Matemática Discreta - Funções

UMA Functionatribui a cada elemento de um conjunto, exatamente um elemento de um conjunto relacionado. As funções encontram sua aplicação em vários campos, como representação da complexidade computacional de algoritmos, objetos de contagem, estudo de sequências e strings, para citar alguns. O terceiro e último capítulo desta parte destaca os aspectos importantes das funções.

Função - Definição

Uma função ou mapeamento (Definido como $ f: X \ rightarrow Y $) é um relacionamento dos elementos de um conjunto X com os elementos de outro conjunto Y (X e Y são conjuntos não vazios). X é denominado Domínio e Y é denominado Codomain da função 'f'.

A função 'f' é uma relação em X e Y tal que para cada $ x \ em X $, existe um único $ y \ em Y $ tal que $ (x, y) \ em R $. 'x' é chamado de pré-imagem e 'y' é chamado de imagem da função f.

Uma função pode ser um para um ou muitos para um, mas não um para muitos.

Função injetiva / um-para-um

Uma função $ f: A \ rightarrow B $ é injetiva ou função um-para-um se para cada $ b \ em B $, existe no máximo um $ a \ em A $ tal que $ f (s) = t $ .

Isso significa uma função f é injetivo se $ a_1 \ ne a_2 $ implica $ f (a1) \ ne f (a2) $.

Exemplo

$ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ é injetivo.
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ é injetivo.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ não é injetivo como $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $

Função Surjetiva / Onto

Uma função $ f: A \ rightarrow B $ é sobrejetiva (on) se a imagem de f for igual ao seu intervalo. Equivalentemente, para cada $ b \ em B $, existe algum $ a \ em A $ tal que $ f (a) = b $. Isso significa que, para qualquer y em B, existe algum x em A tal que $ y = f (x) $.

Exemplo

$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ é sobrejetiva.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ não é sobrejetivo, pois não podemos encontrar um número real cujo quadrado seja negativo.

Bijetivo / Correspondente Um-para-um

Uma função $ f: A \ rightarrow B $ é bijetivo ou correspondente um-para-um se e somente se f é injetiva e sobrejetiva.

Problema

Prove que uma função $ f: R \ rightarrow R $ definida por $ f (x) = 2x - 3 $ é uma função bijetiva.

Explanation - Temos que provar que essa função é tanto injetiva quanto sobrejetora.

Se $ f (x_1) = f (x_2) $, então $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ e isso implica que $ x_1 = x_2 $.

Portanto, f é injective.

Aqui, $ 2x - 3 = y $

Portanto, $ x = (y + 5) / 3 $ que pertence a R e $ f (x) = y $.

Portanto, f é surjective.

Desde a f são ambos surjective e injective, nós podemos dizer f é bijective.

Inverso de uma função

o inverse de uma função correspondente um-para-um $ f: A \ rightarrow B $, é a função $ g: B \ rightarrow A $, contendo a seguinte propriedade -

$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $

A função f é chamada invertible, se sua função inversa g existe.

Exemplo

Uma função $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, é invertível, pois tem a função inversa $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.
Uma Função $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ não é invertível visto que não é um-para-um como $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.

Composição de Funções

Duas funções $ f: A \ rightarrow B $ e $ g: B \ rightarrow C $ podem ser compostas para dar uma composição $ gof $. Esta é uma função de A a C definida por $ (gof) (x) = g (f (x)) $

Exemplo

Seja $ f (x) = x + 2 $ e $ g (x) = 2x + 1 $, encontre $ (névoa) (x) $ e $ (gof) (x) $.

Solução

$ (névoa) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $

$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $

Portanto, $ (fog) (x) \ neq (gof) (x) $

Alguns fatos sobre composição

Se feg são um-para-um, então a função $ (gof) $ também é um-para-um.
Se feg são on, então a função $ (gof) $ também está on.
A composição sempre possui propriedade associativa, mas não possui propriedade comutativa.