TensorFlow - Fondamenti matematici

È importante comprendere i concetti matematici necessari per TensorFlow prima di creare l'applicazione di base in TensorFlow. La matematica è considerata il cuore di qualsiasi algoritmo di apprendimento automatico. È con l'aiuto dei concetti fondamentali della matematica, viene definita una soluzione per uno specifico algoritmo di apprendimento automatico.

Vettore

Una matrice di numeri, continua o discreta, è definita come vettore. Gli algoritmi di apprendimento automatico si occupano di vettori di lunghezza fissa per una migliore generazione di output.

Gli algoritmi di apprendimento automatico gestiscono dati multidimensionali, quindi i vettori svolgono un ruolo cruciale.

La rappresentazione pittorica del modello vettoriale è come mostrato di seguito:

Scalare

Scalare può essere definito come vettore unidimensionale. Gli scalari sono quelli che includono solo la magnitudine e nessuna direzione. Con gli scalari, ci occupiamo solo della grandezza.

Esempi di scalare includono i parametri di peso e altezza dei bambini.

Matrice

Le matrici possono essere definite come array multidimensionali, disposti nel formato di righe e colonne. La dimensione della matrice è definita dalla lunghezza della riga e dalla lunghezza della colonna. La figura seguente mostra la rappresentazione di qualsiasi matrice specificata.

Considerare la matrice con "m" righe e "n" colonne come menzionato sopra, la rappresentazione della matrice sarà specificata come "m * n matrice" che ha definito anche la lunghezza della matrice.

Calcoli matematici

In questa sezione, impareremo i diversi calcoli matematici in TensorFlow.

Aggiunta di matrici

L'aggiunta di due o più matrici è possibile se le matrici sono della stessa dimensione. L'addizione implica l'aggiunta di ogni elemento secondo la posizione data.

Considera il seguente esempio per capire come funziona l'aggiunta di matrici:

$$ Esempio: A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {bmatrix} \: then \: A + B = \ begin {bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \ end {bmatrix} $$

Sottrazione di matrici

La sottrazione di matrici opera in modo simile come l'aggiunta di due matrici. L'utente può sottrarre due matrici a condizione che le dimensioni siano uguali.

$$ Esempio: A- \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} B- \ begin {bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {bmatrix} \: then \: AB - \ begin {bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \ end {bmatrix} - \ begin {bmatrix} -4 & -4 \\ - 4 & -4 \ end {bmatrix} $$

Moltiplicazione di matrici

Affinché due matrici A m * ne B p * q siano moltiplicabili, n dovrebbe essere uguale a p. La matrice risultante è -

C m * q

$$ A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {bmatrix} $$

$$ c_ {11} = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 5 \\ 7 \ end {bmatrix} = 1 \ times5 + 2 \ times7 = 19 \: c_ {12} = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 6 \\ 8 \ end {bmatrix} = 1 \ times6 + 2 \ times8 = 22 $$

$$ c_ {21} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 5 \\ 7 \ end {bmatrix} = 3 \ times5 + 4 \ times7 = 43 \: c_ {22} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 6 \\ 8 \ end {bmatrix} = 3 \ times6 + 4 \ times8 = 50 $$

$$ C = \ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} \\ c_ {21} & c_ {22} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \ end {bmatrix} $$

Trasposizione della matrice

La trasposizione di una matrice A, m * n è generalmente rappresentata da AT (trasposizione) n * m ed è ottenuta trasponendo i vettori colonna come vettori riga.

$$ Esempio: A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \: then \: A ^ {T} \ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \ end { bmatrix} $$

Prodotto scalare di vettori

Qualsiasi vettore di dimensione n può essere rappresentato come una matrice v = R ^ n * 1.

$$ v_ {1} = \ begin {bmatrix} v_ {11} \\ v_ {12} \\\ cdot \\\ cdot \\\ cdot \\ v_ {1n} \ end {bmatrix} v_ {2} = \ begin {bmatrix} v_ {21} \\ v_ {22} \\\ cdot \\\ cdot \\\ cdot \\ v_ {2n} \ end {bmatrix} $$

Il prodotto scalare di due vettori è la somma del prodotto dei componenti corrispondenti - Componenti lungo la stessa dimensione e può essere espresso come

$$ v_ {1} \ cdot v_ {2} = v_1 ^ Tv_ {2} = v_2 ^ Tv_ {1} = v_ {11} v_ {21} + v_ {12} v_ {22} + \ cdot \ cdot + v_ {1n} v_ {2n} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 1} ^ n v_ {1k} v_ {2k} $$

L'esempio del prodotto scalare di vettori è menzionato di seguito:

$$ Esempio: v_ {1} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {bmatrix} v_ {2} = \ begin {bmatrix} 3 \\ 5 \\ - 1 \ end {bmatrix} v_ {1} \ cdot v_ {2} = v_1 ^ Tv_ {2} = 1 \ times3 + 2 \ times5-3 \ times1 = 10 $$