Нечеткая логика - теория множеств

Нечеткие множества можно рассматривать как расширение и грубое упрощение классических множеств. Лучше всего это можно понять в контексте членства в наборе. В основном он допускает частичное членство, что означает, что он содержит элементы, которые имеют разную степень членства в наборе. Отсюда мы можем понять разницу между классическим множеством и нечетким множеством. Классический набор содержит элементы, которые удовлетворяют точным свойствам принадлежности, в то время как нечеткое множество содержит элементы, которые удовлетворяют неточным свойствам принадлежности.

Математическая концепция

Нечеткое множество $ \ widetilde {A} $ во вселенной информации $ U $ может быть определено как набор упорядоченных пар и математически представлено как -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Здесь $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = степень принадлежности $ y $ к \ widetilde {A}, принимает значения в диапазоне от 0 до 1, то есть $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Представление нечеткого множества

Давайте теперь рассмотрим два случая универсума информации и поймем, как может быть представлено нечеткое множество.

Случай 1

Когда совокупность информации $ U $ дискретна и конечна -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Случай 2

Когда информационная вселенная $ U $ непрерывна и бесконечна -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

В приведенном выше представлении символ суммирования представляет собой совокупность каждого элемента.

Операции над нечеткими множествами

Имея два нечетких множества $ \ widetilde {A} $ и $ \ widetilde {B} $, информационную вселенную $ U $ и элемент вселенной, следующие отношения выражают операцию объединения, пересечения и дополнения нечетких множеств.

Объединение / Нечеткое ИЛИ

Давайте рассмотрим следующее представление, чтобы понять, как Union/Fuzzy ‘OR’ отношения работает -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Здесь ∨ представляет собой операцию «макс».

Пересечение / Нечеткое И

Давайте рассмотрим следующее представление, чтобы понять, как Intersection/Fuzzy ‘AND’ отношения работает -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Здесь ∧ представляет операцию «мин».

Дополнение / Нечеткое "НЕ"

Давайте рассмотрим следующее представление, чтобы понять, как Complement/Fuzzy ‘NOT’ отношения работает -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$

Свойства нечетких множеств

Обсудим различные свойства нечетких множеств.

Коммутативная собственность

Имея два нечетких набора $ \ widetilde {A} $ и $ \ widetilde {B} $, это свойство утверждает:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Ассоциативное свойство

Имея три нечетких набора $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ и $ \ widetilde {C} $, это свойство утверждает:

$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Распределительное свойство

Имея три нечетких набора $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ и $ \ widetilde {C} $, это свойство утверждает:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Свойство идемпотентности

Для любого нечеткого множества $ \ widetilde {A} $ это свойство утверждает:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Собственность идентичности

Для нечеткого множества $ \ widetilde {A} $ и универсального множества $ U $ это свойство утверждает:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

Переходное свойство

Имея три нечетких набора $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ и $ \ widetilde {C} $, это свойство утверждает:

$$ Если \: \ widetilde {A} \ substeq \ widetilde {B} \ substeq \ widetilde {C}, \: then \: \ widetilde {A} \ substeq \ widetilde {C} $$

Свойство инволюции

Для любого нечеткого множества $ \ widetilde {A} $ это свойство утверждает:

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Закон де Моргана

Этот закон играет решающую роль в доказательстве тавтологий и противоречий. Этот закон гласит:

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$