MATLAB-代数

これまでのところ、すべての例がMATLABとそのGNU（別名Octave）で機能することを確認しました。ただし、基本的な代数方程式を解くために、MATLABとOctaveは少し異なるため、MATLABとOctaveについては別々のセクションで説明します。

また、代数式の因数分解と簡略化についても説明します。

MATLABで基本的な代数方程式を解く

ザ・ solve関数は代数方程式を解くために使用されます。最も単純な形式では、solve関数は引用符で囲まれた方程式を引数として取ります。

たとえば、方程式x-5 = 0でxを解きます。

solve('x-5=0')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-

ans =
   5

解決関数を-として呼び出すこともできます

y = solve('x-5 = 0')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-

y =
   5

方程式の右辺を含めないこともできます-

solve('x-5')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-

ans =
   5

方程式に複数のシンボルが含まれている場合、MATLABはデフォルトで、xを解いていると想定しますが、solve関数には別の形式があります-

solve(equation, variable)

ここで、変数について言及することもできます。

たとえば、vについて、方程式v – u – 3t 2 = 0を解きます。この場合、次のように記述します。

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-

ans =
   3*t^2 + u

オクターブでの基本的な代数方程式の解法

ザ・ roots 関数はオクターブの代数方程式を解くために使用され、上記の例を次のように書くことができます。

たとえば、方程式x-5 = 0でxを解きます。

roots([1, -5])

Octaveは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-

ans = 5

解決関数を-として呼び出すこともできます

y = roots([1, -5])

Octaveは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-

y = 5

MATLABで二次方程式を解く

ザ・ solve関数は高階方程式を解くこともできます。二次方程式を解くためによく使用されます。この関数は、方程式の根を配列で返します。

次の例では、2次方程式x 2 -7x +12 = 0を解きます。スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

The first root is: 
   3
The second root is: 
   4

オクターブで二次方程式を解く

次の例では、オクターブの2次方程式x 2 -7x +12 = 0を解きます。スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

The first root is: 
   4
The second root is: 
   3

MATLABで高次方程式を解く

ザ・ solve関数は高階方程式を解くこともできます。たとえば、（x-3）2（x-7）= 0として3次方程式を解きます。

solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-

ans =
   3
   3
   7

高階方程式の場合、根は長く、多くの項を含みます。そのような根の数値は、それらをdoubleに変換することで取得できます。次の例では、4次方程式x 4 − 7x 3 + 3x 2 − 5x + 9 = 0を解きます。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

ファイルを実行すると、次の結果が返されます-

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

最後の2つの根は複素数であることに注意してください。

オクターブで高階方程式を解く

次の例では、4次方程式x 4 − 7x 3 + 3x 2 − 5x + 9 = 0を解きます。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

v = [1, -7,  3, -5, 9];
s = roots(v);

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

ファイルを実行すると、次の結果が返されます-

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

MATLABで連立方程式を解く

ザ・ solve関数を使用して、複数の変数を含む連立方程式の解を生成することもできます。この使用法を示すために、簡単な例を取り上げましょう。

方程式を解きましょう−

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

ans =
   22/19
ans =
   -5/57

同様に、より大きな線形システムを解くことができます。次の一連の方程式を考えてみましょう-

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

オクターブで連立方程式を解く

'n'未知数の 'n'線形方程式のシステムを解くための少し異なるアプローチがあります。この使用法を示すために、簡単な例を取り上げましょう。

方程式を解きましょう−

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

このような連立一次方程式は、単一行列方程式Ax = bとして記述できます。ここで、Aは係数行列、bは線形方程式の右辺を含む列ベクトル、xは解を表す列ベクトルです。以下のプログラムに示されています-

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

ans =

   1.157895
  -0.087719

同様に、以下に示すように、より大きな線形システムを解くことができます。

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

MATLABでの方程式の展開と収集

ザ・ expand そしてその collect関数はそれぞれ方程式を展開して収集します。次の例は、概念を示しています-

多くのシンボリック関数を使用する場合は、変数がシンボリックであることを宣言する必要があります。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

syms x   %symbolic variable x
syms y   %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

オクターブでの方程式の展開と収集

あなたが持っている必要があります symbolic 提供するパッケージ expand そしてその collectそれぞれ方程式を展開および収集する関数。次の例は、概念を示しています-

多くのシンボリック関数を使用する場合は、変数がシンボリックであることを宣言する必要がありますが、Octaveではシンボリック変数を定義するためのアプローチが異なります。の使用に注意してくださいSin そして Cos、シンボリックパッケージでも定義されています。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数式の因数分解と簡略化

ザ・ factor 関数は式を因数分解し、 simplify関数は式を単純化します。次の例は、概念を示しています-

例

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4
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