Toán học rời rạc - Logic vị từ

Predicate Logic xử lý các vị từ, là các mệnh đề có chứa các biến.

Logic vị từ - Định nghĩa

Vị từ là một biểu thức của một hoặc nhiều biến được xác định trên một số miền cụ thể. Một vị từ với các biến có thể được tạo thành một mệnh đề bằng cách gán giá trị cho biến hoặc bằng cách định lượng biến.

Sau đây là một số ví dụ về các vị từ -

Gọi E (x, y) biểu thị "x = y"
Gọi X (a, b, c) là "a + b + c = 0"
Gọi M (x, y) là "x kết hôn với y"

Công thức được hình thành tốt

Công thức Well Formed (wff) là một vị từ chứa bất kỳ điều nào sau đây:

Tất cả các hằng số mệnh đề và các biến mệnh đề đều là wffs
Nếu x là một biến và Y là sai, thì $ \ forall x Y $ và $ \ tồn tại x Y $ cũng là sai
Giá trị true và giá trị sai là wffs
Mỗi công thức nguyên tử là một wff
Tất cả các kết nối kết nối wffs là wffs

Bộ định lượng

Biến của vị từ được định lượng bằng các bộ định lượng. Có hai loại định lượng trong logic vị từ - Định lượng phổ quát và Định lượng hiện sinh.

Bộ định lượng phổ quát

Bộ định lượng phổ quát tuyên bố rằng các tuyên bố trong phạm vi của nó đúng với mọi giá trị của biến cụ thể. Nó được biểu thị bằng ký hiệu $ \ forall $.

$ \ forall x P (x) $ được đọc vì với mọi giá trị của x, P (x) là true.

Example - "Con người là phàm nhân" có thể được chuyển thành dạng mệnh đề $ \ forall x P (x) $ trong đó P (x) là vị từ biểu thị x là người phàm và vũ trụ của diễn ngôn đều là nam giới.

Bộ định lượng tồn tại

Bộ định lượng hiện tại nói rằng các câu lệnh trong phạm vi của nó là đúng đối với một số giá trị của biến cụ thể. Nó được biểu thị bằng ký hiệu $ \ tồn tại $.

$ \ tồn tại x P (x) $ được đọc như đối với một số giá trị của x, P (x) là true.

Example - "Một số người không trung thực" có thể được chuyển thành dạng mệnh đề $ \ tồn tại x P (x) $ trong đó P (x) là vị từ biểu thị x không trung thực và vũ trụ của diễn ngôn là một số người.

Bộ định lượng lồng nhau

Nếu chúng ta sử dụng một bộ định lượng xuất hiện trong phạm vi của một bộ định lượng khác, nó được gọi là bộ định lượng lồng nhau.

Example

$ \ forall \ a \: \ tồn tại b \: P (x, y) $ trong đó $ P (a, b) $ biểu thị $ a + b = 0 $
$ \ forall \ a \: \ forall \: b \: \ forall \: c \: P (a, b, c) $ trong đó $ P (a, b) $ biểu thị $ a + (b + c) = ( a + b) + c $

Note - $ \ forall \: a \: \ tồn tại b \: P (x, y) \ ne \ tồn tại a \: \ forall b \: P (x, y) $