DAA - Unisci ordinamento

In questo capitolo, discuteremo l'ordinamento di tipo merge e ne analizzeremo la complessità.

Dichiarazione problema

Il problema dell'ordinamento di un elenco di numeri si presta immediatamente a una strategia divide et impera: dividere l'elenco in due metà, ordinare ricorsivamente ogni metà e quindi unire le due sottoelenchi ordinati.

Soluzione

In questo algoritmo, i numeri vengono memorizzati in una matrice numbers[]. Qui,p e q rappresenta l'indice iniziale e finale di un sotto-array.

Algorithm: Merge-Sort (numbers[], p, r) 
if p < r then  
q = ⌊(p + r) / 2⌋ 
Merge-Sort (numbers[], p, q) 
    Merge-Sort (numbers[], q + 1, r) 
    Merge (numbers[], p, q, r)
Function: Merge (numbers[], p, q, r)
n1 = q – p + 1 
n2 = r – q 
declare leftnums[1…n1 + 1] and rightnums[1…n2 + 1] temporary arrays 
for i = 1 to n1 
   leftnums[i] = numbers[p + i - 1] 
for j = 1 to n2 
   rightnums[j] = numbers[q+ j] 
leftnums[n1 + 1] = ∞ 
rightnums[n2 + 1] = ∞ 
i = 1 
j = 1 
for k = p to r 
   if leftnums[i] ≤ rightnums[j] 
      numbers[k] = leftnums[i] 
      i = i + 1 
   else
      numbers[k] = rightnums[j] 
      j = j + 1

Analisi

Consideriamo il tempo di esecuzione di Merge-Sort come T(n). Quindi,

$ T (n) = \ begin {cases} c & if \: n \ leqslant 1 \\ 2 \: x \: T (\ frac {n} {2}) + d \: x \: n & altrimenti \ end {case} $ dove c e d sono costanti

Pertanto, utilizzando questa relazione di ricorrenza,

$$ T (n) = 2 ^ i T (\ frac {n} {2 ^ i}) + idn $$

Come, $ i = log \: n, \: T (n) = 2 ^ {log \: n} T (\ frac {n} {2 ^ {log \: n}}) + log \: ndn $

$ = \: cn + dnlog \: n $

Pertanto, $ T (n) = O (n \: log \: n) $

Esempio

Nell'esempio seguente, abbiamo mostrato l'algoritmo Merge-Sort passo dopo passo. Innanzitutto, ogni array di iterazione è diviso in due sotto-array, fino a quando il sotto-array non contiene solo un elemento. Quando questi sotto-array non possono essere ulteriormente divisi, vengono eseguite le operazioni di unione.