ファジィ論理-古典的な集合論

A setさまざまな要素の順序付けられていないコレクションです。セットブラケットを使用して要素をリストすることにより、明示的に記述できます。要素の順序が変更されたり、セットのいずれかの要素が繰り返されたりしても、セットは変更されません。

例

すべての正の整数のセット。
太陽系のすべての惑星のセット。
インドのすべての州のセット。
アルファベットのすべての小文字のセット。

セットの数学的表現

セットは2つの方法で表すことができます-

名簿または表形式

この形式では、セットは、それを構成するすべての要素をリストすることによって表されます。要素は中括弧で囲まれ、コンマで区切られます。

以下は、名簿または表形式のセットの例です-

英語のアルファベットの母音のセット、A = {a、e、i、o、u}
10未満の奇数のセット、B = {1,3,5,7,9}

集合の内包的記法

この形式では、セットは、セットの要素が共通に持つプロパティを指定することによって定義されます。セットはA = {x：p（x）}として記述されます

Example 1 −集合{a、e、i、o、u}は次のように記述されます

A = {x：xは英語のアルファベットの母音}

Example 2 −セット{1,3,5,7,9}は次のように記述されます

B = {x：1≤x<10および（x％2）≠0}

要素xが任意の集合Sのメンバーである場合、それはx∈Sで表され、要素yが集合Sのメンバーでない場合、それはy∉Sで表されます。

Example − S = {1,1.2,1.7,2}、1∈Sであるが、1.5∉Sの場合

セットのカーディナリティ

| S || S |で表される集合Sのカーディナリティは、集合の要素の数です。この番号は、基数とも呼ばれます。セットに無限の数の要素がある場合、そのカーディナリティは∞∞です。

Example− | {1,4,3,5} | = 4、| {1,2,3,4,5、…} | =∞

XとYの2つのセットがある場合、| X | = | Y | 同じカーディナリティを持つ2つのセットXとYを示します。Xの要素数がYの要素数と正確に等しい場合に発生します。この場合、XからYへの全単射関数「f」が存在します。

| X | ≤| Y | セットXのカーディナリティーがセットYのカーディナリティー以下であることを示します。Xの要素数がYの要素数以下の場合に発生します。ここでは、XからYへの単射関数 'f'が存在します。

| X | <| Y | セットXのカーディナリティーがセットYのカーディナリティーよりも小さいことを示します。Xの要素数がYの要素数より少ない場合に発生します。ここで、XからYへの関数 'f'は単射関数ですが、全単射ではありません。

| X |の場合 ≤| Y | および| X | ≤| Y | 次に| X | = | Y | 。セットXとYは一般的に次のように呼ばれますequivalent sets。

セットの種類

セットは多くのタイプに分類できます。そのうちのいくつかは、有限、無限、サブセット、ユニバーサル、適切、単集合などです。

有限集合

一定数の要素を含む集合は、有限集合と呼ばれます。

Example − S = {x |x∈Nおよび70> x> 50}

無限セット

無限の数の要素を含むセットは、無限セットと呼ばれます。

Example − S = {x |x∈Nおよびx> 10}

サブセット

Xのすべての要素がセットYの要素である場合、セットXはセットYのサブセットです（X⊆Yとして記述されます）。

Example 1− X = {1,2,3,4,5,6}およびY = {1,2}とします。ここで、セットYのすべての要素がセットXにあるため、セットYはセットXのサブセットです。したがって、Y⊆Xと書くことができます。

Example 2− X = {1,2,3}およびY = {1,2,3}とします。ここで、セットYのすべての要素がセットXにあるため、セットYはセットXのサブセット（適切なサブセットではありません）です。したがって、Y⊆Xと書くことができます。

適切なサブセット

「適切なサブセット」という用語は、「のサブセットであるが等しくない」と定義できます。Xのすべての要素がセットYの要素であり、| X |である場合、セットXはセットYの適切なサブセットです（X⊂Yとして記述されます）。<| Y |。

Example− X = {1,2,3,4,5,6}およびY = {1,2}とします。ここでY⊂Xを設定します。これは、Yのすべての要素がXにも含まれ、XにはセットYよりも多い要素が少なくとも1つあるためです。

ユニバーサルセット

これは、特定のコンテキストまたはアプリケーションのすべての要素のコレクションです。そのコンテキストまたはアプリケーションのすべてのセットは、基本的にこのユニバーサルセットのサブセットです。ユニバーサルセットはUとして表されます。

Example−Uを地球上のすべての動物の集合と定義することができます。この場合、すべての哺乳類のセットはUのサブセットであり、すべての魚のセットはUのサブセットであり、すべての昆虫のセットはUのサブセットです。

空のセットまたはヌルセット

空のセットには要素が含まれていません。Φで表されます。空集合の要素数は有限であるため、空集合は有限集合です。空集合または零集合のカーディナリティはゼロです。

Example – S = {x |x∈Nおよび7 <x <8} =Φ

シングルトンセットまたはユニットセット

シングルトンセットまたはユニットセットには、要素が1つだけ含まれています。単集合は{s}で表されます。

Example − S = {x |x∈N、7 <x <9} = {8}

等しいセット

2つのセットに同じ要素が含まれている場合、それらは等しいと言われます。

Example − A = {1,2,6}およびB = {6,1,2}の場合、セットAのすべての要素がセットBの要素であり、セットBのすべての要素がセットAの要素であるため、これらは等しくなります。

同等のセット

2つのセットのカーディナリティが同じである場合、それらは同等のセットと呼ばれます。

Example− A = {1,2,6}およびB = {16,17,22}の場合、AのカーディナリティはBのカーディナリティに等しいため、これらは同等です。つまり、| A | = | B | = 3

重複セット

少なくとも1つの共通要素を持つ2つのセットは、オーバーラップセットと呼ばれます。セットが重複している場合-

$$ n \ left（A \ cup B \ right）= n \ left（A \ right）+ n \ left（B \ right）-n \ left（A \ cap B \ right）$$

$$ n \ left（A \ cup B \ right）= n \ left（AB \ right）+ n \ left（BA \ right）+ n \ left（A \ cap B \ right）$$

$$ n \ left（A \ right）= n \ left（AB \ right）+ n \ left（A \ cap B \ right）$$

$$ n \ left（B \ right）= n \ left（BA \ right）+ n \ left（A \ cap B \ right）$$

Example− A = {1,2,6}およびB = {6,12,42}とします。共通の要素「6」があるため、これらのセットは重複するセットです。

素集合

2つのセットAとBは、共通の要素が1つもない場合、互いに素なセットと呼ばれます。したがって、互いに素な集合には次の特性があります。

$$ n \ left（A \ cap B \ right）= \ phi $$

$$ n \ left（A \ cup B \ right）= n \ left（A \ right）+ n \ left（B \ right）$$

Example − A = {1,2,6}およびB = {7,9,14}とすると、共通の要素は1つではないため、これらのセットは重複するセットです。

古典的なセットの操作

セット操作には、セットユニオン、セット交差、セット差、セットの補集合、および直積が含まれます。

連合

セットAとBの和集合（A∪BA∪Bで示される）は、A、B、またはAとBの両方にある要素のセットです。したがって、A∪B= {x |x∈AORx ∈B}。

Example − A = {10,11,12,13}およびB = {13,14,15}の場合、A∪B= {10,11,12,13,14,15} –共通要素は1回だけ発生します。

交差点

セットAとBの共通部分（A∩Bで示される）は、AとBの両方にある要素のセットです。したがって、A∩B= {x |x∈AANDx∈B}です。

差異/相対補数

セットAとセットBのセットの違い（A–Bで示される）は、Aにのみ存在し、Bには存在しない要素のセットです。したがって、A − B = {x |x∈AANDx∉B}です。

Example− A = {10,11,12,13}およびB = {13,14,15}の場合、（A − B）= {10,11,12}および（B − A）= {14,15} 。ここで、（A − B）≠（B − A）を見ることができます。

セットの補集合

セットA（A 'で示される）の補集合は、セットAにない要素のセットです。したがって、A' = {x |x∉A}です。

より具体的には、A '=（U-A）ここで、Uはすべてのオブジェクトを含む普遍集合です。

Example − A = {x | xが加算整数のセットに属している}場合、A '= {y | yは奇数の整数のセットに属していません}

デカルト積/クロス積

n個のセットA1、A2、…Anのデカルト積はA1×A2 ...×Anとして表され、すべての可能な順序対（x1、x2、…xn）として定義できます。ここでx1∈A1、x2∈A2、… xn∈An

Example −2つのセットA = {a、b}とB = {1,2}を取る場合、

AとBのデカルト積は次のように記述されます。−A×B = {（a、1）、（a、2）、（b、1）、（b、2）}

また、BとAのデカルト積は次のように記述されます。−B×A = {（1、a）、（1、b）、（2、a）、（2、b）}

古典的なセットのプロパティ

セットのプロパティは、ソリューションを取得するために重要な役割を果たします。以下は、古典的なセットのさまざまなプロパティです-

可換性

2セットある A そして B、このプロパティは次のように述べています-

$$ A \カップB = B \カップA $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

結合プロパティ

3セットある A、 B そして C、このプロパティは次のように述べています-

$$ A \ cup \ left（B \ cup C \ right）= \ left（A \ cup B \ right）\ cup C $$

$$ A \ cap \ left（B \ cap C \ right）= \ left（A \ cap B \ right）\ cap C $$

分配法則

3セットある A、 B そして C、このプロパティは次のように述べています-

$$ A \ cup \ left（B \ cap C \ right）= \ left（A \ cup B \ right）\ cap \ left（A \ cup C \ right）$$

$$ A \ cap \ left（B \ cup C \ right）= \ left（A \ cap B \ right）\ cup \ left（A \ cap C \ right）$$

べき等プロパティ

任意のセット A、このプロパティは次のように述べています-

$$ A \カップA = A $$

$$ A \ cap A = A $$

アイデンティティプロパティ

セット用 A とユニバーサルセット X、このプロパティは次のように述べています-

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \カップX = X $$

推移的プロパティ

3セットある A、 B そして C、プロパティの状態-

$ A \ subseteq B \ subseteq C $の場合、$ A \ subseteq C $

インボリューションプロパティ

任意のセット A、このプロパティは次のように述べています-

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

ド・モルガンの法則

これは非常に重要な法律であり、トートロジーと矛盾を証明するのに役立ちます。この法律は次のように述べています-

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$