Toán học rời rạc - Quy tắc suy luận

Để suy ra những tuyên bố mới từ những tuyên bố có sự thật mà chúng ta đã biết, Rules of Inference được sử dụng.

Quy tắc suy luận để làm gì?

Lôgic toán học thường được sử dụng để chứng minh lôgic. Chứng minh là những lập luận xác đáng xác định giá trị chân lý của các phát biểu toán học.

Một đối số là một chuỗi các câu lệnh. Phát biểu cuối cùng là kết luận và tất cả các phát biểu trước nó được gọi là tiền đề (hoặc giả thuyết). Ký hiệu “$ \ do đó $”, (do đó đọc) được đặt trước phần kết luận. Một lập luận hợp lệ là một trong đó kết luận được đưa ra từ các giá trị chân lý của tiền đề.

Quy tắc suy luận cung cấp các mẫu hoặc hướng dẫn để xây dựng các đối số hợp lệ từ các câu lệnh mà chúng tôi đã có.

Bảng quy tắc suy luận

Quy tắc suy luận	Tên	Quy tắc suy luận	Tên
$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ do đó P \ lor Q \ end {matrix} $$	Thêm vào	$$ \ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \ do đó Q \ end {matrix} $$	Sự phân biệt âm tiết
$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ do đó P \ land Q \ end {matrix} $$	Kết hợp	$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ do đó P \ rightarrow R \ end {matrix} $$	Thuyết âm tiết giả thuyết
$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ do đó P \ end {matrix} $$	Đơn giản hóa	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ do đó Q \ lor S \ end {matrix} $$	Tiến thoái lưỡng nan về xây dựng
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ do đó Q \ end {matrix} $$	Modus Ponens	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ do đó \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$	Thế tiến thoái lưỡng nan hủy diệt
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ do đó \ lnot P \ end {matrix} $$	Modus Tollens

Thêm vào

Nếu P là tiền đề, chúng ta có thể sử dụng quy tắc Cộng để tính được $ P \ l hoặc Q $.

$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ do đó P \ lor Q \ end {matrix} $$

Thí dụ

Đặt P là mệnh đề, “Anh ấy học rất chăm chỉ” là đúng

Do đó - "Hoặc là anh ấy học rất chăm chỉ Hoặc anh ấy là một học sinh rất tệ." Ở đây Q là mệnh đề “anh ấy là một học sinh rất tệ”.

Kết hợp

Nếu P và Q là hai tiền đề, chúng ta có thể sử dụng quy tắc Kết hợp để tính được $ P \ land Q $.

$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ do đó P \ land Q \ end {matrix} $$

Thí dụ

Hãy để P - "Anh ấy học rất chăm chỉ"

Hãy để Q - "Anh ấy là cậu bé giỏi nhất trong lớp"

Vì vậy - "Cậu ấy học rất chăm chỉ và cậu ấy là cậu bé học giỏi nhất lớp"

Đơn giản hóa

Nếu $ P \ land Q $ là tiền đề, chúng ta có thể sử dụng quy tắc Đơn giản hóa để tính P.

$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ do đó P \ end {matrix} $$

Thí dụ

"Cậu ấy học rất chăm chỉ và là cậu bé giỏi nhất lớp", $ P \ land Q $

Do đó - "Anh ấy học hành rất chăm chỉ"

Modus Ponens

Nếu P và $ P \ rightarrow Q $ là hai tiền đề, chúng ta có thể sử dụng Modus Ponens để tính Q.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ do đó Q \ end {matrix} $$

Thí dụ

"Nếu bạn có mật khẩu, thì bạn có thể đăng nhập vào facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Bạn có một mật khẩu", P

Do đó - "Bạn có thể đăng nhập vào facebook"

Modus Tollens

Nếu $ P \ rightarrow Q $ và $ \ lnot Q $ là hai tiền đề, chúng ta có thể sử dụng Modus Tollens để tính ra $ \ lnot P $.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ do đó \ lnot P \ end {matrix} $$

Thí dụ

"Nếu bạn có mật khẩu, thì bạn có thể đăng nhập vào facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Bạn không thể đăng nhập vào facebook", $ \ lnot Q $

Do đó - "Bạn không có mật khẩu"

Sự phân biệt âm tiết

Nếu $ \ lnot P $ và $ P \ lor Q $ là hai tiền đề, chúng ta có thể sử dụng Thuyết âm tiết không hợp ngữ để suy ra Q.

$$ \ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ do đó Q \ end {matrix} $$

Thí dụ

"Kem không có hương vani", $ \ lnot P $

"Kem có vị vani hoặc vị sô cô la", $ P \ lor Q $

Do đó - "Kem có vị sô cô la"

Thuyết âm tiết giả thuyết

Nếu $ P \ rightarrow Q $ và $ Q \ rightarrow R $ là hai tiền đề, chúng ta có thể sử dụng Thuyết âm tiết giả thuyết để suy ra $ P \ rightarrow R $

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ do đó P \ rightarrow R \ end {matrix} $$

Thí dụ

"Nếu trời mưa, tôi sẽ không đi học", $ P \ rightarrow Q $

"Nếu tôi không đến trường, tôi sẽ không cần phải làm bài tập về nhà", $ Q \ rightarrow R $

Do đó - "Nếu trời mưa, tôi sẽ không cần làm bài tập về nhà"

Tiến thoái lưỡng nan về xây dựng

Nếu $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ và $ P \ lor R $ là hai tiền đề, chúng ta có thể sử dụng tình huống tiến thoái lưỡng nan có tính xây dựng để tính được $ Q \ lor S $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ do đó Q \ lor S \ end {matrix} $$

Thí dụ

“Nếu trời mưa, tôi sẽ nghỉ phép”, $ (P \ rightarrow Q) $

“Nếu bên ngoài trời nóng, tôi sẽ đi tắm”, $ (R \ rightarrow S) $

“Trời sẽ mưa hoặc ngoài trời nóng”, $ P \ lor R $

Do đó - "Tôi xin nghỉ phép hoặc tôi sẽ đi tắm"

Thế tiến thoái lưỡng nan hủy diệt

Nếu $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ và $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $ là hai tiền đề, chúng ta có thể sử dụng thế tiến thoái lưỡng nan để tìm ra $ \ lnot P \ lor \ lnot R $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ do đó \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

Thí dụ

“Nếu trời mưa, tôi sẽ nghỉ phép”, $ (P \ rightarrow Q) $

“Nếu bên ngoài trời nóng, tôi sẽ đi tắm”, $ (R \ rightarrow S) $

“Tôi sẽ không nghỉ phép hoặc tôi sẽ không đi tắm”, $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $

Do đó - "Trời không mưa hoặc ngoài trời không nóng"