Programa de estudios de matemáticas GATE

Código de asunto: MA

Secciones / Unidades	Temas
Sección a	Álgebra lineal
Sección B	Análisis complejo
Sección C	Análisis real
Sección D	Ecuaciones diferenciales ordinarias
Sección E	Álgebra
Sección F	Análisis funcional
Sección G	Análisis numérico
Sección H	Ecuaciones diferenciales parciales
Sección I	Topología
Sección J	Probabilidades y estadísticas
Sección K	Programación lineal

Section A: Linear Algebra

Espacios vectoriales de dimensión finita
Transformaciones lineales y sus representaciones matriciales -
- Rank
- Sistemas de ecuaciones lineales
- Valores propios y vectores propios
- Polinomio mínimo
- Teorema de Cayley-hamilton
- Diagonalization
- Jordan-forma canónica
- Hermitian
- Skewhermitian
- Matrices unitarias
Espacios de producto internos de dimensión finita -
- Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
- Operadores autoadjuntos, formas definidas

Section B: Complex Analysis

Funciones analíticas, mapeos conformes, transformaciones bilineales
integración compleja -
- Teorema y fórmula de la integral de Cauchy
- Teorema de Liouville
- Principio de módulo máximo
Ceros y singularidades
Serie de Taylor y Laurent
Teorema de residuos y aplicaciones para evaluar integrales reales

Section C: Real Analysis

Secuencias y series de funciones -
- Convergencia uniforme
- Serie de potencia
- series de Fourier
- Funciones de varias variables
- Maxima
- Minima
Integración de Riemann -
- Varias integrales
- Line
- Integrales de superficie y volumen
- Teoremas del verde
- Stokes
- Gauss
Espacios métricos -
- Compactness
- Completeness
- Teorema de aproximación de Weierstrass
Medida de Lebesgue -
- Funciones medibles
Integral de Lebesgue -
- Lema de fatou
- Teorema de convergencia dominado

Section D: Ordinary Differential Equations

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden -
- Teoremas de existencia y unicidad para problemas de valor inicial
- Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden
- Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior con coeficientes constantes
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes variables
Método de transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, soluciones en serie (series de potencias, método de Frobenius)
Funciones de Legendre y Bessel y sus propiedades ortogonales

Section E: Algebra

Grupos, subgrupos, subgrupos normales, grupos de cocientes y teoremas de homomorfismo
Automorphisms
Grupos cíclicos y grupos de permutación
Teoremas de Sylow y sus aplicaciones
Anillos, ideales, ideales primos y máximos, anillos de cociente, dominios de factorización únicos, dominios ideales del principio, dominios euclidianos, anillos polinómicos y criterios de irreductibilidad
Campos, campos finitos y extensiones de campo

Section F: Functional Analysis

Section G: Numerical Analysis

Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentales -
- Bisection
- Método secante
- Método de Newton-Raphson
- Iteración de punto fijo
Interpolación -
- Error de interpolación polinomial
- Interpolaciones de Lagrange, Newton
Diferenciación numérica
Integración numérica -
- Reglas trapezoidales y de Simpson
Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales -
- Métodos directos (eliminación de Gauss, descomposición de Lu)
Métodos iterativos (Jacobi y Gauss-Seidel)
Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
Problemas de valor inicial -
- Método de Euler
- Métodos de Runge-Kutta de orden 2

Section H: Partial Differential Equations

Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden lineales y cuasilineales -
- Método de características
Ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables y su clasificación
Problemas de Cauchy, Dirichlet y Neumann
Soluciones de Laplace, onda en coordenadas cartesianas bidimensionales, problemas de Dirichlet interior y exterior en coordenadas polares
Método de separación de variables para resolver ecuaciones de onda y difusión en una variable espacial
Métodos de soluciones de la serie de Fourier y la transformada de Fourier y la transformada de Laplace para las ecuaciones anteriores

Section I: Topology

Section J: Probability and Statistics

Espacio de probabilidad, probabilidad condicional, teorema de Bayes, independencia, aleatorio
Variables, distribuciones conjuntas y condicionales, distribuciones de probabilidad estándar y sus propiedades (Discreto uniforme, Binomial, Poisson, Geométrico, Binomial negativo, Normal, Exponencial, Gamma, Uniforme continuo, Normal bivariante, Multinomial), expectativa, expectativa condicional, momentos
Ley débil y fuerte de los grandes números, teorema del límite central
Distribuciones muestrales, estimadores UMVU, estimadores de máxima verosimilitud
Estimación de intervalo
Prueba de hipótesis, pruebas paramétricas estándar basadas en distribuciones normales
Regresión lineal simple

Section H: Linear programming

Problema de programación lineal y su formulación, conjuntos convexos y sus propiedades, método gráfico, solución básica factible, método simplex, Big-M y métodos bifásicos
LPP's inviables e ilimitados, óptimos alternativos
Teoremas del problema dual y de la dualidad, el método dual simplex y su aplicación en el análisis posterior a la optimización
Problemas de transporte equilibrados y desequilibrados, método de aproximación de Vogel's para resolver problemas de transporte
Método húngaro para resolver problemas de asignación

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