Série Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier,un mathématicien français et un physicien; est né à Auxerre, France. Il a initialisé les séries de Fourier, les transformées de Fourier et leurs applications aux problèmes de transfert de chaleur et de vibrations. La série de Fourier, les transformées de Fourier et la loi de Fourier sont nommées en son honneur.

Série Fourier

Pour représenter tout signal périodique x (t), Fourier a développé une expression appelée série de Fourier. C'est en termes d'une somme infinie de sinus et cosinus ou exponentiels. La série de Fourier utilise la condition d'orthoganalité.

Représentation en série de Fourier des signaux périodiques à temps continu

Un signal est dit périodique s'il satisfait à la condition x (t) = x (t + T) ou x (n) = x (n + N).

Où T = période de temps fondamentale,

ω ₀ = fréquence fondamentale = 2π / T

Il existe deux signaux périodiques de base:

$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (sinusoïdal) &

$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (exponentielle complexe)

Ces deux signaux sont périodiques de période $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.

Un ensemble d'exponentielles complexes harmoniquement liées peut être représenté par {$ \ phi_k (t) $}

$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {où} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$

Tous ces signaux sont périodiques de période T

Selon l'approximation orthogonale de l'espace de signal d'une fonction x (t) avec n, les fonctions mutuellement orthogonales sont données par

$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

Où $ a_k $ = coefficient de Fourier = coefficient d'approximation.

Ce signal x (t) est également périodique de période T.

L'équation 2 représente une représentation en série de Fourier du signal périodique x (t).

Le terme k = 0 est constant.

Le terme $ k = \ pm1 $ ayant la fréquence fondamentale $ \ omega_0 $, est appelé 1 ^er harmonique.

Le terme $ k = \ pm2 $ ayant une fréquence fondamentale $ 2 \ omega_0 $, est appelé 2 ^nd harmoniques, et ainsi de suite ...

Le terme $ k = ± n $ de fréquence fondamentale $ n \ omega0 $, est appelé comme n ^ième harmonique.

Dérivation du coefficient de Fourier

On sait que $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $

Multipliez $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ des deux côtés. ensuite

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

Considérez l'intégrale des deux côtés.

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$

par la formule d'Euler,

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$

Par conséquent, dans l'équation 2, l'intégrale est nulle pour toutes les valeurs de k sauf à k = n. Mettez k = n dans l'équation 2.

$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

Remplacez n par k.

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \ donc x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$

$$ \ text {où} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$