Optimisation convexe - Cônes

Un ensemble non vide C dans $ \ mathbb {R} ^ n $ est dit cône de sommet 0 si $ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $.

Un ensemble C est un cône convexe s'il est convexe aussi bien qu'un cône.

Par exemple, $ y = \ left | x \ right | $ n'est pas un cône convexe car il n'est pas convexe.

Mais, $ y \ geq \ left | x \ right | $ est un cône convexe car il est aussi bien convexe qu'un cône.

Note - Un cône C est convexe si et seulement si pour tout $ x, y \ en C, x + y \ en C $.

Preuve

Puisque C est un cône, pour $ x, y \ dans C \ Rightarrow \ lambda x \ dans C $ et $ \ mu y \ dans C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $

C est convexe si $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Puisque C est un cône, $ \ lambda x \ en C $ et $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ en C \ Leftrightarrow x, y \ en C $

Ainsi C est convexe si $ x + y \ dans C $

En général, si $ x_1, x_2 \ dans C $, alors, $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Exemples

• La combinaison conique d'un ensemble infini de vecteurs dans $ \ mathbb {R} ^ n $ est un cône convexe.

• Tout ensemble vide est un cône convexe.

• Toute fonction linéaire est un cône convexe.

• Puisqu'un hyperplan est linéaire, c'est aussi un cône convexe.

• Les demi-espaces fermés sont également des cônes convexes.

Note - L'intersection de deux cônes convexes est un cône convexe mais leur union peut ou non être un cône convexe.