Нечеткая логика - классическая теория множеств

А setпредставляет собой неупорядоченный набор различных элементов. Его можно записать явно, перечислив его элементы с помощью скобок. Если порядок элементов изменяется или любой элемент набора повторяется, он не вносит никаких изменений в набор.

пример

Набор всех положительных целых чисел.
Набор всех планет солнечной системы.
Набор всех штатов Индии.
Набор всех строчных букв алфавита.

Математическое представление множества

Наборы могут быть представлены двумя способами -

Реестр или табличная форма

В этой форме набор представлен перечислением всех составляющих его элементов. Элементы заключаются в фигурные скобки и разделяются запятыми.

Ниже приведены примеры набора в реестре или табличной форме.

Набор гласных букв английского алфавита, A = {a, e, i, o, u}
Набор нечетных чисел меньше 10, B = {1,3,5,7,9}

Обозначение конструктора множеств

В этой форме набор определяется путем указания свойства, которое является общим для элементов набора. Набор описывается как A = {x: p (x)}

Example 1 - Множество {a, e, i, o, u} записывается как

A = {x: x - гласная в английском алфавите}

Example 2 - Набор {1,3,5,7,9} записывается как

B = {x: 1 ≤ x <10 и (x% 2) ≠ 0}

Если элемент x является членом любого множества S, он обозначается x∈S, а если элемент y не является членом множества S, он обозначается y∉S.

Example - Если S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S, но 1.5 ∉ S

Мощность множества

Мощность множества S, обозначаемая | S || S |, - это количество элементов множества. Число также называют кардинальным числом. Если набор содержит бесконечное количество элементов, его мощность равна ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Если есть два множества X и Y, | X | = | Y | обозначает два множества X и Y, имеющих одинаковую мощность. Это происходит, когда количество элементов в X в точности равно количеству элементов в Y. В этом случае существует биективная функция «f» от X до Y.

| X | ≤ | Y | означает, что мощность множества X меньше или равна мощности множества Y. Это происходит, когда количество элементов в X меньше или равно количеству Y. Здесь существует инъективная функция «f» от X до Y.

| X | <| Y | означает, что мощность множества X меньше мощности множества Y. Это происходит, когда количество элементов в X меньше, чем у Y. Здесь функция 'f' от X до Y является инъективной функцией, но не биективной.

Если | X | ≤ | Y | и | X | ≤ | Y | тогда | X | = | Y | . Множества X и Y обычно называютequivalent sets.

Типы наборов

Наборы можно разделить на множество типов; некоторые из которых являются конечным, бесконечным, подмножеством, универсальным, собственным, одноэлементным множеством и т. д.

Конечный набор

Набор, содержащий определенное количество элементов, называется конечным набором.

Example - S = {x | x ∈ N и 70> x> 50}

Бесконечный набор

Набор, содержащий бесконечное количество элементов, называется бесконечным набором.

Example - S = {x | x ∈ N и x> 10}

Подмножество

Множество X является подмножеством множества Y (записывается как X ⊆ Y), если каждый элемент X является элементом множества Y.

Example 1- Пусть, X = {1,2,3,4,5,6} и Y = {1,2}. Здесь множество Y - это подмножество множества X, поскольку все элементы множества Y находятся в множестве X. Следовательно, мы можем написать Y⊆X.

Example 2- Пусть, X = {1,2,3} и Y = {1,2,3}. Здесь множество Y является подмножеством (а не собственным подмножеством) множества X, поскольку все элементы множества Y находятся в множестве X. Следовательно, мы можем написать Y writeX.

Правильное подмножество

Термин «собственное подмножество» можно определить как «подмножество, но не равно». Набор X является собственным подмножеством множества Y (записывается как X ⊂ Y), если каждый элемент X является элементом множества Y и | X | <| Y |.

Example- Пусть, X = {1,2,3,4,5,6} и Y = {1,2}. Здесь положим Y ⊂ X, так как все элементы в Y тоже содержатся в X, и X имеет хотя бы один элемент, который больше, чем множество Y.

Универсальный набор

Это набор всех элементов в определенном контексте или приложении. Все наборы в этом контексте или приложении по существу являются подмножествами этого универсального набора. Универсальные наборы обозначены буквой U.

Example- Мы можем определить U как совокупность всех животных на Земле. В этом случае набор всех млекопитающих является подмножеством U, набор всех рыб является подмножеством U, набор всех насекомых является подмножеством U и так далее.

Пустой набор или нулевой набор

Пустой набор не содержит элементов. Обозначается она Φ. Поскольку количество элементов в пустом наборе конечно, пустое множество является конечным множеством. Мощность пустого набора или нулевого набора равна нулю.

Example - S = {x | x ∈ N и 7 <x <8} = Φ

Одноэлементный набор или набор единиц

Набор Singleton или Unit содержит только один элемент. Одноэлементный набор обозначается {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Равный набор

Если два набора содержат одинаковые элементы, они называются равными.

Example - Если A = {1,2,6} и B = {6,1,2}, они равны, поскольку каждый элемент множества A является элементом множества B, а каждый элемент множества B является элементом множества A.

Эквивалентный набор

Если мощности двух наборов одинаковы, они называются эквивалентными наборами.

Example- Если A = {1,2,6} и B = {16,17,22}, они эквивалентны, поскольку мощность A равна мощности B. т.е. | A | = | B | = 3

Набор перекрытия

Два набора, у которых есть хотя бы один общий элемент, называются перекрывающимися наборами. В случае перекрытия наборов -

$$ n \ left (A \ чашка B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ чашка B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Пусть, A = {1,2,6} и B = {6,12,42}. Существует общий элемент «6», следовательно, эти наборы являются перекрывающимися наборами.

Непересекающееся множество

Два множества A и B называются непересекающимися множествами, если у них нет хотя бы одного общего элемента. Следовательно, непересекающиеся множества обладают следующими свойствами:

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ чашка B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Пусть, A = {1,2,6} и B = {7,9,14}, нет ни одного общего элемента, следовательно, эти множества являются перекрывающимися множествами.

Операции над классическими множествами

К операциям с множеством относятся: «Установить соединение», «Установить пересечение», «Установить разность», «Дополнение к множеству» и «Декартово произведение».

Союз

Объединение множеств A и B (обозначается A ∪ BA ∪ B) - это множество элементов, которые находятся в A, в B или в обоих A и B. Следовательно, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example - Если A = {10,11,12,13} и B = {13,14,15}, то A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - Общий элемент встречается только один раз.

Пересечение

Пересечение множеств A и B (обозначенное A ∩ B) - это множество элементов, которые находятся как в A, так и в B. Следовательно, A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.

Разница / относительное дополнение

Разность множеств множеств A и B (обозначается A – B) - это набор элементов, которые находятся только в A, но не в B. Следовательно, A - B = {x | x ∈ A AND x ∉ B}.

Example- Если A = {10,11,12,13} и B = {13,14,15}, то (A - B) = {10,11,12} и (B - A) = {14,15} . Здесь мы видим (A - B) ≠ (B - A)

Дополнение набора

Дополнение к множеству A (обозначенное A ′) - это множество элементов, которых нет в множестве A. Следовательно, A ′ = {x | x ∉ A}.

Более конкретно, A ′ = (U − A), где U - универсальное множество, которое содержит все объекты.

Example - Если A = {x | x принадлежит множеству добавляемых целых чисел}, то A ′ = {y | y не принадлежит множеству нечетных целых чисел}

Декартово произведение / перекрестное произведение

Декартово произведение n числа множеств A1, A2,… An, обозначенное как A1 × A2 ... × An, можно определить как все возможные упорядоченные пары (x1, x2,… xn), где x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Если взять два набора A = {a, b} и B = {1,2},

Декартово произведение A и B записывается как - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

И декартово произведение B и A записывается как - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}