Toán học rời rạc - Hàm

A Functiongán cho mỗi phần tử của một tập hợp, chính xác một phần tử của một tập hợp có liên quan. Các hàm tìm thấy ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau như biểu diễn độ phức tạp tính toán của các thuật toán, đếm đối tượng, nghiên cứu trình tự và chuỗi, cho đến tên một số. Chương thứ ba và cuối cùng của phần này nêu bật các khía cạnh quan trọng của chức năng.

Chức năng - Định nghĩa

Một hàm hoặc ánh xạ (Được định nghĩa là $ f: X \ rightarrow Y $) là một mối quan hệ từ các phần tử của một tập X với các phần tử của một tập Y khác (X và Y là các tập khác rỗng). X được gọi là Miền và Y được gọi là Codomain của hàm 'f'.

Hàm 'f' là một quan hệ trên X và Y sao cho mỗi $ x \ trong X $, tồn tại một $ y \ trong Y $ duy nhất sao cho $ (x, y) \ trong R $. 'x' được gọi là tiền ảnh và 'y' được gọi là ảnh của hàm f.

Một hàm có thể là một với một hoặc nhiều với một nhưng không phải là một với nhiều.

Chức năng Injective / One-to-one

Một hàm $ f: A \ rightarrow B $ là một hàm riêng biệt hoặc một đối một nếu với mỗi $ b \ trong B $, tồn tại nhiều nhất một $ a \ trong A $ sao cho $ f (s) = t $ .

Điều này có nghĩa là một chức năng f là vô hiệu nếu $ a_1 \ ne a_2 $ ngụ ý $ f (a1) \ ne f (a2) $.

Thí dụ

$ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ là không xác định.
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ là không xác định.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ không có nghĩa là $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $

Chức năng Surjective / Onto

Một hàm $ f: A \ rightarrow B $ là phép ảnh xạ ảnh (lên) nếu ảnh của f bằng phạm vi của nó. Tương tự, với mỗi $ b \ trong B $, tồn tại một số $ a \ trong A $ sao cho $ f (a) = b $. Điều này có nghĩa là với bất kỳ y nào trong B, tồn tại một số x trong A sao cho $ y = f (x) $.

Thí dụ

$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ là hàm phụ.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ không phải là số phụ vì chúng ta không thể tìm thấy một số thực có bình phương là số âm.

Bijective / One-to-one Correspondent

Hàm $ f: A \ rightarrow B $ là đối tượng hoặc tương ứng một đối một nếu và chỉ khi f vừa là suy diễn vừa là chủ quan.

Vấn đề

Chứng minh rằng một hàm $ f: R \ rightarrow R $ xác định bởi $ f (x) = 2x - 3 $ là một hàm nhị phân.

Explanation - Chúng ta phải chứng minh hàm này vừa là hàm thụ cảm vừa là hàm phụ.

Nếu $ f (x_1) = f (x_2) $ thì $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ và điều đó ngụ ý rằng $ x_1 = x_2 $.

Do đó, f là injective.

Ở đây, $ 2x - 3 = y $

Vì vậy, $ x = (y + 5) / 3 $ thuộc R và $ f (x) = y $.

Do đó, f là surjective.

Từ f là cả hai surjective và injective, chúng ta có thể nói f Là bijective.

Nghịch đảo của một hàm

Các inverse của một hàm tương ứng một đối một $ f: A \ rightarrow B $, là hàm $ g: B \ rightarrow A $, giữ thuộc tính sau:

$ f (x) = y \ Mũi tên trái g (y) = x $

Hàm f được gọi là invertible, nếu hàm ngược g của nó tồn tại.

Thí dụ

A Hàm $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, khả nghịch vì nó có hàm ngược $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.
A Hàm $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ không khả nghịch vì đây không phải là một-một như $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.

Thành phần của các hàm

Hai hàm $ f: A \ rightarrow B $ và $ g: B \ rightarrow C $ có thể được tạo để tạo ra một thành phần $ gof $. Đây là một hàm từ A đến C được xác định bởi $ (gof) (x) = g (f (x)) $