MATLAB - Kalkulus

MATLAB menyediakan berbagai cara untuk memecahkan masalah diferensial dan kalkulus integral, menyelesaikan persamaan diferensial dari berbagai derajat dan perhitungan batas. Yang terbaik dari semuanya, Anda dapat dengan mudah memplot grafik fungsi kompleks dan memeriksa titik maksimum, minimum, dan alat tulis lainnya pada grafik dengan menyelesaikan fungsi asli, serta turunannya.

Bab ini akan membahas masalah kalkulus. Dalam bab ini, kita akan membahas konsep pra-kalkulus, yaitu menghitung batas fungsi dan memverifikasi sifat batas.

Pada bab Diferensial berikutnya , kita akan menghitung turunan dari sebuah ekspresi dan menemukan maksima dan minima lokal pada grafik. Kami juga akan membahas penyelesaian persamaan diferensial.

Terakhir, pada bab Integrasi , kita akan membahas kalkulus integral.

Menghitung Batas

MATLAB menyediakan limitberfungsi untuk menghitung batas. Dalam bentuknya yang paling dasar, filelimit function mengambil ekspresi sebagai argumen dan menemukan batas ekspresi sebagai variabel independen menuju nol.

Sebagai contoh, mari kita hitung limit dari sebuah fungsi f (x) = (x ³ + 5) / (x ⁴ + 7), karena x cenderung nol.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB akan mengeksekusi pernyataan di atas dan mengembalikan hasil sebagai berikut -

ans =
   5/7

Fungsi batas termasuk dalam bidang komputasi simbolik; Anda perlu menggunakansymsberfungsi untuk memberi tahu MATLAB variabel simbolik mana yang Anda gunakan. Anda juga dapat menghitung batas suatu fungsi, karena variabel cenderung ke beberapa angka selain nol. Untuk menghitung lim _{x-> a} (f (x)), kami menggunakan perintah limit dengan argumen. Yang pertama adalah ekspresi dan yang kedua adalah angka, yang didekati x , ini dia a .

Sebagai contoh, mari kita hitung limit dari sebuah fungsi f (x) = (x-3) / (x-1), karena x cenderung 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB akan mengeksekusi pernyataan di atas dan mengembalikan hasil sebagai berikut -

ans =
   NaN

Mari kita ambil contoh lain,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB akan mengeksekusi pernyataan di atas dan mengembalikan hasil sebagai berikut -

ans =
   14

Menghitung Batas menggunakan Oktaf

Berikut ini adalah versi Oktaf dari contoh di atas menggunakan symbolic paket, coba jalankan dan bandingkan hasilnya -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Oktaf akan mengeksekusi pernyataan di atas dan mengembalikan hasil berikut -

ans =
   0.7142857142857142857

Verifikasi Sifat Dasar Batasan

Teorema Batas Aljabar memberikan beberapa sifat dasar batas. Ini adalah sebagai berikut -

Mari kita pertimbangkan dua fungsi -

f (x) = (3x + 5) / (x - 3)
g (x) = x ² + 1.

Mari kita hitung batas fungsi karena x cenderung 5, dari kedua fungsi dan memverifikasi sifat dasar batas menggunakan dua fungsi dan MATLAB.

Contoh

Buat file skrip dan ketik kode berikut ke dalamnya -

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Saat Anda menjalankan file, ini akan menampilkan -

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Verifikasi Properti Dasar Batas menggunakan Oktaf

Berikut ini adalah versi Oktaf dari contoh di atas menggunakan symbolic paket, coba jalankan dan bandingkan hasilnya -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Oktaf akan mengeksekusi pernyataan di atas dan mengembalikan hasil berikut -

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Batas Sisi Kiri dan Kanan

Ketika suatu fungsi memiliki diskontinuitas untuk beberapa nilai variabel tertentu, batasnya tidak ada pada titik itu. Dengan kata lain, limit dari suatu fungsi f (x) memiliki diskontinuitas pada x = a, ketika nilai limit, ketika x mendekati x dari sisi kiri, tidak sama dengan nilai limit ketika x mendekati dari sisi kanan.

Ini mengarah pada konsep batas tangan kiri dan tangan kanan. Batas kidal didefinisikan sebagai batas sebagai x -> a, dari kiri, yaitu x mendekati a, untuk nilai x <a. Batas tangan kanan didefinisikan sebagai batas sebagai x -> a, dari kanan, yaitu x mendekati a, untuk nilai x> a. Ketika batas tangan kiri dan batas tangan kanan tidak sama, batas itu tidak ada.

Mari kita pertimbangkan sebuah fungsi -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Kami akan menunjukkan bahwa lim _{x-> 3} f (x) tidak ada. MATLAB membantu kami menetapkan fakta ini dengan dua cara -

Dengan memplot grafik fungsi dan menunjukkan diskontinuitas.
Dengan menghitung batas dan menunjukkan bahwa keduanya berbeda.

Batas tangan kiri dan tangan kanan dihitung dengan meneruskan string karakter 'kiri' dan 'kanan' ke perintah limit sebagai argumen terakhir.

Contoh

Buat file skrip dan ketik kode berikut ke dalamnya -

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Saat Anda menjalankan file, MATLAB menggambar plot berikut

Setelah output berikut ini ditampilkan -

l =
   -1
  
r =
   1