Fuzzy Logic - Guia rápido

A palavra fuzzyrefere-se a coisas que não são claras ou vagas. Qualquer evento, processo ou função que está mudando continuamente nem sempre pode ser definido como verdadeiro ou falso, o que significa que precisamos definir tais atividades de uma maneira Fuzzy.

O que é Fuzzy Logic?

A Lógica Fuzzy se assemelha à metodologia de tomada de decisão humana. Trata-se de informações vagas e imprecisas. Esta é uma simplificação grosseira dos problemas do mundo real e baseada em graus de verdade, em vez de verdadeiro / falso usual ou 1/0, como a lógica booleana.

Dê uma olhada no diagrama a seguir. Isso mostra que em sistemas fuzzy, os valores são indicados por um número no intervalo de 0 a 1. Aqui 1,0 representaabsolute truth e 0,0 representa absolute falseness. O número que indica o valor em sistemas fuzzy é chamado detruth value.

Em outras palavras, podemos dizer que a lógica difusa não é a lógica difusa, mas a lógica usada para descrever a imprecisão. Pode haver vários outros exemplos como este com a ajuda dos quais podemos entender o conceito de lógica fuzzy.

Fuzzy Logic foi apresentado em 1965 por Lofti A. Zadeh em seu artigo de pesquisa “Fuzzy Sets”. Ele é considerado o pai da Fuzzy Logic.

UMA seté uma coleção não ordenada de diferentes elementos. Ele pode ser escrito explicitamente listando seus elementos usando o conjunto de colchetes. Se a ordem dos elementos for alterada ou qualquer elemento de um conjunto for repetido, ele não fará nenhuma alteração no conjunto.

Exemplo

• Um conjunto de todos os inteiros positivos.
• Um conjunto de todos os planetas do sistema solar.
• Um conjunto de todos os estados da Índia.
• Um conjunto de todas as letras minúsculas do alfabeto.

Representação Matemática de um Conjunto

Os conjuntos podem ser representados de duas maneiras -

Lista ou Formulário Tabular

Nesta forma, um conjunto é representado listando todos os elementos que o compõem. Os elementos são colocados entre colchetes e separados por vírgulas.

A seguir estão os exemplos de conjunto em Roster ou Tabular Form -

• Conjunto de vogais no alfabeto inglês, A = {a, e, i, o, u}
• Conjunto de números ímpares menores que 10, B = {1,3,5,7,9}

Definir notação do construtor

Nesta forma, o conjunto é definido especificando uma propriedade que os elementos do conjunto têm em comum. O conjunto é descrito como A = {x: p (x)}

Example 1 - O conjunto {a, e, i, o, u} é escrito como

A = {x: x é uma vogal do alfabeto inglês}

Example 2 - O conjunto {1,3,5,7,9} é escrito como

B = {x: 1 ≤ x <10 e (x% 2) ≠ 0}

Se um elemento x é membro de qualquer conjunto S, é denotado por x∈S e se um elemento y não é membro do conjunto S, é denotado por y∉S.

Example - Se S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S mas 1,5 ∉ S

Cardinalidade de um conjunto

A cardinalidade de um conjunto S, denotada por | S || S |, é o número de elementos do conjunto. O número também é conhecido como número cardinal. Se um conjunto possui um número infinito de elementos, sua cardinalidade é ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Se houver dois conjuntos X e Y, | X | = | Y | denota dois conjuntos X e Y com a mesma cardinalidade. Ocorre quando o número de elementos em X é exatamente igual ao número de elementos em Y. Nesse caso, existe uma função bijetiva 'f' de X a Y.

| X | ≤ | Y | denota que a cardinalidade do conjunto X é menor ou igual à cardinalidade do conjunto Y. Ocorre quando o número de elementos em X é menor ou igual ao de Y. Aqui, existe uma função injetiva 'f' de X a Y.

| X | <| Y | denota que a cardinalidade do conjunto X é menor do que a cardinalidade do conjunto Y. Ocorre quando o número de elementos em X é menor que o de Y. Aqui, a função 'f' de X para Y é injetiva, mas não bijetiva.

Se | X | ≤ | Y | e | X | ≤ | Y | então | X | = | Y | . Os conjuntos X e Y são comumente referidos comoequivalent sets.

Tipos de Conjuntos

Os conjuntos podem ser classificados em vários tipos; alguns dos quais são finitos, infinitos, subconjuntos, universais, próprios, conjuntos singleton, etc.

Conjunto Finito

Um conjunto que contém um número definido de elementos é chamado de conjunto finito.

Example - S = {x | x ∈ N e 70> x> 50}

Conjunto Infinito

Um conjunto que contém um número infinito de elementos é chamado de conjunto infinito.

Example - S = {x | x ∈ N e x> 10}

Subconjunto

Um conjunto X é um subconjunto do conjunto Y (escrito como X ⊆ Y) se cada elemento de X for um elemento do conjunto Y.

Example 1- Seja, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aqui, o conjunto Y é um subconjunto do conjunto X, visto que todos os elementos do conjunto Y estão no conjunto X. Portanto, podemos escrever Y⊆X.

Example 2- Seja, X = {1,2,3} e Y = {1,2,3}. Aqui, o conjunto Y é um subconjunto (não um subconjunto adequado) do conjunto X, pois todos os elementos do conjunto Y estão no conjunto X. Portanto, podemos escrever Y⊆X.

Subconjunto próprio

O termo “subconjunto adequado” pode ser definido como “subconjunto de, mas não igual a”. Um Conjunto X é um subconjunto adequado do conjunto Y (escrito como X ⊂ Y) se cada elemento de X for um elemento do conjunto Y e | X | <| Y |.

Example- Seja, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aqui, defina Y ⊂ X, uma vez que todos os elementos em Y estão contidos em X também e X tem pelo menos um elemento que é mais do que o conjunto Y.

Conjunto universal

É uma coleção de todos os elementos em um determinado contexto ou aplicativo. Todos os conjuntos nesse contexto ou aplicativo são essencialmente subconjuntos desse conjunto universal. Conjuntos universais são representados como U.

Example- Podemos definir U como o conjunto de todos os animais da terra. Nesse caso, um conjunto de todos os mamíferos é um subconjunto de U, um conjunto de todos os peixes é um subconjunto de U, um conjunto de todos os insetos é um subconjunto de U e assim por diante.

Conjunto vazio ou conjunto nulo

Um conjunto vazio não contém elementos. É denotado por Φ. Como o número de elementos em um conjunto vazio é finito, o conjunto vazio é um conjunto finito. A cardinalidade do conjunto vazio ou conjunto nulo é zero.

Example - S = {x | x ∈ N e 7 <x <8} = Φ

Conjunto de singleton ou conjunto de unidades

Um conjunto Singleton ou conjunto de unidades contém apenas um elemento. Um conjunto singleton é denotado por {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Conjunto igual

Se dois conjuntos contêm os mesmos elementos, eles são considerados iguais.

Example - Se A = {1,2,6} e B = {6,1,2}, eles são iguais, pois cada elemento do conjunto A é um elemento do conjunto B e cada elemento do conjunto B é um elemento do conjunto A.

Conjunto Equivalente

Se as cardinalidades de dois conjuntos são iguais, eles são chamados de conjuntos equivalentes.

Example- Se A = {1,2,6} e B = {16,17,22}, eles são equivalentes, pois a cardinalidade de A é igual à cardinalidade de B. ie | A | = | B | = 3

Conjunto Sobreposto

Dois conjuntos que possuem pelo menos um elemento comum são chamados de conjuntos sobrepostos. Em caso de conjuntos sobrepostos -

$$ n \ esquerda (A \ xícara B \ direita) = n \ esquerda (A \ direita) + n \ esquerda (B \ direita) - n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$

$$ n \ esquerda (A \ xícara B \ direita) = n \ esquerda (AB \ direita) + n \ esquerda (BA \ direita) + n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$

$$ n \ esquerda (A \ direita) = n \ esquerda (AB \ direita) + n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$

$$ n \ esquerda (B \ direita) = n \ esquerda (BA \ direita) + n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$

Example- Seja, A = {1,2,6} e B = {6,12,42}. Há um elemento comum '6', portanto, esses conjuntos são conjuntos sobrepostos.

Conjunto Disjunto

Dois conjuntos A e B são chamados de conjuntos disjuntos se não tiverem nem mesmo um elemento em comum. Portanto, os conjuntos separados têm as seguintes propriedades -

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ esquerda (A \ xícara B \ direita) = n \ esquerda (A \ direita) + n \ esquerda (B \ direita) $$

Example - Sejam A = {1,2,6} e B = {7,9,14}, não há um único elemento comum, portanto, esses conjuntos são conjuntos sobrepostos.

Operações em conjuntos clássicos

As operações de conjunto incluem União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjuntos, Complemento de conjunto e Produto cartesiano.

União

A união dos conjuntos A e B (denotados por A ∪ BA ∪ B) é o conjunto de elementos que estão em A, em B, ou em A e B. Logo, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example - Se A = {10,11,12,13} e B = {13,14,15}, então A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - O elemento comum ocorre apenas uma vez.

Interseção

A interseção dos conjuntos A e B (denotada por A ∩ B) é o conjunto de elementos que estão em A e B. Portanto, A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.

Diferença / Complemento Relativo

A diferença de conjunto dos conjuntos A e B (denotada por A – B) é o conjunto de elementos que estão apenas em A, mas não em B. Portanto, A - B = {x | x ∈ A AND x ∉ B}.

Example- Se A = {10,11,12,13} e B = {13,14,15}, então (A - B) = {10,11,12} e (B - A) = {14,15} . Aqui, podemos ver (A - B) ≠ (B - A)

Complemento de um Conjunto

O complemento de um conjunto A (denotado por A ′) é o conjunto de elementos que não estão no conjunto A. Portanto, A ′ = {x | x ∉ A}.

Mais especificamente, A ′ = (U − A) onde U é um conjunto universal que contém todos os objetos.

Example - Se A = {x | x pertence ao conjunto de inteiros adicionados} então A ′ = {y | y não pertence ao conjunto de inteiros ímpares}

Produto cartesiano / produto cruzado

O produto cartesiano de n número de conjuntos A1, A2,… An denotado como A1 × A2 ... × An pode ser definido como todos os pares ordenados possíveis (x1, x2,… xn) onde x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Se tomarmos dois conjuntos A = {a, b} e B = {1,2},

O produto cartesiano de A e B é escrito como - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

E, o produto cartesiano de B e A é escrito como - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Propriedades de conjuntos clássicos

As propriedades nos conjuntos desempenham um papel importante para a obtenção da solução. A seguir estão as diferentes propriedades dos conjuntos clássicos -

Propriedade comutativa

Tendo dois conjuntos A e B, esta propriedade declara -

$$ A \ xícara B = B \ xícara A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

Propriedade associativa

Tendo três conjuntos A, B e C, esta propriedade declara -

$$ A \ xícara \ esquerda (B \ xícara C \ direita) = \ esquerda (A \ xícara B \ direita) \ xícara C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

Propriedade distributiva

Tendo três conjuntos A, B e C, esta propriedade declara -

$$ A \ xícara \ esquerda (B \ cap C \ direita) = \ esquerda (A \ xícara B \ direita) \ cap \ esquerda (A \ xícara C \ direita) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

Propriedade Idempotência

Para qualquer conjunto A, esta propriedade declara -

$$ A \ xícara A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

Propriedade de identidade

Para definir A e conjunto universal X, esta propriedade declara -

$$ A \ xícara \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ xícara X = X $$

Propriedade transitiva

Tendo três conjuntos A, B e C, a propriedade declara -

Se $ A \ subseteq B \ subseteq C $, então $ A \ subseteq C $

Propriedade de Involução

Para qualquer conjunto A, esta propriedade declara -

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

Lei De Morgan

É uma lei muito importante e auxilia na comprovação de tautologias e contradições. Esta lei declara -

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ xícara \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$

Os conjuntos fuzzy podem ser considerados uma extensão e uma simplificação grosseira dos conjuntos clássicos. Ele pode ser mais bem compreendido no contexto da associação do conjunto. Basicamente, ele permite uma associação parcial, o que significa que contém elementos que possuem vários graus de associação no conjunto. A partir disso, podemos entender a diferença entre o conjunto clássico e o conjunto fuzzy. O conjunto clássico contém elementos que satisfazem propriedades precisas de associação, enquanto o conjunto fuzzy contém elementos que satisfazem propriedades imprecisas de associação.

Conceito Matemático

Um conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $ no universo de informação $ U $ pode ser definido como um conjunto de pares ordenados e pode ser representado matematicamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ esquerda \ {\ esquerda (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y \ direita) \ direita) | y \ in U \ right \} $$

Aqui $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = grau de associação de $ y $ em \ widetilde {A}, assume valores no intervalo de 0 a 1, ou seja, $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Representação de conjunto fuzzy

Vamos agora considerar dois casos de universo de informação e entender como um conjunto fuzzy pode ser representado.

Caso 1

Quando o universo de informação $ U $ é discreto e finito -

$$ \ widetilde {A} = \ esquerda \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y_1 \ direita)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Caso 2

Quando o universo de informação $ U $ é contínuo e infinito -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

Na representação acima, o símbolo de soma representa a coleção de cada elemento.

Operações em conjuntos difusos

Tendo dois conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $ e $ \ widetilde {B} $, o universo de informação $ U $ e um elemento ð ?? '¦ do universo, as seguintes relações expressam a operação de união, intersecção e complemento em conjuntos difusos.

União / Fuzzy 'OR'

Vamos considerar a seguinte representação para entender como o Union/Fuzzy ‘OR’ relação funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aqui, ∨ representa a operação 'máx'.

Interseção / 'E' Fuzzy

Vamos considerar a seguinte representação para entender como o Intersection/Fuzzy ‘AND’ relação funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aqui, ∧ representa a operação 'min'.

Complemento / Fuzzy 'NÃO'

Vamos considerar a seguinte representação para entender como o Complement/Fuzzy ‘NOT’ relação funciona -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y \ direita) \ quad y \ em U $$

Propriedades de conjuntos difusos

Vamos discutir as diferentes propriedades dos conjuntos fuzzy.

Propriedade comutativa

Tendo dois conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ e $ \ widetilde {B} $, esta propriedade declara -

$$ \ widetilde {A} \ xícara \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ xícara \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Propriedade associativa

Tendo três conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, esta propriedade afirma -

$$ (\ widetilde {A} \ xícara \ esquerda \ widetilde {B}) \ xícara \ widetilde {C} \ direita = \ esquerda \ widetilde {A} \ xícara (\ widetilde {B} \ direita) \ xícara \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Propriedade distributiva

Tendo três conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, esta propriedade afirma -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Propriedade Idempotência

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, esta propriedade afirma -

$$ \ widetilde {A} \ xícara \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Propriedade de identidade

Para o conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $ e o conjunto universal $ U $, esta propriedade afirma -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ xícara U = U $$

Propriedade transitiva

Tendo três conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, esta propriedade afirma -

$$ If \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: then \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

Propriedade de Involução

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, esta propriedade afirma -

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Lei De Morgan

Esta lei desempenha um papel crucial em provar tautologias e contradições. Esta lei declara -

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$

Já sabemos que a lógica difusa não é a lógica difusa, mas a lógica usada para descrever a imprecisão. Essa imprecisão é melhor caracterizada por sua função de pertinência. Em outras palavras, podemos dizer que a função de pertinência representa o grau de verdade na lógica fuzzy.

A seguir estão alguns pontos importantes relacionados à função de adesão -

• As funções de associação foram introduzidas pela primeira vez em 1965 por Lofti A. Zadeh em seu primeiro artigo de pesquisa “conjuntos fuzzy”.

• As funções de pertinência caracterizam a imprecisão (ou seja, todas as informações em um conjunto fuzzy), sejam os elementos em conjuntos fuzzy discretos ou contínuos.

• As funções de associação podem ser definidas como uma técnica para resolver problemas práticos por experiência, em vez de conhecimento.

• As funções de associação são representadas por formulários gráficos.

• As regras para definir imprecisão também são difusas.

Notação Matemática

Já estudamos que um conjunto fuzzy à no universo de informação U pode ser definido como um conjunto de pares ordenados e pode ser representado matematicamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ esquerda \ {\ esquerda (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y \ direita) \ direita) | y \ in U \ right \} $$

Aqui $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = função de pertinência de $ \ widetilde {A} $; isto assume valores no intervalo de 0 a 1, ou seja, $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. A função de associação $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ mapeia $ U $ para o espaço de associação $ M $.

O ponto $ \ left (\ bullet \ right) $ na função de pertinência descrita acima, representa o elemento em um conjunto fuzzy; se é discreto ou contínuo.

Características das funções de membro

Vamos agora discutir os diferentes recursos das funções de associação.

Testemunho

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, o núcleo de uma função de pertinência é aquela região do universo que é caracterizada pela associação completa no conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Apoio, suporte

Para qualquer conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, o suporte de uma função de filiação é a região do universo que é caracterizada por uma filiação diferente de zero no conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

fronteira

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, o limite de uma função de pertinência é a região do universo que é caracterizada por uma associação diferente de zero, mas incompleta no conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzificação

Pode ser definido como o processo de transformar um conjunto nítido em um conjunto fuzzy ou um conjunto fuzzy em um conjunto fuzzier. Basicamente, essa operação converte valores de entrada nítidos precisos em variáveis ​​linguísticas.

A seguir estão os dois métodos importantes de fuzzificação -

Método de Fuzzificação de Suporte (s-fuzzificação)

Neste método, o conjunto fuzzificado pode ser expresso com a ajuda da seguinte relação -

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Aqui, o conjunto fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $ é chamado de kernel de fuzzificação. Este método é implementado mantendo $ \ mu _i $ constante e $ x_i $ sendo transformado em um conjunto fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $.

Método de Fuzzificação de Graus (g-fuzzificação)

É bastante semelhante ao método acima, mas a principal diferença é que manteve $ x_i $ constante e $ \ mu _i $ é expresso como um conjunto fuzzy.

Defuzzificação

Pode ser definido como o processo de redução de um conjunto difuso em um conjunto crisp ou para converter um membro difuso em um membro crisp.

Já estudamos que o processo de fuzzificação envolve a conversão de quantidades nítidas em quantidades fuzzy. Em uma série de aplicações de engenharia, é necessário defuzzificar o resultado, ou melhor, “resultado fuzzy” para que seja convertido em um resultado nítido. Matematicamente, o processo de Defuzzificação também é chamado de “arredondamento”.

Os diferentes métodos de defuzzificação são descritos abaixo -

Método de associação máxima

Este método é limitado às funções de pico de saída e também conhecido como método de altura. Matematicamente, pode ser representado da seguinte forma -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: para \: todos \: x \ in X $$

Aqui, $ x ^ * $ é a saída defuzzificada.

Método Centroid

Esse método também é conhecido como método do centro de área ou do centro de gravidade. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$

Método da média ponderada

Nesse método, cada função de associação é ponderada por seu valor máximo de associação. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Associação Média-Máxima

Este método também é conhecido como meio dos máximos. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$

A lógica, que originalmente era apenas o estudo do que distingue um argumento sólido de um argumento incorreto, agora se desenvolveu em um sistema poderoso e rigoroso pelo qual afirmações verdadeiras podem ser descobertas, dadas outras afirmações que já são conhecidas como verdadeiras.

Lógica de predicado

Essa lógica lida com predicados, que são proposições contendo variáveis.

Um predicado é uma expressão de uma ou mais variáveis ​​definidas em algum domínio específico. Um predicado com variáveis ​​pode ser proposto atribuindo um valor à variável ou quantificando a variável.

A seguir estão alguns exemplos de predicados -

• Deixe E (x, y) denotar "x = y"
• Deixe X (a, b, c) denotar "a + b + c = 0"
• Deixe M (x, y) denotar "x é casado com y"

Lógica proposicional

Uma proposição é uma coleção de declarações declarativas que têm um valor de verdade "verdadeiro" ou um valor de verdade "falso". Uma proposição consiste em variáveis ​​proposicionais e conectivos. As variáveis ​​proposicionais são dentadas por letras maiúsculas (A, B, etc). Os conectivos conectam as variáveis ​​proposicionais.

Alguns exemplos de proposições são fornecidos abaixo -

• "Homem é Mortal", retorna o valor de verdade “VERDADEIRO”
• "12 + 9 = 3 - 2", retorna o valor verdadeiro “FALSO”

O seguinte não é uma proposição -

• "A is less than 2" - É porque, a menos que forneçamos um valor específico de A, não podemos dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Conectivos

Na lógica proposicional, usamos os seguintes cinco conectivos -

• OU (∨∨)
• E (∧∧)
• Negação / NÃO (¬¬)
• Implicação / se-então (→ Budap)
• Se e somente se (⇔⇔)

OU (∨∨)

A operação OR de duas proposições A e B (escritas como A∨BA∨B) é verdadeira se pelo menos qualquer uma das variáveis ​​proposicionais A ou B for verdadeira.

A tabela de verdade é a seguinte -

UMA	B	A ∨ B
Verdadeiro	Verdadeiro	Verdadeiro
Verdadeiro	Falso	Verdadeiro
Falso	Verdadeiro	Verdadeiro
Falso	Falso	Falso

E (∧∧)

A operação AND de duas proposições A e B (escritas como A∧BA∧B) é verdadeira se ambas as variáveis ​​proposicionais A e B são verdadeiras.

A tabela de verdade é a seguinte -

UMA	B	A ∧ B
Verdadeiro	Verdadeiro	Verdadeiro
Verdadeiro	Falso	Falso
Falso	Verdadeiro	Falso
Falso	Falso	Falso

Negação (¬¬)

A negação de uma proposição A (escrita como ¬A¬A) é falsa quando A é verdadeira e é verdadeira quando A é falsa.

A tabela de verdade é a seguinte -

UMA	¬A
Verdadeiro	Falso
Falso	Verdadeiro

Implicação / se-então (→ Budap)

Uma implicação A → BA → B é a proposição “se A, então B”. É falso se A for verdadeiro e B for falso. Os demais casos são verdadeiros.

A tabela de verdade é a seguinte -

UMA	B	A → B
Verdadeiro	Verdadeiro	Verdadeiro
Verdadeiro	Falso	Falso
Falso	Verdadeiro	Verdadeiro
Falso	Falso	Verdadeiro

Se e somente se (⇔⇔)

A⇔BA⇔B é um conectivo lógico bi-condicional que é verdadeiro quando peq são iguais, ou seja, ambos são falsos ou ambos são verdadeiros.

A tabela de verdade é a seguinte -

UMA	B	A⇔B
Verdadeiro	Verdadeiro	Verdadeiro
Verdadeiro	Falso	Falso
Falso	Verdadeiro	Falso
Falso	Falso	Verdadeiro

Fórmula Bem Formada

Well Formed Formula (wff) é um predicado que contém um dos seguintes -

• Todas as constantes proposicionais e variáveis ​​proposicionais são wffs.
• Se x é uma variável e Y é um wff, ∀xY e ∃xY também são wff.
• O valor verdadeiro e os valores falsos são wffs.
• Cada fórmula atômica é um wff.
• Todos os conectivos conectando wffs são wffs.

Quantificadores

A variável dos predicados é quantificada por quantificadores. Existem dois tipos de quantificador na lógica de predicado -

• Quantificador Universal
• Quantificador Existencial

Quantificador Universal

O quantificador universal afirma que as afirmações dentro de seu escopo são verdadeiras para cada valor da variável específica. É denotado pelo símbolo ∀.

∀xP(x) é lido como para cada valor de x, P (x) é verdadeiro.

Example- "O homem é mortal" pode ser transformado na forma proposicional ∀xP (x). Aqui, P (x) é o predicado que denota que x é mortal e o universo do discurso são todos os homens.

Quantificador Existencial

O quantificador existencial afirma que as afirmações dentro de seu escopo são verdadeiras para alguns valores da variável específica. É denotado pelo símbolo ∃.

∃xP(x) para alguns valores de x é lido como, P (x) é verdadeiro.

Example - “Algumas pessoas são desonestas” pode ser transformado na forma proposicional ∃x P (x) onde P (x) é o predicado que denota que x é desonesto e o universo do discurso são algumas pessoas.

Quantificadores Aninhados

Se usarmos um quantificador que aparece dentro do escopo de outro quantificador, ele é chamado de quantificador aninhado.

Example

• ∀ a∃bP (x, y) onde P (a, b) denota a + b = 0
• ∀ a∀b∀cP (a, b, c) onde P (a, b) denota a + (b + c) = (a + b) + c

Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)

A seguir estão os diferentes modos de raciocínio aproximado -

Raciocínio Categórico

Neste modo de raciocínio aproximado, os antecedentes, não contendo quantificadores difusos e probabilidades difusas, são assumidos como estando na forma canônica.

Raciocínio Qualitativo

Nesse modo de raciocínio aproximado, os antecedentes e consequentes têm variáveis ​​linguísticas difusas; a relação entrada-saída de um sistema é expressa como uma coleção de regras difusas IF-THEN. Esse raciocínio é usado principalmente na análise do sistema de controle.

Raciocínio Silogístico

Nesse modo de raciocínio de aproximação, os antecedentes com quantificadores fuzzy estão relacionados às regras de inferência. Isso é expresso como -

x = S ₁ A′s são B′s

y = S ₂ C′s são D′s

------------------------

z = S ₃ E′s são F′s

Aqui, A, B, C, D, E, F são predicados difusos.

• S ₁ e S ₂ recebem quantificadores fuzzy.

• S ₃ é o quantificador nebuloso que deve ser decidido.

Raciocínio Disposicional

Nesse modo de raciocínio de aproximação, os antecedentes são disposições que podem conter o quantificador fuzzy “normalmente”. O quantificadorUsuallyune o raciocínio disposicional e silogístico; portanto, ele desempenha um papel importante.

Por exemplo, a regra de projeção de inferência no raciocínio disposicional pode ser dada da seguinte forma -

geralmente ((L, M) é R) ⇒ geralmente (L é [R ↓ L])

Aqui [R ↓ L] é a projeção de relação fuzzy R em L

Base de regra de lógica difusa

É sabido que um ser humano sempre se sente confortável conversando em linguagem natural. A representação do conhecimento humano pode ser feita com a ajuda da seguinte expressão da linguagem natural -

IF antecedente THEN conseqüente

A expressão conforme declarada acima é conhecida como base de regra Fuzzy IF-THEN.

Forma canônica

A seguir está a forma canônica da Base de Regra Fuzzy Logic -

Rule 1 - Se a condição C1, então a restrição R1

Rule 2 - Se a condição C1, então a restrição R2

.

.

.

Rule n - Se a condição C1, então a restrição Rn

Interpretações das regras Fuzzy IF-THEN

As regras Fuzzy IF-THEN podem ser interpretadas nas seguintes quatro formas -

Declarações de atribuição

Esses tipos de declarações usam “=” (igual ao sinal) para o propósito de atribuição. Eles têm o seguinte formato -

a = olá

clima = verão

Declarações condicionais

Esses tipos de declarações usam a forma de base de regra “IF-THEN” para fins de condição. Eles têm o seguinte formato -

SE a temperatura estiver alta ENTÃO o clima está quente

SE a comida for fresca, ENTÃO coma.

Declarações Incondicionais

Eles têm o seguinte formato -

GOTO 10

desligue o ventilador

Variável Lingüística

Estudamos que a lógica fuzzy usa variáveis ​​linguísticas que são palavras ou sentenças em uma linguagem natural. Por exemplo, se dizemos temperatura, é uma variável linguística; cujos valores são muito quente ou frio, ligeiramente quente ou frio, muito quente, ligeiramente quente, etc. As palavras muito, ligeiramente são as sebes linguísticas.

Caracterização da Variável Lingüística

A seguir quatro termos caracterizam a variável linguística -

• Nome da variável, geralmente representado por x.
• Conjunto de termos da variável, geralmente representado por t (x).
• Regras sintáticas para gerar os valores da variável x.
• Regras semânticas para vincular cada valor de xe sua importância.

Proposições em Lógica Fuzzy

Como sabemos, as proposições são sentenças expressas em qualquer linguagem que geralmente são expressas na seguinte forma canônica -

s como P

Aqui, s é o sujeito e P é o predicado.

Por exemplo, “ Delhi é a capital da Índia ”, esta é uma proposição onde “ Delhi ” é o sujeito e “ é a capital da Índia ” é o predicado que mostra a propriedade do sujeito.

Sabemos que a lógica é a base do raciocínio e a lógica fuzzy estende a capacidade de raciocínio usando predicados fuzzy, modificadores de predicado fuzzy, quantificadores fuzzy e qualificadores fuzzy em proposições fuzzy que criam a diferença da lógica clássica.

As proposições na lógica fuzzy incluem o seguinte -

Predicado Fuzzy

Quase todos os predicados na linguagem natural são de natureza difusa, portanto, a lógica difusa tem os predicados como alto, baixo, quente, quente, rápido, etc.

Modificadores de predicado difuso

Discutimos barreiras linguísticas acima; também temos muitos modificadores de predicado difuso que agem como sebes. Eles são muito essenciais para produzir os valores de uma variável linguística. Por exemplo, as palavras muito, ligeiramente são modificadores e as proposições podem ser como "a água está ligeiramente quente ".

Quantificadores Fuzzy

Pode ser definido como um número fuzzy que fornece uma classificação vaga da cardinalidade de um ou mais conjuntos fuzzy ou não fuzzy. Ele pode ser usado para influenciar a probabilidade dentro da lógica difusa. Por exemplo, as palavras muitos, a maioria, frequentemente são usadas como quantificadores difusos e as proposições podem ser como "a maioria das pessoas é alérgica a isso "

Fuzzy Qualifiers

Vamos agora entender os Qualificadores Fuzzy. Um Fuzzy Qualifier também é uma proposição da Fuzzy Logic. A qualificação difusa tem os seguintes formulários -

Qualificação Fuzzy Baseada na Verdade

Reivindica o grau de verdade de uma proposição difusa.

Expression- É expresso como x é t . Aqui, t é um valor de verdade difuso.

Example - (O carro é preto) NÃO É MUITO VERDADE.

Qualificação Fuzzy Baseada na Probabilidade

Alega a probabilidade, numérica ou de intervalo, de proposição difusa.

Expression- É expresso como x é λ . Aqui, λ é uma probabilidade difusa.

Example - (O carro é preto) é provável.

Qualificação Fuzzy Baseada na Possibilidade

Ele reivindica a possibilidade de proposição fuzzy.

Expression- É expresso como x é π . Aqui, π é uma possibilidade difusa.

Example - (O carro é preto) é quase impossível.

O Sistema de Inferência Fuzzy é a unidade chave de um sistema de lógica fuzzy tendo a tomada de decisão como seu trabalho principal. Ele usa as regras “SE ... ENTÃO” junto com os conectores “OU” ou “E” para desenhar regras de decisão essenciais.

Características do Sistema de Inferência Fuzzy

A seguir estão algumas características do FIS -

• A saída do FIS é sempre um conjunto difuso, independentemente de sua entrada, que pode ser difusa ou nítida.

• É necessário ter saída fuzzy quando for usado como controlador.

• Uma unidade de defuzzificação estaria lá com o FIS para converter variáveis ​​difusas em variáveis ​​nítidas.

Blocos Funcionais do FIS

Os cinco blocos funcionais a seguir irão ajudá-lo a entender a construção do FIS -

• Rule Base - Contém regras IF-THEN difusas.

• Database - Define as funções de pertinência de conjuntos fuzzy usados ​​em regras fuzzy.

• Decision-making Unit - Executa operação em regras.

• Fuzzification Interface Unit - Ele converte as quantidades crocantes em quantidades difusas.

• Defuzzification Interface Unit- Ele converte as quantidades difusas em quantidades crocantes. A seguir está um diagrama de blocos do sistema de interferência difusa.

Trabalho da FIS

O funcionamento do FIS consiste nas seguintes etapas -

• Uma unidade de fuzzificação suporta a aplicação de vários métodos de fuzzificação e converte a entrada nítida em entrada fuzzy.

• Uma base de conhecimento - coleção de base de regras e banco de dados é formada na conversão de entrada nítida em entrada difusa.

• A entrada difusa da unidade de defuzificação é finalmente convertida em saída nítida.

Métodos de FIS

Vamos agora discutir os diferentes métodos de FIS. A seguir estão os dois métodos importantes de FIS, tendo diferentes conseqüentes de regras fuzzy -

• Sistema de Inferência Fuzzy Mamdani
• Modelo Fuzzy Takagi-Sugeno (Método TS)

Sistema de Inferência Fuzzy Mamdani

Este sistema foi proposto em 1975 por Ebhasim Mamdani. Basicamente, previa-se que controlaria uma combinação de máquina a vapor e caldeira sintetizando um conjunto de regras difusas obtidas de pessoas que trabalhavam no sistema.

Etapas para calcular a saída

As etapas a seguir devem ser seguidas para calcular a saída deste FIS -

• Step 1 - O conjunto de regras difusas precisa ser determinado nesta etapa.

• Step 2 - Nesta etapa, usando a função de pertinência de entrada, a entrada se tornaria difusa.

• Step 3 - Agora estabeleça a força da regra combinando as entradas difusas de acordo com regras difusas.

• Step 4 - Nesta etapa, determine o consequente da regra combinando a força da regra e a função de associação de saída.

• Step 5 - Para obter a distribuição da saída, combine todos os consequentes.

• Step 6 - Finalmente, uma distribuição de saída defuzificada é obtida.

A seguir está um diagrama de blocos do Mamdani Fuzzy Interface System.

Modelo Fuzzy Takagi-Sugeno (Método TS)

Este modelo foi proposto por Takagi, Sugeno e Kang em 1985. O formato desta regra é dado como -

SE x é A e y é B ENTÃO Z = f (x, y)

Aqui, AB são conjuntos fuzzy nos antecedentes e z = f (x, y) é uma função nítida no consequente.

Processo de Inferência Fuzzy

O processo de inferência fuzzy sob o modelo Fuzzy Takagi-Sugeno (método TS) funciona da seguinte maneira -

• Step 1: Fuzzifying the inputs - Aqui, as entradas do sistema são confusas.

• Step 2: Applying the fuzzy operator - Nesta etapa, os operadores fuzzy devem ser aplicados para obter a saída.

Formato de regra do formulário Sugeno

O formato da regra da forma Sugeno é dado por -

se 7 = x e 9 = y, então a saída é z = ax + by + c

Comparação entre os dois métodos

Vamos agora entender a comparação entre o Sistema Mamdani e o Modelo Sugeno.

• Output Membership Function- A principal diferença entre eles está na função de pertinência de saída. As funções de associação de saída de Sugeno são lineares ou constantes.

• Aggregation and Defuzzification Procedure - A diferença entre eles também está na conseqüência das regras fuzzy e devido às mesmas seu procedimento de agregação e defuzzificação também difere.

• Mathematical Rules - Existem mais regras matemáticas para a regra de Sugeno do que para a regra de Mamdani.

• Adjustable Parameters - O controlador Sugeno tem parâmetros mais ajustáveis ​​do que o controlador Mamdani.

Estudamos em nossos capítulos anteriores que a Lógica Fuzzy é uma abordagem de computação baseada em "graus de verdade", em vez da usual lógica "verdadeira ou falsa". Trata-se de raciocínio que é aproximado ao invés de preciso para resolver problemas de uma forma que mais se assemelha à lógica humana, portanto, o processo de consulta de banco de dados pela realização de dois valores da álgebra booleana não é adequado.

Cenário Fuzzy de Relações em Bancos de Dados

O Cenário Fuzzy de Relações em Bancos de Dados pode ser entendido com a ajuda do seguinte exemplo -

Exemplo

Suponha que tenhamos um banco de dados com registros de pessoas que visitaram a Índia. No banco de dados simples, teremos as entradas feitas da seguinte maneira -

Nome	Era	Cidadão	País visitado	Dias passados	Ano da visita
John smith	35	NOS	Índia	41	1999
John smith	35	NOS	Itália	72	1999
John smith	35	NOS	Japão	31	1999

Agora, se alguém perguntar sobre a pessoa que visitou a Índia e o Japão no ano 99 e é cidadão dos EUA, a saída mostrará duas entradas com o nome de John Smith. Esta é uma consulta simples que gera uma saída simples.

Mas e se quisermos saber se a pessoa na consulta acima é jovem ou não. De acordo com o resultado acima, a idade da pessoa é de 35 anos. Mas podemos presumir que a pessoa seja jovem ou não? Da mesma forma, a mesma coisa pode ser aplicada em outros campos, como dias gastos, ano de visita, etc.

A solução dos problemas acima pode ser encontrada com a ajuda de conjuntos de Valores Fuzzy da seguinte forma -

• FV (Idade) {muito jovem, jovem, um pouco velho, velho}

• FV (dias gastos) {apenas alguns dias, poucos dias, alguns dias, muitos dias}

• FV (ano da visita) {passado distante, passado recente, recente}

• Agora, se qualquer consulta tiver o valor difuso, o resultado também será de natureza difusa.

Sistema de consulta difusa

Um sistema de consulta fuzzy é uma interface para os usuários obterem informações do banco de dados usando frases em linguagem (quase) natural. Muitas implementações de consulta difusa foram propostas, resultando em linguagens ligeiramente diferentes. Embora existam algumas variações de acordo com as particularidades de diferentes implementações, a resposta a uma sentença de consulta difusa geralmente é uma lista de registros, classificados pelo grau de correspondência.

Na modelagem de declarações em linguagem natural, as declarações quantificadas desempenham um papel importante. Isso significa que o NL depende fortemente da construção quantificadora, que muitas vezes inclui conceitos difusos como "quase todos", "muitos", etc. A seguir estão alguns exemplos de proposições quantificadoras -

• Todos os alunos passaram no exame.
• Todo carro esporte é caro.
• Muitos alunos passaram no exame.
• Muitos carros esportivos são caros.

Nos exemplos acima, os quantificadores "Todos" e "Muitos" são aplicados às restrições nítidas "alunos", bem como escopo nítido "(pessoa que) passou no exame" e "carros", bem como "esportes" de escopo nítido.

Eventos Fuzzy, Meios Fuzzy e Variações Fuzzy

Com a ajuda de um exemplo, podemos entender os conceitos acima. Suponhamos que sejamos acionistas de uma empresa chamada ABC. E, no momento, a empresa está vendendo cada uma de suas ações por $ 40. Existem três empresas diferentes cujo negócio é semelhante ao ABC, mas estas estão oferecendo suas ações a taxas diferentes - $ 100 por ação, 85 85 por ação e ₹ 60 por ação, respectivamente.

Agora, a distribuição de probabilidade desta aquisição de preço é a seguinte -

Preço	$ 100	$$ 85	60 €
Probabilidade	0,3	0,5	0,2

Agora, a partir da teoria de probabilidade padrão, a distribuição acima dá uma média do preço esperado como abaixo -

$ 100 × 0,3 + 85 × 0,5 + 60 × 0,2 = 84,5 $

E, a partir da teoria da probabilidade padrão, a distribuição acima dá uma variação do preço esperado conforme abaixo -

$ (100 - 84,5) 2 × 0,3 + (85 - 84,5) 2 × 0,5 + (60 - 84,5) 2 × 0,2 = 124,825 $

Suponha que o grau de pertinência de 100 neste conjunto seja 0,7, o de 85 é 1 e o grau de pertinência seja 0,5 para o valor 60. Isso pode ser refletido no seguinte conjunto difuso -

$$ \ left \ {\ frac {0.7} {100}, \: \ frac {1} {85}, \: \ frac {0.5} {60}, \ right \} $$

O conjunto fuzzy obtido dessa maneira é chamado de evento fuzzy.

Queremos a probabilidade do evento difuso para o qual nosso cálculo dá -

$ 0,7 × 0,3 + 1 × 0,5 + 0,5 × 0,2 = 0,21 + 0,5 + 0,1 = 0,81 $

Agora, precisamos calcular a média difusa e a variância difusa, o cálculo é o seguinte -

Fuzzy_mean $ = \ left (\ frac {1} {0,81} \ right) × (100 × 0,7 × 0,3 + 85 × 1 × 0,5 + 60 × 0,5 × 0,2) $

$ = 85,8 $

Fuzzy_Variance $ = 7496,91 - 7361,91 = 135,27 $

É uma atividade que inclui os passos a serem dados para escolher uma alternativa adequada àquelas que são necessárias para atingir um determinado objetivo.

Etapas para a tomada de decisão

Vamos agora discutir as etapas envolvidas no processo de tomada de decisão -

• Determining the Set of Alternatives - Nesta etapa, as alternativas a partir das quais a decisão deve ser tomada devem ser determinadas.

• Evaluating Alternative - Aqui, as alternativas devem ser avaliadas para que a decisão possa ser tomada sobre uma das alternativas.

• Comparison between Alternatives - Nesta etapa, é feita uma comparação entre as alternativas avaliadas.

Tipos de decisão

Tomada Agora entenderemos os diferentes tipos de tomada de decisão.

Tomada de decisão individual

Nesse tipo de tomada de decisão, apenas uma pessoa é responsável pela tomada de decisões. O modelo de tomada de decisão neste tipo pode ser caracterizado como -

• Conjunto de ações possíveis

• Conjunto de metas $ G_i \ left (i \: \ in \: X_n \ right); $

• Conjunto de restrições $ C_j \ left (j \: \ in \: X_m \ right) $

Os objetivos e restrições declarados acima são expressos em termos de conjuntos fuzzy.

Agora considere um conjunto A. Então, o objetivo e as restrições para este conjunto são dados por -

$ G_i \ left (a \ right) $ = composição $ \ left [G_i \ left (a \ right) \ right] $ = $ G_i ^ 1 \ left (G_i \ left (a \ right) \ right) $ com $ G_i ^ 1 $

$ C_j \ left (a \ right) $ = composição $ \ left [C_j \ left (a \ right) \ right] $ = $ C_j ^ 1 \ left (C_j \ left (a \ right) \ right) $ com $ C_j ^ 1 $ para $ a \: \ in \: A $

A decisão difusa no caso acima é dada por -

$$ F_D = min [i \ in X_ {n} ^ {in} fG_i \ left (a \ right), j \ in X_ {m} ^ {in} fC_j \ left (a \ right)] $$

Tomada de decisão de várias pessoas

A tomada de decisão, neste caso, inclui várias pessoas, de modo que o conhecimento especializado de várias pessoas é utilizado para tomar decisões.

O cálculo para isso pode ser dado da seguinte forma -

Number of persons preferring $x_i$ to $x_j$ = $ N \ left (x_i, \: x_j \ right) $

Total number of decision makers = $ n $

Então, $ SC \ left (x_i, \: x_j \ right) = \ frac {N \ left (x_i, \: x_j \ right)} {n} $

Tomada de decisão multi-objetivo

A tomada de decisão multi-objetivo ocorre quando há vários objetivos a serem realizados. Existem duas questões a seguir neste tipo de tomada de decisão -

• Adquirir informação adequada relacionada com a satisfação dos objetivos por meio de várias alternativas.

• Para pesar a importância relativa de cada objetivo.

Matematicamente, podemos definir um universo de n alternativas como -

$ A = \ left [a_1, \: a_2, \: ..., \: a_i, \: ..., \: a_n \ right] $

E o conjunto de objetivos “m” como $ O = \ left [o_1, \: o_2, \: ..., \: o_i, \: ..., \: o_n \ right] $

Tomada de decisão multi-atributo

A tomada de decisão multi-atributo ocorre quando a avaliação de alternativas pode ser realizada com base em vários atributos do objeto. Os atributos podem ser dados numéricos, dados linguísticos e dados qualitativos.

Matematicamente, a avaliação de atributos múltiplos é realizada com base na equação linear da seguinte forma -

$$ Y = A_1X_1 + A_2X_2 + ... + A_iX_i + ... + A_rX_r $$

A lógica difusa é aplicada com grande sucesso em várias aplicações de controle. Quase todos os produtos de consumo têm controle difuso. Alguns dos exemplos incluem o controle da temperatura ambiente com a ajuda de ar condicionado, sistema antifreagem usado em veículos, controle de semáforos, máquinas de lavar, grandes sistemas econômicos, etc.

Por que usar a lógica fuzzy em sistemas de controle

Um sistema de controle é um arranjo de componentes físicos projetados para alterar outro sistema físico de modo que esse sistema exiba certas características desejadas. A seguir estão algumas razões para usar a Lógica Fuzzy em Sistemas de Controle -

• Ao aplicar o controle tradicional, é necessário saber sobre o modelo e a função objetivo formulada em termos precisos. Isso torna muito difícil a aplicação em muitos casos.

• Ao aplicar a lógica fuzzy para controle, podemos utilizar a experiência e o conhecimento humano para projetar um controlador.

• As regras de controle fuzzy, basicamente as regras IF-THEN, podem ser melhor utilizadas no projeto de um controlador.

Suposições no Design de Controle Lógico Fuzzy (FLC)

Ao projetar o sistema de controle difuso, as seguintes seis suposições básicas devem ser feitas -

• The plant is observable and controllable - Deve-se assumir que as variáveis ​​de entrada, saída e estado estão disponíveis para observação e controle.

• Existence of a knowledge body - Deve-se assumir que existe um corpo de conhecimento com regras linguísticas e um conjunto de dados de entrada-saída a partir do qual as regras podem ser extraídas.

• Existence of solution - Deve-se presumir que existe uma solução.

• ‘Good enough’ solution is enough - A engenharia de controle deve buscar uma solução "boa o suficiente" em vez de uma solução ótima.

• Range of precision - O controlador de lógica difusa deve ser projetado dentro de uma faixa aceitável de precisão.

• Issues regarding stability and optimality - As questões de estabilidade e otimização devem ser abertas no projeto do controlador de lógica difusa, em vez de abordadas explicitamente.

Arquitetura de Controle de Lógica Fuzzy

O diagrama a seguir mostra a arquitetura do Fuzzy Logic Control (FLC).

Principais componentes do FLC

A seguir estão os principais componentes do FLC, conforme mostrado na figura acima -

• Fuzzifier - O papel do fuzzifier é converter os valores de entrada nítidos em valores fuzzy.

• Fuzzy Knowledge Base- Armazena o conhecimento sobre todas as relações fuzzy de entrada-saída. Ele também tem a função de pertinência que define as variáveis ​​de entrada para a base de regra difusa e as variáveis ​​de saída para a planta sob controle.

• Fuzzy Rule Base - Armazena o conhecimento sobre o funcionamento do processo de domínio.

• Inference Engine- Atua como um kernel de qualquer FLC. Basicamente, ele simula decisões humanas realizando raciocínios aproximados.

• Defuzzifier - O papel do defuzzificador é converter os valores fuzzy em valores nítidos provenientes do mecanismo de inferência fuzzy.

Etapas para projetar FLC

A seguir estão as etapas envolvidas na concepção do FLC -

• Identification of variables - Aqui, as variáveis ​​de entrada, saída e estado devem ser identificadas da planta que está sendo considerada.

• Fuzzy subset configuration- O universo de informações é dividido em vários subconjuntos difusos e a cada subconjunto é atribuído um rótulo linguístico. Sempre certifique-se de que esses subconjuntos difusos incluam todos os elementos do universo.

• Obtaining membership function - Agora obtenha a função de pertinência para cada subconjunto fuzzy obtido na etapa acima.

• Fuzzy rule base configuration - Agora formule a base de regra difusa atribuindo relação entre entrada e saída difusa.

• Fuzzification - O processo de fuzzificação é iniciado nesta etapa.

• Combining fuzzy outputs - Ao aplicar o raciocínio aproximado difuso, localize a saída difusa e mescle-os.

• Defuzzification - Finalmente, inicie o processo de defuzzificação para formar uma saída nítida.

Vantagens do Controle de Lógica Fuzzy

Vamos agora discutir as vantagens do Controle de Lógica Fuzzy.

• Cheaper - Desenvolver um FLC é comparativamente mais barato do que desenvolver um modelo baseado ou outro controlador em termos de desempenho.

• Robust - Os FLCs são mais robustos do que os controladores PID devido à sua capacidade de cobrir uma ampla gama de condições operacionais.

• Customizable - Os FLCs são personalizáveis.

• Emulate human deductive thinking - Basicamente, o FLC é projetado para emular o pensamento dedutivo humano, o processo que as pessoas usam para inferir conclusões a partir do que sabem.

• Reliability - FLC é mais confiável do que o sistema de controle convencional.

• Efficiency - A lógica fuzzy proporciona mais eficiência quando aplicada no sistema de controle.

Desvantagens do Controle de Lógica Fuzzy

Vamos agora discutir quais são as desvantagens do Fuzzy Logic Control.

• Requires lots of data - O FLC precisa de muitos dados para serem aplicados.

• Useful in case of moderate historical data - FLC não é útil para programas muito menores ou maiores do que dados históricos.

• Needs high human expertise - Esta é uma desvantagem, pois a precisão do sistema depende do conhecimento e experiência dos seres humanos.

• Needs regular updating of rules - As regras devem ser atualizadas com o tempo.

Neste capítulo, discutiremos o que é um Adaptive Fuzzy Controller e como ele funciona. O Adaptive Fuzzy Controller foi projetado com alguns parâmetros ajustáveis ​​junto com um mecanismo integrado para ajustá-los. O controlador adaptativo foi usado para melhorar o desempenho do controlador.

Etapas básicas para implementação de algoritmo adaptativo

Vamos agora discutir as etapas básicas para implementar o algoritmo adaptativo.

• Collection of observable data - Os dados observáveis ​​são coletados para calcular o desempenho do controlador.

• Adjustment of controller parameters - Agora, com a ajuda do desempenho do controlador, seria feito o cálculo do ajuste dos parâmetros do controlador.

• Improvement in performance of controller - Nesta etapa, os parâmetros do controlador são ajustados para melhorar o desempenho do controlador.

Conceitos Operacionais

O projeto de um controlador é baseado em um modelo matemático assumido que se assemelha a um sistema real. O erro entre o sistema real e sua representação matemática é calculado e, se for relativamente insignificante, presume-se que o modelo funcione efetivamente.

Uma constante de limite que define um limite para a eficácia de um controlador também existe. A entrada de controle é alimentada tanto no sistema real quanto no modelo matemático. Aqui, assuma $ x \ left (t \ right) $ é a saída do sistema real e $ y \ left (t \ right) $ é a saída do modelo matemático. Então o erro $ \ epsilon \ left (t \ right) $ pode ser calculado da seguinte maneira -

$$ \ epsilon \ left (t \ right) = x \ left (t \ right) - y \ left (t \ right) $$

Aqui, $ x $ desejado é a saída que queremos do sistema e $ \ mu \ left (t \ right) $ é a saída que vem do controlador e vai para o modelo real e também matemático.

O diagrama a seguir mostra como a função de erro é rastreada entre a saída de um sistema real e o modelo matemático -

Parametrização do Sistema

Um controlador fuzzy cujo projeto é baseado no modelo matemático fuzzy terá a seguinte forma de regras fuzzy -

Rule 1 - IF $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {11} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {1i} $

ENTÃO $ \ mu _1 \ left (t_n \ right) = K_ {11} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {12} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {1i } x_i \ left (t_n \ right) $

Rule 2 - IF $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {21} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {2i} $

ENTÃO $ \ mu _2 \ left (t_n \ right) = K_ {21} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {22} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {2i } x_i \ left (t_n \ right) $

.

.

.

Rule j - IF $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {k1} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {ki} $

ENTÃO $ \ mu _j \ left (t_n \ right) = K_ {j1} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {j2} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {ji } x_i \ left (t_n \ right) $

O conjunto de parâmetros acima caracteriza o controlador.

Ajuste de mecanismo

Os parâmetros do controlador são ajustados para melhorar o desempenho do controlador. O processo de cálculo do ajuste dos parâmetros é o mecanismo de ajuste.

Matematicamente, seja $ \ theta ^ \ left (n \ right) $ um conjunto de parâmetros a serem ajustados no tempo $ t = t_n $. O ajuste pode ser o recálculo dos parâmetros,

$$ \ theta ^ \ left (n \ right) = \ Theta \ left (D_0, \: D_1, \: ..., \: D_n \ right) $$

Aqui $ D_n $ são os dados coletados no momento $ t = t_n $.

Agora esta formulação é reformulada pela atualização do conjunto de parâmetros com base em seu valor anterior como,

$$ \ theta ^ \ left (n \ right) = \ phi (\ theta ^ {n-1}, \: D_n) $$

Parâmetros para selecionar um controlador Fuzzy Adaptativo

Os parâmetros a seguir devem ser considerados para a seleção de um controlador fuzzy adaptativo -

• O sistema pode ser aproximado inteiramente por um modelo fuzzy?

• Se um sistema pode ser aproximado inteiramente por um modelo fuzzy, os parâmetros desse modelo fuzzy estão prontamente disponíveis ou devem ser determinados online?

• Se um sistema não pode ser aproximado inteiramente por um modelo fuzzy, ele pode ser aproximado por partes por um conjunto de modelo fuzzy?

• Se um sistema pode ser aproximado por um conjunto de modelos fuzzy, esses modelos têm o mesmo formato com parâmetros diferentes ou têm formatos diferentes?

• Se um sistema pode ser aproximado por um conjunto de modelos fuzzy com o mesmo formato, cada um com um conjunto diferente de parâmetros, esses conjuntos de parâmetros estão prontamente disponíveis ou devem ser determinados online?

Rede neural artificial (ANN) é uma rede de sistemas de computação eficientes, cujo tema central é emprestado da analogia das redes neurais biológicas. As RNAs também são chamadas de "sistemas neurais artificiais", sistemas de processamento paralelo distribuído "," sistemas conexionistas ". ANN adquire uma grande coleção de unidades que são interconectadas em algum padrão para permitir a comunicação entre as unidades. Essas unidades, também conhecidas como nós ou neurônios, são processadores simples que operam em paralelo.

Cada neurônio está conectado a outro neurônio por meio de um link de conexão. Cada link de conexão está associado a um peso contendo as informações sobre o sinal de entrada. Esta é a informação mais útil para os neurônios resolverem um problema específico, porque o peso geralmente inibe o sinal que está sendo comunicado. Cada neurônio está tendo seu estado interno que é chamado de sinal de ativação. Os sinais de saída, que são produzidos após combinar os sinais de entrada e a regra de ativação, podem ser enviados para outras unidades. Também consiste em um viés 'b' cujo peso é sempre 1.

Por que usar Fuzzy Logic em Rede Neural

Como discutimos acima, cada neurônio na RNA está conectado com outro neurônio por meio de um link de conexão e esse link está associado a um peso contendo as informações sobre o sinal de entrada. Portanto, podemos dizer que os pesos contêm as informações úteis sobre as entradas para resolver os problemas.

A seguir estão algumas razões para usar a lógica difusa em redes neurais -

• A lógica fuzzy é amplamente utilizada para definir os pesos, a partir de conjuntos fuzzy, em redes neurais.

• Quando não é possível aplicar valores nítidos, são usados ​​valores nebulosos.

• Já estudamos que o treinamento e o aprendizado ajudam as redes neurais a ter um melhor desempenho em situações inesperadas. Naquela época, os valores fuzzy seriam mais aplicáveis ​​do que os valores nítidos.

• Quando usamos a lógica fuzzy em redes neurais, os valores não devem ser nítidos e o processamento pode ser feito em paralelo.

Mapa Cognitivo Fuzzy

É uma forma de imprecisão nas redes neurais. Basicamente, o FCM é como uma máquina de estado dinâmico com estados difusos (não apenas 1 ou 0).

Dificuldade em usar Lógica Fuzzy em Redes Neurais

Apesar de ter inúmeras vantagens, também há alguma dificuldade ao usar a lógica fuzzy em redes neurais. A dificuldade está relacionada com as regras de adesão, a necessidade de construir um sistema fuzzy, porque às vezes é complicado deduzi-lo com um determinado conjunto de dados complexos.

Lógica Fuzzy Treinada Neuralmente

A relação reversa entre rede neural e lógica fuzzy, ou seja, rede neural usada para treinar lógica fuzzy também é uma boa área de estudo. A seguir estão duas razões principais para construir lógica difusa com treinamento neural -

• Novos padrões de dados podem ser aprendidos facilmente com a ajuda de redes neurais, portanto, podem ser usados ​​para pré-processar dados em sistemas fuzzy.

• A rede neural, por causa de sua capacidade de aprender um novo relacionamento com novos dados de entrada, pode ser usada para refinar regras difusas para criar um sistema adaptativo difuso.

Exemplos de sistema Fuzzy treinado neuralmente

Os sistemas Fuzzy com treinamento neural estão sendo usados ​​em muitas aplicações comerciais. Vejamos agora alguns exemplos onde o sistema Fuzzy treinado neuralmente é aplicado -

• O Laboratório de Pesquisa em Engenharia Fuzzy Internacional (LIFE) em Yokohama, Japão, tem uma rede neural de retropropagação que deriva regras fuzzy. Este sistema foi aplicado com sucesso ao sistema de comércio de câmbio com aproximadamente 5000 regras difusas.

• A Ford Motor Company desenvolveu sistemas difusos treináveis ​​para controle de marcha lenta de automóveis.

• NeuFuz, produto de software da National Semiconductor Corporation, suporta a geração de regras difusas com uma rede neural para aplicações de controle.

• A AEG Corporation da Alemanha usa um sistema de controle difuso com treinamento neural para sua máquina de conservação de água e energia. Ele tem um total de 157 regras difusas.

Neste capítulo, discutiremos os campos onde os conceitos da Lógica Fuzzy são amplamente aplicados.

Aeroespacial

Na indústria aeroespacial, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Controle de altitude da espaçonave
• Controle de altitude por satélite
• Regulação de fluxo e mistura em veículos de degelo de aeronaves

Automotivo

No setor automotivo, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Sistemas fuzzy treináveis ​​para controle de velocidade de marcha lenta
• Método de programação de turnos para transmissão automática
• Sistemas rodoviários inteligentes
• Controle de tráfego
• Melhorar a eficiência das transmissões automáticas

O negócio

Nos negócios, a lógica difusa é usada nas seguintes áreas -

• Sistemas de apoio à tomada de decisão
• Avaliação de pessoal em uma grande empresa

Defesa

Na defesa, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Reconhecimento de alvo subaquático
• Reconhecimento automático de alvo de imagens infravermelhas térmicas
• Auxílios de apoio à decisão naval
• Controle de um interceptor de hipervelocidade
• Modelagem de conjunto difuso de tomada de decisão da OTAN

Eletrônicos

Em eletrônica, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Controle de exposição automática em câmeras de vídeo
• Umidade em uma sala limpa
• Sistemas de ar condicionado
• Cronometragem da máquina de lavar
• Fornos de microondas
• Aspirador de pó

Finança

No campo das finanças, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Controle de transferência de notas
• Gestão de fundos
• Previsões do mercado de ações

Setor industrial

Na indústria, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• O forno de cimento controla o controle do trocador de calor
• Controle de processo de tratamento de águas residuais de lodo ativado
• Controle de planta de purificação de água
• Análise quantitativa de padrões para garantia de qualidade industrial
• Controle de problemas de satisfação de restrição no projeto estrutural
• Controle de usinas de purificação de água

Manufatura

Na indústria de manufatura, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Otimização da produção de queijo
• Otimização da produção de leite

Marinho

No campo marinho, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Piloto automático para navios
• Seleção de rota ideal
• Controle de veículos subaquáticos autônomos
• Direção de navio

Médico

Na área médica, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Sistema de suporte de diagnóstico médico
• Controle da pressão arterial durante a anestesia
• Controle multivariável da anestesia
• Modelagem de achados neuropatológicos em pacientes com Alzheimer
• Diagnósticos radiológicos
• Diagnóstico de inferência difusa de diabetes e câncer de próstata

Títulos

Em títulos, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Sistemas de decisão para negociação de títulos
• Vários aparelhos de segurança

Transporte

No transporte, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Operação automática do trem subterrâneo
• Controle de cronograma de trem
• Aceleração ferroviária
• Travando e parando

Reconhecimento e classificação de padrões

No reconhecimento e classificação de padrões, a lógica difusa é usada nas seguintes áreas -

• Reconhecimento de voz baseado em lógica difusa
• Baseado em lógica difusa
• Reconhecimento de caligrafia
• Análise de características faciais baseada em lógica difusa
• Análise de comando
• Pesquisa difusa de imagens

Psicologia

Em psicologia, a lógica fuzzy é usada nas seguintes áreas -

• Análise do comportamento humano baseada em lógica difusa
• Investigação criminal e prevenção com base em raciocínio de lógica difusa