Lógica Fuzzy - Refresher Fuzzy Tradicional
A lógica, que originalmente era apenas o estudo do que distingue um argumento sólido de um argumento incorreto, agora se desenvolveu em um sistema poderoso e rigoroso pelo qual afirmações verdadeiras podem ser descobertas, dadas outras afirmações que já são conhecidas como verdadeiras.
Lógica de predicado
Essa lógica lida com predicados, que são proposições contendo variáveis.
Um predicado é uma expressão de uma ou mais variáveis definidas em algum domínio específico. Um predicado com variáveis pode ser proposto atribuindo um valor à variável ou quantificando a variável.
A seguir estão alguns exemplos de predicados -
- Deixe E (x, y) denotar "x = y"
- Deixe X (a, b, c) denotar "a + b + c = 0"
- Deixe M (x, y) denotar "x é casado com y"
Lógica proposicional
Uma proposição é uma coleção de declarações declarativas que têm um valor de verdade "verdadeiro" ou um valor de verdade "falso". Uma proposição consiste em variáveis proposicionais e conectivos. As variáveis proposicionais são dentadas por letras maiúsculas (A, B, etc). Os conectivos conectam as variáveis proposicionais.
Alguns exemplos de proposições são fornecidos abaixo -
- "Homem é Mortal", retorna o valor de verdade “VERDADEIRO”
- "12 + 9 = 3 - 2", retorna o valor verdadeiro “FALSO”
O seguinte não é uma proposição -
"A is less than 2" - É porque, a menos que forneçamos um valor específico de A, não podemos dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Conectivos
Na lógica proposicional, usamos os seguintes cinco conectivos -
- OU (∨∨)
- E (∧∧)
- Negação / NÃO (¬¬)
- Implicação / se-então (→ Budap)
- Se e somente se (⇔⇔)
OU (∨∨)
A operação OR de duas proposições A e B (escritas como A∨BA∨B) é verdadeira se pelo menos qualquer uma das variáveis proposicionais A ou B for verdadeira.
A tabela de verdade é a seguinte -
| UMA | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Falso | Verdadeiro |
| Falso | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Falso | Falso | Falso |
E (∧∧)
A operação AND de duas proposições A e B (escritas como A∧BA∧B) é verdadeira se ambas as variáveis proposicionais A e B são verdadeiras.
A tabela de verdade é a seguinte -
| UMA | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Falso | Falso |
| Falso | Verdadeiro | Falso |
| Falso | Falso | Falso |
Negação (¬¬)
A negação de uma proposição A (escrita como ¬A¬A) é falsa quando A é verdadeira e é verdadeira quando A é falsa.
A tabela de verdade é a seguinte -
| UMA | ¬A |
|---|---|
| Verdadeiro | Falso |
| Falso | Verdadeiro |
Implicação / se-então (→ Budap)
Uma implicação A → BA → B é a proposição “se A, então B”. É falso se A for verdadeiro e B for falso. Os demais casos são verdadeiros.
A tabela de verdade é a seguinte -
| UMA | B | A → B |
|---|---|---|
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Falso | Falso |
| Falso | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Falso | Falso | Verdadeiro |
Se e somente se (⇔⇔)
A⇔BA⇔B é um conectivo lógico bi-condicional que é verdadeiro quando peq são iguais, ou seja, ambos são falsos ou ambos são verdadeiros.
A tabela de verdade é a seguinte -
| UMA | B | A⇔B |
|---|---|---|
| Verdadeiro | Verdadeiro | Verdadeiro |
| Verdadeiro | Falso | Falso |
| Falso | Verdadeiro | Falso |
| Falso | Falso | Verdadeiro |
Fórmula Bem Formada
Well Formed Formula (wff) é um predicado que contém um dos seguintes -
- Todas as constantes proposicionais e variáveis proposicionais são wffs.
- Se x é uma variável e Y é um wff, ∀xY e ∃xY também são wff.
- O valor verdadeiro e os valores falsos são wffs.
- Cada fórmula atômica é um wff.
- Todos os conectivos conectando wffs são wffs.
Quantificadores
A variável dos predicados é quantificada por quantificadores. Existem dois tipos de quantificador na lógica de predicado -
- Quantificador Universal
- Quantificador Existencial
Quantificador Universal
O quantificador universal afirma que as afirmações dentro de seu escopo são verdadeiras para cada valor da variável específica. É denotado pelo símbolo ∀.
∀xP(x) é lido como para cada valor de x, P (x) é verdadeiro.
Example- "O homem é mortal" pode ser transformado na forma proposicional ∀xP (x). Aqui, P (x) é o predicado que denota que x é mortal e o universo do discurso são todos os homens.
Quantificador Existencial
O quantificador existencial afirma que as afirmações dentro de seu escopo são verdadeiras para alguns valores da variável específica. É denotado pelo símbolo ∃.
∃xP(x) para alguns valores de x é lido como, P (x) é verdadeiro.
Example - “Algumas pessoas são desonestas” pode ser transformado na forma proposicional ∃x P (x) onde P (x) é o predicado que denota que x é desonesto e o universo do discurso são algumas pessoas.
Quantificadores Aninhados
Se usarmos um quantificador que aparece dentro do escopo de outro quantificador, ele é chamado de quantificador aninhado.
Example
- ∀ a∃bP (x, y) onde P (a, b) denota a + b = 0
- ∀ a∀b∀cP (a, b, c) onde P (a, b) denota a + (b + c) = (a + b) + c
Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)