Fonction fortement quasiconvexe

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $ alors f est fortement fonction quasiconvexe si pour tout $ x_1, x_2 \ dans S $ avec $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, nous avons $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

Théorème

Une fonction quasiconvexe $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ sur un ensemble convexe non vide S dans $ \ mathbb {R} ^ n $ est fortement fonction quasiconvexe si elle n'est pas constante sur un segment de ligne joignant tout points de S.

Preuve

Soit f une fonction quasiconvexe et elle n'est pas constante sur un segment de droite joignant des points de S.

Supposons que f n'est pas une fonction fortement quasiconvexe.

Il existe $ x_1, x_2 \ dans S $ avec $ x_1 \ neq x_2 $ tel que

$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ et $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $

Puisque f n'est pas constant dans $ \ left [x_1, z \ right] $ et $ \ left [z, x_2 \ right] $

Il existe donc $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ et $ v = \ left [z, x_2 \ right] $

$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$

Puisque f est quasiconvexe,

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: et \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: et \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $

$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$

Mais z est n'importe quel point entre u et v, si l'un d'entre eux est égal, alors f est constant.

Par conséquent, $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $

ce qui contredit la quasiconvexité de f comme $ z \ in \ left [u, v \ right] $.

Donc f est une fonction fortement quasiconvexe.

Théorème

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $. Si $ \ hat {x} $ est une solution optimale locale, alors $ \ hat {x} $ est une solution optimale globale unique.

Preuve

Puisqu'une fonction quasiconvexe forte est également une fonction strictement quasiconvexe, une solution optimale locale est donc une solution optimale globale.

Uniqueness - Soit f atteint la solution optimale globale en deux points $ u, v \ dans S $

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: et \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ gauche (x \ droite). \ forall x \ in S $$

Si u est la solution globale optimale, $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ et $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ gauche (u \ droite) = f \ gauche (v \ droite) $

$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ gauche (u \ droite) $$

ce qui est une contradiction.

Il n'existe donc qu'une seule solution optimale globale.

Remarques

• Une fonction fortement quasiconvexe est également une fonction strictement quasiconvexe.
• Une fonction strictement convexe peut ou non être fortement quasiconvexe.
• Un différentiable strictement convexe est fortement quasiconvexe.