DAA - Unisci ordinamento
In questo capitolo, discuteremo l'ordinamento di tipo merge e ne analizzeremo la complessità.
Dichiarazione problema
Il problema dell'ordinamento di un elenco di numeri si presta immediatamente a una strategia divide et impera: dividere l'elenco in due metà, ordinare ricorsivamente ogni metà e quindi unire le due sottoelenchi ordinati.
Soluzione
In questo algoritmo, i numeri vengono memorizzati in una matrice numbers[]. Qui,p e q rappresenta l'indice iniziale e finale di un sotto-array.
Algorithm: Merge-Sort (numbers[], p, r)
if p < r then
q = ⌊(p + r) / 2⌋
Merge-Sort (numbers[], p, q)
Merge-Sort (numbers[], q + 1, r)
Merge (numbers[], p, q, r)
Function: Merge (numbers[], p, q, r)
n1 = q – p + 1
n2 = r – q
declare leftnums[1…n1 + 1] and rightnums[1…n2 + 1] temporary arrays
for i = 1 to n1
leftnums[i] = numbers[p + i - 1]
for j = 1 to n2
rightnums[j] = numbers[q+ j]
leftnums[n1 + 1] = ∞
rightnums[n2 + 1] = ∞
i = 1
j = 1
for k = p to r
if leftnums[i] ≤ rightnums[j]
numbers[k] = leftnums[i]
i = i + 1
else
numbers[k] = rightnums[j]
j = j + 1
Analisi
Consideriamo il tempo di esecuzione di Merge-Sort come T(n). Quindi,
$ T (n) = \ begin {cases} c & if \: n \ leqslant 1 \\ 2 \: x \: T (\ frac {n} {2}) + d \: x \: n & altrimenti \ end {case} $ dove c e d sono costanti
Pertanto, utilizzando questa relazione di ricorrenza,
$$ T (n) = 2 ^ i T (\ frac {n} {2 ^ i}) + idn $$
Come, $ i = log \: n, \: T (n) = 2 ^ {log \: n} T (\ frac {n} {2 ^ {log \: n}}) + log \: ndn $
$ = \: cn + dnlog \: n $
Pertanto, $ T (n) = O (n \: log \: n) $
Esempio
Nell'esempio seguente, abbiamo mostrato l'algoritmo Merge-Sort passo dopo passo. Innanzitutto, ogni array di iterazione è diviso in due sotto-array, fino a quando il sotto-array non contiene solo un elemento. Quando questi sotto-array non possono essere ulteriormente divisi, vengono eseguite le operazioni di unione.