Нечеткая логика - функция принадлежности

Мы уже знаем, что нечеткая логика - это не нечеткая логика, а логика, которая используется для описания нечеткости. Эту нечеткость лучше всего характеризует функция принадлежности. Другими словами, мы можем сказать, что функция принадлежности представляет степень истины в нечеткой логике.

Ниже приведены несколько важных моментов, касающихся функции принадлежности.

Функции принадлежности были впервые введены в 1965 г. Лофти А. Заде в его первой исследовательской работе «Нечеткие множества».
Функции принадлежности характеризуют нечеткость (то есть всю информацию в нечетком множестве) независимо от того, являются ли элементы в нечетких множествах дискретными или непрерывными.
Функции принадлежности можно определить как метод решения практических задач на основе опыта, а не знаний.
Функции принадлежности представлены графическими формами.
Правила определения нечеткости тоже нечеткие.

Математические обозначения

Мы уже изучили, что нечеткое множество Ã во вселенной информации U можно определить как набор упорядоченных пар и математически представить его как -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Здесь $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = функция принадлежности $ \ widetilde {A} $; это принимает значения в диапазоне от 0 до 1, т.е. $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. Функция принадлежности $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ отображает $ U $ в пространство принадлежности $ M $.

Точка $ \ left (\ bullet \ right) $ в описанной выше функции принадлежности представляет элемент в нечетком множестве; будь то дискретное или непрерывное.

Особенности функций принадлежности

Теперь мы обсудим различные особенности функций членства.

Ядро

Для любого нечеткого множества $ \ widetilde {A} $ ядро функции принадлежности - это та область вселенной, которая характеризуется полным членством в наборе. Следовательно, ядро состоит из всех тех элементов $ y $ информационного универсума, что:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Служба поддержки

Для любого нечеткого множества $ \ widetilde {A} $ поддержка функции принадлежности - это область вселенной, которая характеризуется ненулевым членством в наборе. Следовательно, ядро состоит из всех тех элементов $ y $ вселенной информации, что:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Граница

Для любого нечеткого множества $ \ widetilde {A} $ границей функции принадлежности является область вселенной, которая характеризуется ненулевым, но неполным членством в наборе. Следовательно, ядро состоит из всех тех элементов $ y $ информационного универсума, что:

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Фаззификация

Его можно определить как процесс преобразования четкого набора в нечеткое множество или нечеткого набора в более нечеткое множество. По сути, эта операция переводит точные и четкие входные значения в лингвистические переменные.

Ниже приведены два важных метода фаззификации:

Поддержка метода фаззификации (s-фаззификации)

В этом методе нечеткое множество может быть выражено с помощью следующего соотношения -

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Здесь нечеткое множество $ Q \ left (x_i \ right) $ называется ядром фаззификации. Этот метод реализуется путем сохранения константы $ \ mu _i $ и преобразования $ x_i $ в нечеткое множество $ Q \ left (x_i \ right) $.

Метод ступенчатой фаззификации (g-фаззификация)

Он очень похож на вышеупомянутый метод, но главное отличие состоит в том, что он поддерживает постоянную $ x_i $, а $ \ mu _i $ выражается как нечеткое множество.

Дефаззификация

Это можно определить как процесс сокращения нечеткого набора в четкий набор или преобразования нечеткого элемента в четкий элемент.

Мы уже выяснили, что процесс фаззификации включает преобразование четких величин в нечеткие. В ряде инженерных приложений необходимо дефаззифицировать результат или, скорее, «нечеткий результат», чтобы его нужно было преобразовать в четкий результат. Математически процесс дефаззификации также называется «округлением».

Различные методы дефаззификации описаны ниже -

Метод максимального членства

Этот метод ограничен функциями пикового выхода и также известен как метод высоты. Математически это можно представить следующим образом -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: для \: все \: x \ in X $$

Здесь $ x ^ * $ - результат дефаззификации.

Центроидный метод

Этот метод также известен как метод центра площади или центра тяжести. Математически дефаззифицированный вывод $ x ^ * $ будет представлен как -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right ) .dx} $$

Метод взвешенного среднего

В этом методе каждая функция принадлежности взвешивается по ее максимальному значению принадлежности. Математически дефаззифицированный вывод $ x ^ * $ будет представлен как -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$