Nhà khai thác & Định đề

Lý thuyết Nhóm là một nhánh của toán học và đại số trừu tượng xác định một cấu trúc đại số có tên là group. Nói chung, một nhóm bao gồm một tập hợp các phần tử và một phép toán trên hai phần tử bất kỳ trên tập hợp đó để tạo thành một phần tử thứ ba cũng trong tập hợp đó.

Năm 1854, Arthur Cayley, nhà toán học người Anh, lần đầu tiên đưa ra định nghĩa hiện đại về nhóm -

“Một tập hợp các ký hiệu tất cả chúng đều khác nhau, và sao cho sản phẩm của bất kỳ hai ký hiệu nào trong số chúng (bất kể theo thứ tự nào), hoặc sản phẩm của bất kỳ ký hiệu nào trong số chúng, thuộc về tập hợp đó, được cho là một nhóm . Những biểu tượng này nói chung không có thể chuyển đổi [giao hoán], nhưng có tính chất liên kết. "

Trong chương này, chúng ta sẽ biết về operators and postulates hình thành những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp, lý thuyết nhóm và đại số Boolean.

Bất kỳ tập hợp phần tử nào trong một hệ thống toán học có thể được xác định bằng một tập hợp các toán tử và một số định đề.

A binary operatorđược xác định trên một tập hợp các phần tử là một quy tắc gán cho mỗi cặp phần tử một phần tử duy nhất từ tập hợp đó. Ví dụ: với tập hợp $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, chúng ta có thể nói $ \ otimes $ là một toán tử nhị phân cho phép toán $ c = a \ otimes b $, nếu nó chỉ định quy tắc tìm c cho cặp $ (a, b) $, sao cho $ a, b, c \ trong A $.

Các postulatescủa một hệ thống toán học hình thành các giả định cơ bản mà từ đó các quy tắc có thể được suy ra. Các định đề là -

Khép kín

Một tập hợp được đóng đối với toán tử nhị phân nếu với mọi cặp phần tử trong tập hợp, toán tử tìm thấy một phần tử duy nhất từ tập hợp đó.

Thí dụ

Cho $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dot \ rbrace $

Tập hợp này được đóng dưới toán tử nhị phân thành $ (\ ast) $, vì đối với phép toán $ c = a \ ast b $, với bất kỳ $ a, b \ in A $, sản phẩm $ c \ in A $.

Tập hợp không được đóng dưới phép chia toán tử nhị phân $ (\ div) $, bởi vì, đối với phép toán $ c = a \ div b $, với bất kỳ $ a, b \ in A $ nào, sản phẩm c có thể không nằm trong tập hợp A. Nếu $ a = 7, b = 2 $ thì $ c = 3,5 $. Đây $ a, b \ in A $ nhưng $ c \ notin A $.

Luật liên kết

Toán tử nhị phân $ \ otimes $ trên tập A là liên kết khi nó giữ thuộc tính sau:

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, trong đó $ x, y, z \ in A $

Thí dụ

Cho $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Toán tử cộng với $ (+) $ là liên kết vì đối với ba phần tử bất kỳ, $ x, y, z \ trong A $, thuộc tính $ (x + y) + z = x + (y + z) $ giữ nguyên.

Toán tử trừ $ (-) $ không liên kết vì

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Luật giao hoán

Toán tử nhị phân $ \ otimes $ trên tập A là giao hoán khi nó giữ thuộc tính sau:

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, trong đó $ x, y \ in A $

Thí dụ

Cho $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Toán tử cộng với $ (+) $ có tính chất giao hoán vì với hai phần tử bất kỳ, $ x, y \ trong A $, thuộc tính $ x + y = y + x $ giữ nguyên.

Toán tử trừ $ (-) $ không liên kết vì

$$ x - y \ ne y - x $$

Luật phân tán

Hai toán tử nhị phân $ \ otimes $ và $ \ circleledast $ trên tập A, được phân phối trên toán tử $ \ circleastast $ khi thuộc tính sau giữ:

$ x \ otimes (y \ circleledast z) = (x \ otimes y) \ circleledast (x \ otimes z) $, trong đó $ x, y, z \ in A $

Thí dụ

Cho $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Các toán tử thành $ (*) $ và cộng với $ (+) $ được phân phối trên toán tử + vì đối với ba phần tử bất kỳ, $ x, y, z \ trong A $, thuộc tính $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ giữ.

Tuy nhiên, các toán tử này không phân phối trên $ * $ vì

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Yếu tố nhận dạng

Một tập hợp A có một phần tử nhận dạng liên quan đến phép toán nhị phân $ \ otimes $ trên A, nếu tồn tại một phần tử $ e \ trong A $, sao cho thuộc tính sau giữ:

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, trong đó $ x \ in A $

Thí dụ

Cho $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dot \ rbrace $

Phần tử 1 là phần tử nhận dạng đối với phép toán $ * $ vì đối với bất kỳ phần tử nào $ x \ trong Z $,

$$ 1 * x = x * 1 $$

Mặt khác, không có phần tử nhận dạng nào cho phép toán trừ $ (-) $

Nghịch đảo

Nếu một tập hợp A có một phần tử đồng nhất $ e $ đối với toán tử nhị phân $ \ otimes $, nó được cho là có nghịch đảo bất cứ khi nào với mọi phần tử $ x \ trong A $, tồn tại một phần tử khác $ y \ trong A $ , sao cho tài sản sau đây giữ:

$$ x \ otimes y = e $$