Lógica Fuzzy - Função de Associação

Já sabemos que a lógica difusa não é a lógica difusa, mas a lógica usada para descrever a imprecisão. Essa imprecisão é melhor caracterizada por sua função de pertinência. Em outras palavras, podemos dizer que a função de pertinência representa o grau de verdade na lógica fuzzy.

A seguir estão alguns pontos importantes relacionados à função de adesão -

As funções de associação foram introduzidas pela primeira vez em 1965 por Lofti A. Zadeh em seu primeiro artigo de pesquisa “conjuntos fuzzy”.
As funções de associação caracterizam a imprecisão (ou seja, todas as informações em um conjunto fuzzy), sejam os elementos em conjuntos fuzzy discretos ou contínuos.
As funções de associação podem ser definidas como uma técnica para resolver problemas práticos por experiência, em vez de conhecimento.
As funções de associação são representadas por formulários gráficos.
As regras para definir imprecisão também são difusas.

Notação Matemática

Já estudamos que um conjunto fuzzy Ã no universo de informação U pode ser definido como um conjunto de pares ordenados e pode ser representado matematicamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ esquerda \ {\ esquerda (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y \ direita) \ direita) | y \ in U \ right \} $$

Aqui $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = função de pertinência de $ \ widetilde {A} $; isto assume valores no intervalo de 0 a 1, ou seja, $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. A função de associação $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ mapeia $ U $ para o espaço de associação $ M $.

O ponto $ \ left (\ bullet \ right) $ na função de pertinência descrita acima, representa o elemento em um conjunto fuzzy; se é discreto ou contínuo.

Características das funções de membro

Vamos agora discutir os diferentes recursos das funções de associação.

Testemunho

Para qualquer conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, o núcleo de uma função de pertinência é aquela região do universo que é caracterizada pela associação total ao conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Apoio, suporte

Para qualquer conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, o suporte de uma função de associação é a região do universo que é caracterizada por uma associação diferente de zero no conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

fronteira

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, o limite de uma função de pertinência é a região do universo que é caracterizada por uma associação diferente de zero, mas incompleta no conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzificação

Pode ser definido como o processo de transformar um conjunto nítido em um conjunto fuzzy ou um conjunto fuzzy em um conjunto fuzzier. Basicamente, essa operação converte valores de entrada nítidos precisos em variáveis linguísticas.

A seguir estão os dois métodos importantes de fuzzificação -

Método de Fuzzificação de Suporte (s-fuzzificação)

Neste método, o conjunto fuzzificado pode ser expresso com a ajuda da seguinte relação -

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Aqui, o conjunto fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $ é chamado de kernel de fuzzificação. Este método é implementado mantendo $ \ mu _i $ constante e $ x_i $ sendo transformado em um conjunto fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $.

Método de Fuzzificação de Graus (g-fuzzificação)

É bastante semelhante ao método acima, mas a principal diferença é que ele manteve $ x_i $ constante e $ \ mu _i $ é expresso como um conjunto fuzzy.

Defuzzificação

Pode ser definido como o processo de redução de um conjunto difuso em um conjunto crisp ou para converter um membro difuso em um membro crisp.

Já estudamos que o processo de fuzzificação envolve a conversão de quantidades nítidas em quantidades fuzzy. Em uma série de aplicações de engenharia, é necessário defuzzificar o resultado, ou melhor, “resultado fuzzy” para que seja convertido em um resultado nítido. Matematicamente, o processo de Defuzzificação também é chamado de “arredondamento”.

Os diferentes métodos de defuzzificação são descritos abaixo -

Método de associação máxima

Este método é limitado às funções de pico de saída e também conhecido como método de altura. Matematicamente, pode ser representado da seguinte forma -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: para \: todos \: x \ in X $$

Aqui, $ x ^ * $ é a saída defuzzificada.

Método Centroid

Esse método também é conhecido como método do centro de área ou do centro de gravidade. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$

Método da média ponderada

Nesse método, cada função de associação é ponderada por seu valor máximo de associação. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Associação Média-Máxima

Este método também é conhecido como meio dos máximos. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$