Signalabtastungssatz
Statement:Ein kontinuierliches Zeitsignal kann in seinen Abtastwerten dargestellt werden und kann zurückgewonnen werden, wenn die Abtastfrequenz f s größer oder gleich der doppelt so hohen Frequenzkomponente des Nachrichtensignals ist. dh
$$ f_s \ geq 2 f_m. $$
Proof:Betrachten Sie ein kontinuierliches Zeitsignal x (t). Das Spektrum von x (t) ist ein auf f m Hz begrenztes Band, dh das Spektrum von x (t) ist für | ω |> ω m Null .
Die Abtastung des Eingangssignals x (t) kann durch Multiplizieren von x (t) mit einer Impulsfolge δ (t) der Periode T s erhalten werden . Der Ausgang des Multiplikators ist ein diskretes Signal, das als abgetastetes Signal bezeichnet wird und in den folgenden Diagrammen mit y (t) dargestellt ist:
Hier können Sie beobachten, dass das abgetastete Signal die Impulsperiode benötigt. Der Prozess der Probenahme kann durch den folgenden mathematischen Ausdruck erklärt werden:
$ \ text {Abtastsignal} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $
Die trigonometrische Fourierreihendarstellung von $ \ delta $ (t) ist gegeben durch
$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cosn \ omega_s t + b_n \ sinn \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $
Wobei $ a_0 = {1 \ über T_s} \ int _ {- T \ über 2} ^ {T \ über 2} \ Delta (t) dt = {1 \ über T_s} \ Delta (0) = {1 \ über T_s } $
$ a_n = {2 \ über T_s} \ int _ {- T \ über 2} ^ {T \ über 2} \ Delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ über T_2} \ Delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ über T} $
$ b_n = {2 \ über T_s} \ int _ {- T \ über 2} ^ {T \ über 2} \ Delta (t) \ sinn \ omega_s t \, dt = {2 \ über T_s} \ Delta ( 0) \ sin n \ omega_s 0 = 0 $
Ersetzen Sie die obigen Werte in Gleichung 2.
$ \ also \, \ delta (t) = {1 \ über T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ über T_s} \ cos n \ omega_s t + 0) $
Ersetzen Sie δ (t) in Gleichung 1.
$ \ bis y (t) = x (t). \ delta (t) $
$ = x (t) [{1 \ über T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ über T_s} \ cos n \ omega_s t)] $
$ = {1 \ über T_s} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $
$ y (t) = {1 \ über T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) \, ... \, ... \,] $
Nehmen Sie die Fourier-Transformation auf beiden Seiten.
$ Y (\ omega) = {1 \ über T_s} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ Omega + 2 \ Omega_s) + \, ...] $
$ \ also \, \, Y (\ omega) = {1 \ über T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad wobei \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $
Um x (t) zu rekonstruieren, müssen Sie das Eingangssignalspektrum X (ω) aus dem abgetasteten Signalspektrum Y (ω) wiederherstellen, was möglich ist, wenn zwischen den Zyklen von Y (ω) keine Überlappung besteht.
Die Möglichkeit eines abgetasteten Frequenzspektrums mit unterschiedlichen Bedingungen wird durch die folgenden Diagramme gegeben:
Aliasing-Effekt
Der überlappende Bereich bei Unterabtastung stellt einen Aliasing-Effekt dar, der durch entfernt werden kann
unter Berücksichtigung von f s > 2f m
Durch die Verwendung von Anti-Aliasing-Filtern.