Toán học rời rạc - Xác suất

Liên quan chặt chẽ đến các khái niệm đếm là Xác suất. Chúng tôi thường cố gắng đoán kết quả của các trò chơi may rủi, như trò chơi đánh bài, máy đánh bạc và xổ số; tức là chúng tôi cố gắng tìm khả năng xảy ra hoặc xác suất mà một kết quả cụ thể có được.

Probabilitycó thể được khái niệm hóa như việc tìm kiếm cơ hội xuất hiện của một sự kiện. Về mặt toán học, đó là nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên và kết quả của chúng. Các định luật xác suất có khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như di truyền học, dự báo thời tiết, thăm dò dư luận, thị trường chứng khoán, v.v.

Các khái niệm cơ bản

Lý thuyết xác suất được phát minh vào thế kỷ 17 bởi hai nhà toán học người Pháp, Blaise Pascal và Pierre de Fermat, những người đang giải quyết các vấn đề toán học liên quan đến may rủi.

Trước khi đi đến chi tiết về xác suất, chúng ta hãy tìm hiểu khái niệm về một số định nghĩa.

Random Experiment- Một thử nghiệm trong đó tất cả các kết quả có thể xảy ra đều đã biết và không thể dự đoán trước kết quả chính xác được gọi là thử nghiệm ngẫu nhiên. Tung đồng xu công bằng là một ví dụ về thử nghiệm ngẫu nhiên.

Sample Space- Khi chúng ta thực hiện một thí nghiệm, thì tập hợp S của tất cả các kết quả có thể xảy ra được gọi là không gian mẫu. Nếu chúng ta tung đồng xu, không gian mẫu $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event- Một tập con bất kỳ của không gian mẫu được gọi là biến cố. Sau khi tung đồng xu, nhận được Trụ trên đỉnh là một sự kiện.

Từ "xác suất" có nghĩa là cơ hội xảy ra của một sự kiện cụ thể. Điều tốt nhất chúng ta có thể nói là khả năng chúng xảy ra như thế nào, sử dụng ý tưởng về xác suất.

$ Xác suất \: của \: sự kiện xảy ra \: của \: an \: event = \ frac {Tổng \: số \: của \: thuận lợi \: kết quả} {Tổng \: số \: của \: Kết quả} $

Khi sự xuất hiện của bất kỳ sự kiện nào thay đổi trong khoảng từ 0% đến 100%, xác suất thay đổi từ 0 đến 1.

Các bước để tìm xác suất

Bước 1 - Tính toán tất cả các kết quả có thể có của thử nghiệm.

Bước 2 - Tính toán số lượng kết quả thuận lợi của thí nghiệm.

Bước 3 - Áp dụng công thức xác suất tương ứng.

Tung đồng xu

Nếu một đồng xu được tung, có hai kết quả có thể xảy ra - Đầu $ (H) $ hoặc Vỹ $ (T) $

Vì vậy, Tổng số kết quả = 2

Do đó, xác suất để có Đầu $ (H) $ ở trên cùng là 1/2 và xác suất để có được Đuôi $ (T) $ ở trên cùng là 1/2

Ném xúc xắc

Khi một con xúc xắc được ném, sáu kết quả có thể có ở trên cùng - $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.

Xác suất của bất kỳ một trong các số là 1/6

Xác suất lấy được số chẵn là 3/6 = 1/2

Xác suất nhận được số lẻ là 3/6 = 1/2

Lấy thẻ từ một bộ bài

Từ bộ bài 52 lá, nếu một lá được chọn, hãy tìm xác suất rút được quân át và cũng tìm xác suất rút được kim cương.

Tổng số kết quả có thể xảy ra - 52

Kết quả là một át chủ bài - 4

Xác suất trở thành con át chủ bài = 4/52 = 1/13

Xác suất trở thành viên kim cương = 13/52 = 1/4

Tiên đề xác suất

Xác suất của một sự kiện luôn thay đổi từ 0 đến 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
Đối với một sự kiện không thể xảy ra, xác suất là 0 và đối với một sự kiện nhất định, xác suất là 1.
Nếu sự xuất hiện của một sự kiện này không bị ảnh hưởng bởi sự kiện khác, chúng được gọi là loại trừ lẫn nhau hoặc rời rạc.

Nếu $ A_1, A_2 .... A_n $ là các sự kiện loại trừ lẫn nhau / tách rời nhau thì $ P (A_i \ cap A_j) = \ blankset $ cho $ i \ ne j $ và $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

Tính chất của xác suất

Nếu có hai sự kiện $ x $ và $ \ overline {x} $ bổ sung cho nhau, thì xác suất của sự kiện bổ sung là -

$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
Đối với hai sự kiện không rời rạc A và B, xác suất kết hợp của hai sự kiện -

$ P (A \ cup B) = P (A) + P (B) $
Nếu một sự kiện A là một tập con của một sự kiện B khác (tức là $ A \ tập con B $), thì xác suất của A nhỏ hơn hoặc bằng xác suất của B. Do đó, $ A \ tập con B $ ngụ ý $ P (A ) \ leq p (B) $

Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của sự kiện B là xác suất mà sự kiện sẽ xảy ra khi sự kiện A đã xảy ra. Điều này được viết là $ P (B | A) $.

Về mặt toán học - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

Nếu sự kiện A và B loại trừ lẫn nhau, thì xác suất có điều kiện của sự kiện B sau sự kiện A sẽ là xác suất của sự kiện B là $ P (B) $.

Problem 1

Ở một quốc gia, 50% thanh thiếu niên sở hữu xe đạp và 30% thanh thiếu niên sở hữu xe đạp và đạp xe. Xác suất mà một thiếu niên sở hữu xe đạp cho rằng thiếu niên đó sở hữu một chu kỳ là bao nhiêu?

Solution

Giả sử A là biến cố thanh thiếu niên chỉ sở hữu một chiếc xe đạp và B là biến cố thanh thiếu niên chỉ sở hữu một chiếc xe đạp.

Vì vậy, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ và $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ từ bài toán đã cho.

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $

Do đó, xác suất mà một thiếu niên sở hữu xe đạp cho rằng thiếu niên đó sở hữu một vòng quay là 60%.

Problem 2

Trong một lớp học, 50% học sinh chơi cricket và 25% học sinh chơi cricket và bóng chuyền. Xác suất để một học sinh chơi bóng chuyền và một học sinh chơi cricket là bao nhiêu?

Solution

Giả sử A là sự kiện học sinh chỉ chơi cricket và B là sự kiện học sinh chỉ chơi bóng chuyền.

Vì vậy, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ và $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ từ bài toán đã cho.

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0,25 / 0,5 = 0,5 $

Do đó, xác suất một sinh viên chơi bóng chuyền và sinh viên đó chơi cricket là 50%.

Problem 3

Sáu máy tính xách tay tốt và ba máy tính xách tay bị lỗi được trộn lẫn với nhau. Để tìm ra các máy tính xách tay bị lỗi, tất cả chúng đều được kiểm tra ngẫu nhiên từng chiếc một. Xác suất để tìm được cả hai máy tính xách tay bị lỗi trong hai lần chọn đầu tiên là bao nhiêu?

Solution

Gọi A là sự kiện chúng ta tìm thấy một máy tính xách tay bị lỗi trong lần kiểm tra đầu tiên và B là sự kiện chúng tôi tìm thấy một máy tính xách tay bị lỗi trong lần kiểm tra thứ hai.

Do đó, $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ lần 2/8 = 1/12 $

Định lý Bayes

Theorem- Nếu A và B là hai sự kiện loại trừ nhau, trong đó $ P (A) $ là xác suất của A và $ P (B) $ là xác suất của B, $ P (A | B) $ là xác suất của A cho trước B đúng. $ P (B | A) $ là xác suất của B cho rằng A đúng, khi đó Định lý Bayes phát biểu:

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

Ứng dụng của Định lý Bayes

Trong các tình huống mà tất cả các sự kiện của không gian mẫu là các sự kiện loại trừ lẫn nhau.
Trong các tình huống mà $ P (A_i \ cap B) $ cho mỗi $ A_i $ hoặc $ P (A_i) $ và $ P (B | A_i) $ cho mỗi $ A_i $ được biết.

Problem

Hãy xem xét ba giá đỡ bút. Giá đựng bút thứ nhất chứa 2 bút đỏ và 3 bút xanh; cái thứ hai có 3 bút đỏ và 2 bút xanh; còn chiếc thứ ba có 4 bút đỏ và 1 bút xanh. Xác suất mỗi giá bút được chọn là như nhau. Nếu một cây bút được rút ra một cách ngẫu nhiên, thì xác suất nó là một cây bút màu đỏ là bao nhiêu?

Solution

Gọi $ A_i $ là sự kiện mà chiếc bút ^{thứ của} tôi được chọn.

Ở đây, i = 1,2,3.

Vì xác suất để chọn giá đỡ bút là bằng nhau, $ P (A_i) = 1/3 $

Gọi B là biến cố bút đỏ được vẽ.

Xác suất để một cây bút đỏ được chọn trong số năm cây bút của giá đựng bút thứ nhất,

$ P (B | A_1) = 2/5 $

Xác suất để một cây bút đỏ được chọn trong số năm cây bút của giá đựng bút thứ hai,

$ P (B | A_2) = 3/5 $

Xác suất để một cây bút đỏ được chọn trong số năm cây viết của giá đựng bút thứ ba,

$ P (B | A_3) = 4/5 $

Theo Định lý Bayes,