Solution

Sia $ A_i $ l'evento che mi ^esimo è selezionato pen-stand.

Qui, i = 1,2,3.

Poiché la probabilità di scegliere un portapenne è uguale, $ P (A_i) = 1/3 $

Sia B l'evento in cui viene disegnata una penna rossa.

La probabilità che una penna rossa venga scelta tra le cinque penne del primo portapenne,

$ P (B | A_1) = 2/5 $

La probabilità che venga scelta una penna rossa tra le cinque penne del secondo portapenne,

$ P (B | A_2) = 3/5 $

La probabilità che venga scelta una penna rossa tra le cinque penne del terzo portapenne,

$ P (B | A_3) = 4/5 $

Secondo il teorema di Bayes,