Optimisation convexe - l'inégalité de Jensen

Soit S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $ et $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $. Alors f est convexe si et seulement si pour chaque entier $ k> 0 $

$ x_1, x_2, ... x_k \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, s, k $, nous avons $ f \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i \ right) \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda _if \ left (x \ right) $

Preuve

Par récurrence sur k.

$ k = 1: x_1 \ in S $ Donc $ f \ left (\ lambda_1 x_1 \ right) \ leq \ lambda_i f \ left (x_1 \ right) $ parce que $ \ lambda_i = 1 $.

$ k = 2: \ lambda_1 + \ lambda_2 = 1 $ et $ x_1, x_2 \ en S $

Par conséquent, $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in S $

Donc, par définition, $ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 \ right) \ leq \ lambda _1f \ left (x_1 \ right) + \ lambda _2f \ left (x_2 \ right) $

Soit la déclaration est vraie pour $ n <k $

Par conséquent,

$ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 + .... + \ lambda_k x_k \ right) \ leq \ lambda_1 f \ left (x_1 \ right) + \ lambda_2 f \ left (x_2 \ right) + ... + \ lambda_k f \ gauche (x_k \ droite) $

$ k = n + 1: $ Soit $ x_1, x_2, .... x_n, x_ {n + 1} \ in S $ et $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n + 1} = 1 $

Donc $ \ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ....... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ in S $

ainsi, $ f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $

$ = f \ left (\ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + \ mu_3} + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ droite) $

$ = f \ left (\ mu_y + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $ où $ \ mu = \ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n $ et

$ y = \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} $ et aussi $ \ mu_1 + \ mu_ {n + 1} = 1, y \ in S $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu f \ left (y \ right) + \ mu_ {n +1} f \ gauche (x_ {n + 1} \ droite) $

$ \ Flèche droite f \ gauche (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ droite) \ leq $

$ \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) f \ left (\ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} \ right) + \ mu_ {n + 1} f \ gauche (x_ {n + 1} \ droite) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ droite) $

$ \ left [\ frac {\ mu_1} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ left (x_1 \ right) + ... + \ frac {\ mu_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ gauche (x_n \ droite) \ droite] + \ mu_ {n + 1} f \ gauche (x_ {n + 1} \ droite) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu_1f \ left (x_1 \ right) + \ mu_2f \ left ( x_2 \ droite) + .... $

D'où prouvé.