Fuzzy Logic - Klassische Mengenlehre

EIN setist eine ungeordnete Sammlung verschiedener Elemente. Es kann explizit geschrieben werden, indem seine Elemente mit der eingestellten Klammer aufgelistet werden. Wenn die Reihenfolge der Elemente geändert oder ein Element einer Menge wiederholt wird, werden keine Änderungen an der Menge vorgenommen.

Beispiel

Eine Menge aller positiven ganzen Zahlen.
Eine Reihe aller Planeten im Sonnensystem.
Eine Reihe aller Staaten in Indien.
Ein Satz aller Kleinbuchstaben des Alphabets.

Mathematische Darstellung einer Menge

Sets können auf zwei Arten dargestellt werden:

Dienstplan oder Tabellenform

In dieser Form wird eine Menge dargestellt, indem alle Elemente aufgelistet werden, aus denen sie besteht. Die Elemente sind in geschweiften Klammern eingeschlossen und durch Kommas getrennt.

Es folgen die Beispiele für Set in Dienstplan- oder Tabellenform -

Satz von Vokalen im englischen Alphabet, A = {a, e, i, o, u}
Satz ungerader Zahlen kleiner als 10, B = {1,3,5,7,9}

Legen Sie die Builder-Notation fest

In dieser Form wird die Menge definiert, indem eine Eigenschaft angegeben wird, die Elemente der Menge gemeinsam haben. Die Menge wird beschrieben als A = {x: p (x)}

Example 1 - Die Menge {a, e, i, o, u} ist geschrieben als

A = {x: x ist ein Vokal im englischen Alphabet}

Example 2 - Die Menge {1,3,5,7,9} ist geschrieben als

B = {x: 1 ≤ x <10 und (x% 2) ≤ 0}

Wenn ein Element x ein Mitglied einer Menge S ist, wird es mit x∈S bezeichnet, und wenn ein Element y kein Mitglied der Menge S ist, wird es mit y∉S bezeichnet.

Example - Wenn S = {1,1.2,1,7,2}, 1 ∈ S, aber 1,5 ∉ S.

Kardinalität einer Menge

Die Kardinalität einer Menge S, bezeichnet mit | S || S |, ist die Anzahl der Elemente der Menge. Die Nummer wird auch als Kardinalzahl bezeichnet. Wenn eine Menge unendlich viele Elemente hat, ist ihre Kardinalität ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Wenn es zwei Mengen X und Y gibt, | X | = | Y | bezeichnet zwei Sätze X und Y mit derselben Kardinalität. Es tritt auf, wenn die Anzahl der Elemente in X genau der Anzahl der Elemente in Y entspricht. In diesem Fall existiert eine bijektive Funktion 'f' von X nach Y.

| X | ≤ | Y | bedeutet, dass die Kardinalität von Satz X kleiner oder gleich der Kardinalität von Satz Y ist. Es tritt auf, wenn die Anzahl der Elemente in X kleiner oder gleich der von Y ist. Hier existiert eine Injektionsfunktion 'f' von X nach Y.

| X | <| Y | bedeutet, dass die Kardinalität von Satz X geringer ist als die Kardinalität von Satz Y. Es tritt auf, wenn die Anzahl der Elemente in X kleiner als die von Y ist. Hier ist die Funktion 'f' von X nach Y eine injektive Funktion, aber keine bijektive.

Wenn | X | ≤ | Y | und | X | ≤ | Y | dann | X | = | Y | . Die Mengen X und Y werden üblicherweise als bezeichnetequivalent sets.

Arten von Sets

Sets können in viele Typen eingeteilt werden. Einige davon sind endlich, unendlich, Teilmenge, universell, richtig, Singleton-Menge usw.

Endliche Menge

Eine Menge, die eine bestimmte Anzahl von Elementen enthält, wird als endliche Menge bezeichnet.

Example - S = {x | x ∈ N und 70> x> 50}

Unendliches Set

Eine Menge, die unendlich viele Elemente enthält, wird als unendliche Menge bezeichnet.

Example - S = {x | x ∈ N und x> 10}

Teilmenge

Eine Menge X ist eine Teilmenge der Menge Y (geschrieben als X ⊆ Y), wenn jedes Element von X ein Element der Menge Y ist.

Example 1- Sei X = {1,2,3,4,5,6} und Y = {1,2}. Hier ist Menge Y eine Teilmenge von Menge X, da sich alle Elemente von Menge Y in Menge X befinden. Daher können wir Y⊆X schreiben.

Example 2- Sei X = {1,2,3} und Y = {1,2,3}. Hier ist die Menge Y eine Teilmenge (keine richtige Teilmenge) der Menge X, da sich alle Elemente der Menge Y in der Menge X befinden. Daher können wir Y⊆X schreiben.

Echte Teilmenge

Der Begriff "richtige Teilmenge" kann als "Teilmenge von, aber nicht gleich" definiert werden. Eine Menge X ist eine richtige Teilmenge der Menge Y (geschrieben als X ⊂ Y), wenn jedes Element von X ein Element der Menge Y und | X | ist <| Y |.

Example- Sei X = {1,2,3,4,5,6} und Y = {1,2}. Hier setzen Sie Y ⊂ X, da alle Elemente in Y auch in X enthalten sind und X mindestens ein Element hat, das mehr als die Menge Y ist.

Universelles Set

Es ist eine Sammlung aller Elemente in einem bestimmten Kontext oder einer bestimmten Anwendung. Alle Mengen in diesem Kontext oder in dieser Anwendung sind im Wesentlichen Teilmengen dieser universellen Menge. Universalsätze werden als U dargestellt.

Example- Wir können U als die Menge aller Tiere auf der Erde definieren. In diesem Fall ist eine Menge aller Säugetiere eine Teilmenge von U, eine Menge aller Fische ist eine Teilmenge von U, eine Menge aller Insekten ist eine Teilmenge von U und so weiter.

Leerer Satz oder Nullsatz

Ein leerer Satz enthält keine Elemente. Es wird mit Φ bezeichnet. Da die Anzahl der Elemente in einer leeren Menge endlich ist, ist die leere Menge eine endliche Menge. Die Kardinalität der leeren Menge oder der Nullmenge ist Null.

Example - S = {x | x ∈ N und 7 <x <8} = Φ

Singleton Set oder Unit Set

Ein Singleton-Set oder Unit-Set enthält nur ein Element. Eine Singleton-Menge wird mit {s} bezeichnet.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Gleicher Satz

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, werden sie als gleich bezeichnet.

Example - Wenn A = {1,2,6} und B = {6,1,2}, sind sie gleich, da jedes Element der Menge A ein Element der Menge B und jedes Element der Menge B ein Element der Menge A ist.

Äquivalenter Satz

Wenn die Kardinalitäten zweier Mengen gleich sind, werden sie als äquivalente Mengen bezeichnet.

Example- Wenn A = {1,2,6} und B = {16,17,22}, sind sie äquivalent, da die Kardinalität von A gleich der Kardinalität von B ist, dh | A | = | B | = 3

Überlappender Satz

Zwei Mengen mit mindestens einem gemeinsamen Element werden als überlappende Mengen bezeichnet. Bei überlappenden Mengen -

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ links (A \ Tasse B \ rechts) = n \ links (AB \ rechts) + n \ links (BA \ rechts) + n \ links (A \ Kappe B \ rechts) $$

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Sei A = {1,2,6} und B = {6,12,42}. Es gibt ein gemeinsames Element '6', daher sind diese Mengen überlappende Mengen.

Disjunktes Set

Zwei Mengen A und B werden disjunkte Mengen genannt, wenn sie nicht einmal ein Element gemeinsam haben. Daher haben disjunkte Mengen die folgenden Eigenschaften:

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Sei A = {1,2,6} und B = {7,9,14}, es gibt kein einziges gemeinsames Element, daher sind diese Mengen überlappende Mengen.

Operationen an klassischen Mengen

Zu den Set-Operationen gehören Set Union, Set Intersection, Set Difference, Complement of Set und Cartesian Product.

Union

Die Vereinigung der Mengen A und B (bezeichnet mit A ∪ BA ∪ B) ist die Menge der Elemente, die sich in A, in B oder sowohl in A als auch in B befinden. Daher ist A ∪ B = {x | x ∈ A ODER x ∈ B}.

Example - Wenn A = {10,11,12,13} und B = {13,14,15}, dann ist A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - Das gemeinsame Element kommt nur einmal vor.

Überschneidung

Der Schnittpunkt der Mengen A und B (bezeichnet mit A ∩ B) ist die Menge der Elemente, die sich sowohl in A als auch in B befinden. Daher ist A ∩ B = {x | x ∈ A UND x ∈ B}.

Unterschied / relative Ergänzung

Die Mengenunterschiede der Mengen A und B (bezeichnet mit A - B) sind die Mengen von Elementen, die nur in A, nicht aber in B vorliegen. Daher ist A - B = {x | x ∈ A UND x ∉ B}.

Example- Wenn A = {10,11,12,13} und B = {13,14,15}, dann ist (A - B) = {10,11,12} und (B - A) = {14,15} . Hier sehen wir (A - B) ≠ (B - A)

Ergänzung eines Sets

Das Komplement einer Menge A (bezeichnet mit A ') ist die Menge von Elementen, die nicht in Menge A enthalten sind. Daher ist A' = {x | x ∉ A}.

Insbesondere ist A '= (U - A), wobei U eine universelle Menge ist, die alle Objekte enthält.

Example - Wenn A = {x | x zur Menge der addierten Ganzzahlen gehört}, dann gehört A ′ = {y | y nicht zur Menge der ungeraden ganzen Zahlen}

Kartesisches Produkt / Kreuzprodukt

Das kartesische Produkt von n Mengen von Mengen A1, A2,… An, bezeichnet als A1 × A2 ... × An, kann als alle möglichen geordneten Paare (x1, x2,… xn) definiert werden, wobei x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Wenn wir zwei Mengen A = {a, b} und B = {1,2} nehmen,

Das kartesische Produkt von A und B wird geschrieben als - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Und das kartesische Produkt von B und A wird geschrieben als - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}