MATLAB - Integrasi
Integrasi berhubungan dengan dua jenis masalah yang pada dasarnya berbeda.
Pada tipe pertama, turunan dari suatu fungsi diberikan dan kita ingin mencari fungsinya. Oleh karena itu, pada dasarnya kami membalik proses diferensiasi. Proses kebalikan ini dikenal sebagai anti-diferensiasi, atau menemukan fungsi primitif, atau menemukanindefinite integral.
Jenis masalah kedua melibatkan penjumlahan sejumlah besar kuantitas yang sangat kecil dan kemudian mengambil batas ketika ukuran kuantitas mendekati nol, sedangkan jumlah suku cenderung tak terhingga. Proses ini mengarah pada definisi filedefinite integral.
Integral pasti digunakan untuk mencari luas, volume, pusat gravitasi, momen inersia, pekerjaan yang dilakukan oleh suatu gaya, dan dalam berbagai aplikasi lainnya.
Menemukan Integral Tak Terbatas Menggunakan MATLAB
Menurut definisi, jika turunan dari fungsi f (x) adalah f '(x), maka kita katakan bahwa integral tak tentu dari f' (x) terhadap x adalah f (x). Misalnya, karena turunan (terhadap x) dari x 2 adalah 2x, kita dapat mengatakan bahwa integral tak tentu dari 2x adalah x 2 .
Dalam simbol -
f'(x2) = 2x, oleh karena itu,
∫ 2xdx = x2.
Integral tak tentu tidak unik, karena turunan dari x 2 + c, untuk nilai konstanta c apa pun, juga akan menjadi 2x.
Ini diekspresikan dalam simbol sebagai -
∫ 2xdx = x2 + c.
Dimana, c disebut 'konstanta sembarang'.
MATLAB menyediakan file intperintah untuk menghitung integral dari ekspresi. Untuk mendapatkan ekspresi integral tak tentu dari suatu fungsi, kita menulis -
int(f);Misalnya, dari contoh kami sebelumnya -
syms x
int(2*x)MATLAB menjalankan pernyataan di atas dan mengembalikan hasil berikut -
ans =
x^2Contoh 1
Dalam contoh ini, mari kita temukan integral dari beberapa ekspresi yang umum digunakan. Buat file skrip dan ketik kode berikut di dalamnya -
syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)Saat Anda menjalankan file, ini akan menampilkan hasil berikut -
ans =
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
-cos(n*t)/n
ans =
(a*sin(pi*t))/pi
ans =
a^x/log(a)Contoh 2
Buat file skrip dan ketik kode berikut di dalamnya -
syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))Perhatikan bahwa pretty fungsi mengembalikan ekspresi dalam format yang lebih mudah dibaca.
Saat Anda menjalankan file, ini akan menampilkan hasil berikut -
ans =
sin(x)
ans =
exp(x)
ans =
x*(log(x) - 1)
ans =
log(x)
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ------------
3125 625 125 5
3 5
4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5
ans =
-1/(4*x^4)
ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)
ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
6 5 4 3
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + --
12 5 8 2Menemukan Integral Pasti Menggunakan MATLAB
Menurut definisi, integral pasti pada dasarnya adalah batas penjumlahan. Kami menggunakan integral pasti untuk mencari area seperti area antara kurva dan sumbu x dan area antara dua kurva. Integral pasti juga dapat digunakan dalam situasi lain, di mana kuantitas yang dibutuhkan dapat dinyatakan sebagai batas penjumlahan.
Itu int fungsi dapat digunakan untuk integrasi pasti dengan melewati batas yang ingin Anda hitung integralnya.
Menghitung
kami menulis,
int(x, a, b)Misalnya, untuk menghitung nilai yang
int(x, 4, 9)MATLAB menjalankan pernyataan di atas dan mengembalikan hasil berikut -
ans =
65/2Berikut adalah Oktaf yang setara dengan perhitungan di atas -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));Oktaf mengeksekusi kode dan mengembalikan hasil berikut -
Area:
32.500Solusi alternatif dapat diberikan dengan menggunakan fungsi quad () yang disediakan oleh Oktaf sebagai berikut -
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));Oktaf mengeksekusi kode dan mengembalikan hasil berikut -
Area:
32.500Contoh 1
Mari kita hitung luas area di antara sumbu x, dan kurva y = x 3 −2x + 5 dan ordinatnya x = 1 dan x = 2.
Area yang dibutuhkan diberikan oleh -
Buat file script dan ketik kode berikut -
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));Saat Anda menjalankan file, ini akan menampilkan hasil berikut -
a =
23/4
Area:
5.7500Berikut adalah Oktaf yang setara dengan perhitungan di atas -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));Oktaf mengeksekusi kode dan mengembalikan hasil berikut -
Area:
5.7500Solusi alternatif dapat diberikan dengan menggunakan fungsi quad () yang disediakan oleh Oktaf sebagai berikut -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));Oktaf mengeksekusi kode dan mengembalikan hasil berikut -
Area:
5.7500Contoh 2
Temukan luas di bawah kurva: f (x) = x 2 cos (x) untuk −4 ≤ x ≤ 9.
Buat file script dan tulis kode berikut -
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));Saat Anda menjalankan file, MATLAB memplot grafik -
Outputnya diberikan di bawah ini -
a =
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
Area:
0.3326Berikut adalah Oktaf yang setara dengan perhitungan di atas -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));