Программа GATE по математике
Код темы: MA
Структура курса
Разделы / Единицы | Темы |
---|---|
Раздел А | Линейная алгебра |
Раздел B | Комплексный анализ |
Раздел C | Реальный анализ |
Раздел D | Обыкновенные дифференциальные уравнения. |
Раздел E | Алгебра |
Раздел F | Функциональный анализ |
Раздел G | Числовой анализ |
Раздел H | Уравнения с частными производными |
Раздел I | Топология |
Раздел J | вероятность и статистика |
Раздел K | Линейное программирование |
Учебная программа
Section A: Linear Algebra
- Конечномерные векторные пространства
- Линейные преобразования и их матричные представления -
- Rank
- Системы линейных уравнений
- Собственные значения и собственные векторы
- Минимальный многочлен
- Теорема Кэли-Гамильтона
- Diagonalization
- Иордания-каноническая форма
- Hermitian
- Skewhermitian
- Унитарные матрицы
- Конечномерные внутренние пространства продукта -
- Процесс ортонормировки Грама-Шмидта
- Самосопряженные операторы, определенные формы
Section B: Complex Analysis
- Аналитические функции, конформные отображения, билинейные преобразования
- комплексная интеграция -
- Интегральная теорема и формула Коши
- Теорема Лиувилля
- Принцип максимального модуля
- Нули и особенности
- Серия Тейлор и Лорана
- Теорема об остатках и приложения для вычисления вещественных интегралов
Section C: Real Analysis
- Последовательности и ряд функций -
- Равномерная сходимость
- Силовая серия
- Ряд Фурье
- Функции нескольких переменных
- Maxima
- Minima
- Интеграция Римана -
- Кратные интегралы
- Line
- Поверхностные и объемные интегралы
- Теоремы зеленого
- Stokes
- Gauss
- Метрические пространства -
- Compactness
- Completeness
- Аппроксимационная теорема Вейерштрасса
- Мера Лебега -
- Измеримые функции
- Интеграл Лебега -
- Лемма Фату
- Теорема о доминирующей сходимости
Section D: Ordinary Differential Equations
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка -
Теоремы существования и единственности для начальных задач
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Метод преобразований Лапласа для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, серийные решения (степенные ряды, метод Фробениуса)
Функции Лежандра и Бесселя и их ортогональные свойства
Section E: Algebra
Группы, подгруппы, нормальные подгруппы, факторгруппы и теоремы о гомоморфизмах
Automorphisms
Циклические группы и группы перестановок
Теоремы Силова и их приложения
Кольца, идеалы, простые и максимальные идеалы, фактор-кольца, области уникальной факторизации, области главных идеалов, евклидовы области, кольца многочленов и критерии неприводимости
Поля, конечные поля и расширения полей
Section F: Functional Analysis
- Нормированные линейные пространства
- Банаховы пространства
- Теорема Хана-Банаха о продолжении
- Открытое отображение и теоремы о замкнутом графике
- Принцип равномерной ограниченности
- Внутренние пространства продукта
- Гильбертовы пространства
- Ортонормированные базы
- Теорема Рисса о представлении
- Ограниченные линейные операторы
Section G: Numerical Analysis
- Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений -
- Bisection
- Секущий метод
- Метод Ньютона-Рафсона
- Итерация с фиксированной точкой
- Интерполяция -
- Ошибка полиномиальной интерполяции
- Лагранж, интерполяции Ньютона
- Численное дифференцирование
- Численное интегрирование -
- Трапецеидальные правила и правила Симпсона
- Численное решение систем линейных уравнений -
- Прямые методы (исключение Гаусса, разложение Лу)
- Итерационные методы (Якоби и Гаусс-Зейдель)
- Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- Проблемы с начальным значением -
- Метод Эйлера
- Методы Рунге-Кутты 2-го порядка
Section H: Partial Differential Equations
Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка -
Метод характеристик
Линейные уравнения второго порядка с двумя переменными и их классификация
Задачи Коши, Дирихле и Неймана
Решения Лапласа, волны в двумерных декартовых координатах, внутренних и внешних задач Дирихле в полярных координатах
Метод разделения переменных для решения волновых и диффузионных уравнений в одной пространственной переменной
Ряды Фурье и методы преобразования Фурье и преобразования Лапласа решений вышеуказанных уравнений
Section I: Topology
- Основные понятия топологии
- Bases
- Subbases
- Топология подпространства
- Топология заказа
- Топология продукта
- Connectedness
- Compactness
- Countability
- Аксиомы разделения
- Лемма Урысона
Section J: Probability and Statistics
Пространство вероятностей, условная вероятность, теорема Байеса, независимость, случайное
Переменные, совместные и условные распределения, стандартные распределения вероятностей и их свойства (дискретное равномерное, биномиальное, пуассоновское, геометрическое, отрицательное биномиальное, нормальное, экспоненциальное, гамма, непрерывное равномерное, двумерное нормальное, многочленное), математическое ожидание, условное ожидание, моменты
Слабый и сильный закон больших чисел, центральная предельная теорема
Распределения выборки, оценки UMVU, оценки максимального правдоподобия
Оценка интервала
Проверка гипотез, стандартные параметрические тесты на основе нормальных, распределений
Простая линейная регрессия
Section H: Linear programming
Задача линейного программирования и ее постановка, выпуклые множества и их свойства, графический метод, базовое допустимое решение, симплекс-метод, Big-M и двухфазные методы
Недостижимые и неограниченные LPP, альтернативные оптимумы
Двойственная проблема и теоремы двойственности, двойственный симплекс-метод и его применение в анализе постоптимальности
Сбалансированные и неуравновешенные транспортные задачи, приближенный метод Фогеля для решения транспортных задач
Венгерский метод решения задач с заданиями
Чтобы скачать pdf Нажмите здесь .