Die Fourierreihe

Jean Baptiste Joseph Fourier,ein französischer Mathematiker und ein Physiker; wurde in Auxerre, Frankreich geboren. Er initialisierte Fourier-Reihen, Fourier-Transformationen und ihre Anwendungen auf Probleme der Wärmeübertragung und Vibrationen. Die Fourier-Reihe, Fourier-Transformationen und das Fourier-Gesetz sind ihm zu Ehren benannt.

die Fourierreihe

Um ein periodisches Signal x (t) darzustellen, entwickelte Fourier einen Ausdruck namens Fourier-Reihe. Dies ist eine unendliche Summe von Sinus und Cosinus oder Exponentialen. Die Fourier-Reihe verwendet die Orthoganalitätsbedingung.

Fourierreihen-Darstellung kontinuierlicher zeitperiodischer Signale

Ein Signal wird als periodisch bezeichnet, wenn es die Bedingung x (t) = x (t + T) oder x (n) = x (n + N) erfüllt.

Wobei T = Grundzeitraum,

ω ₀ = Grundfrequenz = 2π / T.

Es gibt zwei grundlegende periodische Signale:

$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (sinusförmig) &

$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (komplex exponentiell)

Diese beiden Signale sind periodisch mit der Periode $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.

Eine Menge harmonisch verwandter komplexer Exponentiale kann als {$ \ phi_k (t) $} dargestellt werden.

$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ über T}) t} \} \ text {where} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$

Alle diese Signale sind periodisch mit der Periode T.

Gemäß der orthogonalen Signalraumnäherung einer Funktion x (t) mit n sind zueinander orthogonale Funktionen gegeben durch

$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

Wobei $ a_k $ = Fourierkoeffizient = Approximationskoeffizient.

Dieses Signal x (t) ist auch mit der Periode T periodisch.

Gleichung 2 repräsentiert die Fourierreihendarstellung des periodischen Signals x (t).

Der Term k = 0 ist konstant.

Der Begriff $ k = \ PM1 $ $ Grundfrequenz mit \ omega_0 $, als 1 bezeichnet wird ^st Harmonischen.

Der Begriff $ k = \ $ PM2 mit Grundfrequenz $ 2 \ omega_0 $, wird als 2 bezeichnet ^nd Harmonischen, und so weiter ...

Der Term $ k = ± n $ mit der Grundfrequenz $ n \ omega0 $ wird als n- ^te Harmonische bezeichnet.

Ableiten des Fourier-Koeffizienten

Wir wissen, dass $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $

Multiplizieren Sie $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ auf beiden Seiten. Dann

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

Betrachten Sie Integral auf beiden Seiten.

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$

nach Eulers Formel,

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$

Daher ist in Gleichung 2 das Integral für alle Werte von k Null, außer bei k = n. Setze k = n in Gleichung 2.

$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ über T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

Ersetzen Sie n durch k.

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ über T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \ also x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$

$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$