Fuzzy Logic - Kurzanleitung

Das Wort fuzzybezieht sich auf Dinge, die nicht klar oder vage sind. Jedes Ereignis, jeder Prozess oder jede Funktion, die sich ständig ändert, kann nicht immer als wahr oder falsch definiert werden. Dies bedeutet, dass wir solche Aktivitäten auf unscharfe Weise definieren müssen.

Was ist Fuzzy Logic?

Fuzzy Logic ähnelt der menschlichen Entscheidungsfindungsmethode. Es handelt sich um vage und ungenaue Informationen. Dies ist eine grobe Vereinfachung der Probleme der realen Welt und basiert eher auf Wahrheitsgraden als auf der üblichen wahr / falsch oder 1/0 wie der Booleschen Logik.

Schauen Sie sich das folgende Diagramm an. Es zeigt, dass in Fuzzy-Systemen die Werte durch eine Zahl im Bereich von 0 bis 1 angezeigt werden. Hier steht 1,0absolute truth und 0,0 steht für absolute falseness. Die Zahl, die den Wert in Fuzzy-Systemen angibt, wird als bezeichnettruth value.

Mit anderen Worten, wir können sagen, dass Fuzzy-Logik keine Fuzzy-Logik ist, sondern Logik, die zur Beschreibung von Fuzziness verwendet wird. Es kann zahlreiche andere Beispiele wie dieses geben, mit deren Hilfe wir das Konzept der Fuzzy-Logik verstehen können.

Fuzzy Logic wurde 1965 von Lofti A. Zadeh in seiner Forschungsarbeit „Fuzzy Sets“ eingeführt. Er gilt als der Vater von Fuzzy Logic.

EIN setist eine ungeordnete Sammlung verschiedener Elemente. Es kann explizit geschrieben werden, indem seine Elemente mit der eingestellten Klammer aufgelistet werden. Wenn die Reihenfolge der Elemente geändert oder ein Element einer Menge wiederholt wird, werden keine Änderungen an der Menge vorgenommen.

Beispiel

Eine Menge aller positiven ganzen Zahlen.
Eine Reihe aller Planeten im Sonnensystem.
Eine Reihe aller Staaten in Indien.
Ein Satz aller Kleinbuchstaben des Alphabets.

Mathematische Darstellung einer Menge

Sets können auf zwei Arten dargestellt werden:

Dienstplan oder Tabellenform

In dieser Form wird eine Menge dargestellt, indem alle Elemente aufgelistet werden, aus denen sie besteht. Die Elemente sind in geschweiften Klammern eingeschlossen und durch Kommas getrennt.

Es folgen die Beispiele für Set in Dienstplan- oder Tabellenform -

Satz von Vokalen im englischen Alphabet, A = {a, e, i, o, u}
Satz ungerader Zahlen kleiner als 10, B = {1,3,5,7,9}

Legen Sie die Builder-Notation fest

In dieser Form wird die Menge definiert, indem eine Eigenschaft angegeben wird, die Elemente der Menge gemeinsam haben. Die Menge wird beschrieben als A = {x: p (x)}

Example 1 - Die Menge {a, e, i, o, u} ist geschrieben als

A = {x: x ist ein Vokal im englischen Alphabet}

Example 2 - Die Menge {1,3,5,7,9} ist geschrieben als

B = {x: 1 ≤ x <10 und (x% 2) ≤ 0}

Wenn ein Element x ein Mitglied einer Menge S ist, wird es mit x∈S bezeichnet, und wenn ein Element y kein Mitglied der Menge S ist, wird es mit y∉S bezeichnet.

Example - Wenn S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S, aber 1,5 ∉ S.

Kardinalität einer Menge

Die Kardinalität einer Menge S, bezeichnet mit | S || S |, ist die Anzahl der Elemente der Menge. Die Nummer wird auch als Kardinalzahl bezeichnet. Wenn eine Menge unendlich viele Elemente hat, ist ihre Kardinalität ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Wenn es zwei Mengen X und Y gibt, | X | = | Y | bezeichnet zwei Sätze X und Y mit derselben Kardinalität. Es tritt auf, wenn die Anzahl der Elemente in X genau der Anzahl der Elemente in Y entspricht. In diesem Fall existiert eine bijektive Funktion 'f' von X nach Y.

| X | ≤ | Y | bedeutet, dass die Kardinalität von Satz X kleiner oder gleich der Kardinalität von Satz Y ist. Es tritt auf, wenn die Anzahl der Elemente in X kleiner oder gleich der von Y ist. Hier existiert eine Injektionsfunktion 'f' von X nach Y.

| X | <| Y | bedeutet, dass die Kardinalität von Satz X geringer ist als die Kardinalität von Satz Y. Es tritt auf, wenn die Anzahl der Elemente in X geringer als die von Y ist. Hier ist die Funktion 'f' von X nach Y eine injektive Funktion, aber keine bijektive.

Wenn | X | ≤ | Y | und | X | ≤ | Y | dann | X | = | Y | . Die Mengen X und Y werden üblicherweise als bezeichnetequivalent sets.

Arten von Sets

Sets können in viele Typen eingeteilt werden. Einige davon sind endlich, unendlich, Teilmenge, universell, richtig, Singleton-Menge usw.

Endliche Menge

Eine Menge, die eine bestimmte Anzahl von Elementen enthält, wird als endliche Menge bezeichnet.

Example - S = {x | x ∈ N und 70> x> 50}

Unendliches Set

Eine Menge, die unendlich viele Elemente enthält, wird als unendliche Menge bezeichnet.

Example - S = {x | x ∈ N und x> 10}

Teilmenge

Eine Menge X ist eine Teilmenge der Menge Y (geschrieben als X ⊆ Y), wenn jedes Element von X ein Element der Menge Y ist.

Example 1- Sei X = {1,2,3,4,5,6} und Y = {1,2}. Hier ist Menge Y eine Teilmenge von Menge X, da sich alle Elemente von Menge Y in Menge X befinden. Daher können wir Y⊆X schreiben.

Example 2- Sei X = {1,2,3} und Y = {1,2,3}. Hier ist die Menge Y eine Teilmenge (keine richtige Teilmenge) der Menge X, da sich alle Elemente der Menge Y in der Menge X befinden. Daher können wir Y⊆X schreiben.

Echte Teilmenge

Der Begriff "richtige Teilmenge" kann als "Teilmenge von, aber nicht gleich" definiert werden. Eine Menge X ist eine richtige Teilmenge der Menge Y (geschrieben als X ⊂ Y), wenn jedes Element von X ein Element der Menge Y und | X | ist <| Y |.

Example- Sei X = {1,2,3,4,5,6} und Y = {1,2}. Hier setzen Sie Y ⊂ X, da alle Elemente in Y auch in X enthalten sind und X mindestens ein Element hat, das mehr als die Menge Y ist.

Universelles Set

Es ist eine Sammlung aller Elemente in einem bestimmten Kontext oder einer bestimmten Anwendung. Alle Mengen in diesem Kontext oder in dieser Anwendung sind im Wesentlichen Teilmengen dieser universellen Menge. Universalsätze werden als U dargestellt.

Example- Wir können U als die Menge aller Tiere auf der Erde definieren. In diesem Fall ist eine Menge aller Säugetiere eine Teilmenge von U, eine Menge aller Fische ist eine Teilmenge von U, eine Menge aller Insekten ist eine Teilmenge von U und so weiter.

Leerer Satz oder Nullsatz

Ein leerer Satz enthält keine Elemente. Es wird mit Φ bezeichnet. Da die Anzahl der Elemente in einer leeren Menge endlich ist, ist die leere Menge eine endliche Menge. Die Kardinalität der leeren Menge oder der Nullmenge ist Null.

Example - S = {x | x ∈ N und 7 <x <8} = Φ

Singleton Set oder Unit Set

Ein Singleton-Set oder Unit-Set enthält nur ein Element. Eine Singleton-Menge wird mit {s} bezeichnet.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Gleicher Satz

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, werden sie als gleich bezeichnet.

Example - Wenn A = {1,2,6} und B = {6,1,2}, sind sie gleich, da jedes Element der Menge A ein Element der Menge B und jedes Element der Menge B ein Element der Menge A ist.

Äquivalenter Satz

Wenn die Kardinalitäten zweier Mengen gleich sind, werden sie als äquivalente Mengen bezeichnet.

Example- Wenn A = {1,2,6} und B = {16,17,22}, sind sie äquivalent, da die Kardinalität von A gleich der Kardinalität von B ist, dh | A | = | B | = 3

Überlappender Satz

Zwei Mengen mit mindestens einem gemeinsamen Element werden als überlappende Mengen bezeichnet. Bei überlappenden Mengen -

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ links (A \ Tasse B \ rechts) = n \ links (AB \ rechts) + n \ links (BA \ rechts) + n \ links (A \ Kappe B \ rechts) $$

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Sei A = {1,2,6} und B = {6,12,42}. Es gibt ein gemeinsames Element '6', daher sind diese Mengen überlappende Mengen.

Disjunktes Set

Zwei Mengen A und B werden disjunkte Mengen genannt, wenn sie nicht einmal ein Element gemeinsam haben. Daher haben disjunkte Mengen die folgenden Eigenschaften:

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Sei A = {1,2,6} und B = {7,9,14}, es gibt kein einziges gemeinsames Element, daher sind diese Mengen überlappende Mengen.

Operationen an klassischen Mengen

Zu den Set-Operationen gehören Set Union, Set Intersection, Set Difference, Complement of Set und Cartesian Product.

Union

Die Vereinigung der Mengen A und B (bezeichnet mit A ∪ BA ∪ B) ist die Menge der Elemente, die sich in A, in B oder sowohl in A als auch in B befinden. Daher ist A ∪ B = {x | x ∈ A ODER x ∈ B}.

Example - Wenn A = {10,11,12,13} und B = {13,14,15}, dann ist A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - Das gemeinsame Element kommt nur einmal vor.

Überschneidung

Der Schnittpunkt der Mengen A und B (bezeichnet mit A ∩ B) ist die Menge der Elemente, die sich sowohl in A als auch in B befinden. Daher ist A ∩ B = {x | x ∈ A UND x ∈ B}.

Unterschied / relative Ergänzung

Die Mengenunterschiede der Mengen A und B (bezeichnet mit A - B) sind die Mengen von Elementen, die nur in A, nicht aber in B vorliegen. Daher ist A - B = {x | x ∈ A UND x ∉ B}.

Example- Wenn A = {10,11,12,13} und B = {13,14,15}, dann ist (A - B) = {10,11,12} und (B - A) = {14,15} . Hier sehen wir (A - B) ≠ (B - A)

Ergänzung eines Sets

Das Komplement einer Menge A (bezeichnet mit A ') ist die Menge von Elementen, die nicht in Menge A enthalten sind. Daher ist A' = {x | x ∉ A}.

Insbesondere ist A '= (U - A), wobei U eine universelle Menge ist, die alle Objekte enthält.

Example - Wenn A = {x | x zur Menge der addierten Ganzzahlen gehört}, dann gehört A ′ = {y | y nicht zur Menge der ungeraden ganzen Zahlen}

Kartesisches Produkt / Kreuzprodukt

Das kartesische Produkt von n Mengen von Mengen A1, A2,… An, bezeichnet als A1 × A2 ... × An, kann als alle möglichen geordneten Paare (x1, x2,… xn) definiert werden, wobei x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Wenn wir zwei Mengen A = {a, b} und B = {1,2} nehmen,

Das kartesische Produkt von A und B wird geschrieben als - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Und das kartesische Produkt von B und A wird geschrieben als - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Eigenschaften klassischer Mengen

Eigenschaften von Sets spielen eine wichtige Rolle, um die Lösung zu erhalten. Es folgen die verschiedenen Eigenschaften klassischer Sets -

Kommutativgesetz

Zwei Sätze haben A und B, diese Eigenschaft besagt -

$$ A \ Tasse B = B \ Tasse A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

Assoziatives Eigentum

Mit drei Sätzen A, B und C, diese Eigenschaft besagt -

$$ A \ Tasse \ links (B \ Tasse C \ rechts) = \ links (A \ Tasse B \ rechts) \ Tasse C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

Verteilungseigenschaft

Mit drei Sätzen A, B und C, diese Eigenschaft besagt -

$$ A \ Tasse \ links (B \ Kappe C \ rechts) = \ links (A \ Tasse B \ rechts) \ Kappe \ links (A \ Tasse C \ rechts) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

Idempotenz-Eigenschaft

Für jeden Satz A, diese Eigenschaft besagt -

$$ A \ cup A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

Identitätseigenschaft

Für Set A und universelles Set X, diese Eigenschaft besagt -

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ cup X = X $$

Transitive Eigenschaft

Mit drei Sätzen A, B und C, die Eigenschaft besagt -

Wenn $ A \ subseteq B \ subseteq C $, dann $ A \ subseteq C $

Involution-Eigenschaft

Für jeden Satz A, diese Eigenschaft besagt -

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

De Morgans Gesetz

Es ist ein sehr wichtiges Gesetz und unterstützt den Nachweis von Tautologien und Widersprüchen. Dieses Gesetz besagt -

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$

Fuzzy-Mengen können als Erweiterung und grobe Vereinfachung klassischer Mengen betrachtet werden. Dies kann am besten im Zusammenhang mit der festgelegten Mitgliedschaft verstanden werden. Grundsätzlich erlaubt es eine teilweise Mitgliedschaft, was bedeutet, dass es Elemente enthält, die unterschiedliche Zugehörigkeitsgrade in der Menge haben. Daraus können wir den Unterschied zwischen klassischer Menge und Fuzzy-Menge verstehen. Die klassische Menge enthält Elemente, die genaue Eigenschaften der Mitgliedschaft erfüllen, während die Fuzzy-Menge Elemente enthält, die ungenaue Eigenschaften der Mitgliedschaft erfüllen.

Mathematisches Konzept

Eine Fuzzy-Menge $ \ widetilde {A} $ im Informationsuniversum $ U $ kann als eine Menge geordneter Paare definiert und mathematisch dargestellt werden als -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Hier nimmt $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = Zugehörigkeitsgrad von $ y $ in \ widetilde {A} Werte im Bereich von 0 bis 1 an, dh $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Darstellung der Fuzzy-Menge

Betrachten wir nun zwei Fälle von Informationsuniversum und verstehen, wie eine Fuzzy-Menge dargestellt werden kann.

Fall 1

Wenn das Informationsuniversum $ U $ diskret und endlich ist -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Fall 2

Wenn das Informationsuniversum $ U $ kontinuierlich und unendlich ist -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

In der obigen Darstellung repräsentiert das Summationssymbol die Sammlung jedes Elements.

Operationen an Fuzzy-Sets

Mit zwei Fuzzy-Mengen $ \ widetilde {A} $ und $ \ widetilde {B} $, dem Informationsuniversum $ U $ und einem Element ð ?? '¦ des Universums drücken die folgenden Beziehungen die Vereinigung, Schnittmenge und Komplementoperation aus auf Fuzzy-Sets.

Union / Fuzzy â € žORâ € œ

Betrachten wir die folgende Darstellung, um zu verstehen, wie die Union/Fuzzy â€˜ORâ€™ Beziehung funktioniert -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Hier steht ∨ für die "Max" -Operation.

Intersection / Fuzzy â € žANDâ € œ

Betrachten wir die folgende Darstellung, um zu verstehen, wie die Intersection/Fuzzy â€˜ANDâ€™ Beziehung funktioniert -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Hier steht min für die Min-Operation.

Komplement / Fuzzy â € žNOTâ € œ

Betrachten wir die folgende Darstellung, um zu verstehen, wie die Complement/Fuzzy â€˜NOTâ€™ Beziehung funktioniert -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$

Eigenschaften von Fuzzy-Mengen

Lassen Sie uns die verschiedenen Eigenschaften von Fuzzy-Mengen diskutieren.

Kommutativgesetz

Mit zwei Fuzzy-Mengen $ \ widetilde {A} $ und $ \ widetilde {B} $ heißt es in dieser Eigenschaft:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Assoziatives Eigentum

Mit drei Fuzzy-Mengen $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ und $ \ widetilde {C} $ heißt es in dieser Eigenschaft:

$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Verteilungseigenschaft

Mit drei Fuzzy-Mengen $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ und $ \ widetilde {C} $ heißt es in dieser Eigenschaft:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Idempotenz-Eigenschaft

Für jede Fuzzy-Menge $ \ widetilde {A} $ gibt diese Eigenschaft an:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Identitätseigenschaft

Für die Fuzzy-Menge $ \ widetilde {A} $ und die universelle Menge $ U $ lautet diese Eigenschaft:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

Transitive Eigenschaft

Mit drei Fuzzy-Mengen $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ und $ \ widetilde {C} $ heißt es in dieser Eigenschaft:

$$ Wenn \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: dann \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

Involution-Eigenschaft

Für jede Fuzzy-Menge $ \ widetilde {A} $ gibt diese Eigenschaft an:

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

De Morgans Gesetz

Dieses Gesetz spielt eine entscheidende Rolle beim Nachweis von Tautologien und Widersprüchen. Dieses Gesetz besagt -

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$

Wir wissen bereits, dass Fuzzy-Logik keine Fuzzy-Logik ist, sondern eine Logik, die zur Beschreibung von Fuzziness verwendet wird. Diese Unschärfe wird am besten durch ihre Zugehörigkeitsfunktion charakterisiert. Mit anderen Worten können wir sagen, dass die Zugehörigkeitsfunktion den Grad der Wahrheit in der Fuzzy-Logik darstellt.

Im Folgenden sind einige wichtige Punkte im Zusammenhang mit der Mitgliedschaftsfunktion aufgeführt:

Die Mitgliedschaftsfunktionen wurden erstmals 1965 von Lofti A. Zadeh in seinem ersten Forschungsbericht „Fuzzy Sets“ eingeführt.
Zugehörigkeitsfunktionen charakterisieren Unschärfe (dh alle Informationen in Fuzzy-Mengen), unabhängig davon, ob die Elemente in Fuzzy-Mengen diskret oder kontinuierlich sind.
Mitgliedschaftsfunktionen können als eine Technik definiert werden, um praktische Probleme eher durch Erfahrung als durch Wissen zu lösen.
Mitgliedschaftsfunktionen werden durch grafische Formulare dargestellt.
Die Regeln zum Definieren von Unschärfe sind ebenfalls unscharf.

Mathematische Notation

Wir haben bereits untersucht , dass eine Fuzzy - Menge Ã im Universum von Informationen U als ein Satz geordneter Paare definiert werden kann , und es kann als mathematisch dargestellt werden -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Hier $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = Zugehörigkeitsfunktion von $ \ widetilde {A} $; Dies setzt Werte im Bereich von 0 bis 1 voraus, dh $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. Die Zugehörigkeitsfunktion $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ ordnet $ U $ dem Mitgliederbereich $ M $ zu.

Der Punkt $ \ left (\ bullet \ right) $ in der oben beschriebenen Zugehörigkeitsfunktion repräsentiert das Element in einer Fuzzy-Menge. ob es diskret oder kontinuierlich ist.

Merkmale der Mitgliedschaftsfunktionen

Wir werden nun die verschiedenen Funktionen der Mitgliedschaftsfunktionen diskutieren.

Ader

Für jede Fuzzy-Menge $ \ widetilde {A} $ ist der Kern einer Zugehörigkeitsfunktion die Region des Universums, die durch die Vollmitgliedschaft in der Menge gekennzeichnet ist. Daher besteht der Kern aus all diesen Elementen $ y $ des Informationsuniversums, so dass

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Unterstützung

Für jede Fuzzy-Menge $ \ widetilde {A} $ ist die Unterstützung einer Zugehörigkeitsfunktion die Region des Universums, die durch eine Mitgliedschaft ungleich Null in der Menge gekennzeichnet ist. Daher besteht der Kern aus all diesen Elementen $ y $ des Informationsuniversums, so dass

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Grenze

Für jede Fuzzy-Menge $ \ widetilde {A} $ ist die Grenze einer Zugehörigkeitsfunktion die Region des Universums, die durch eine ungleich Null, aber unvollständige Zugehörigkeit zur Menge gekennzeichnet ist. Daher besteht der Kern aus all diesen Elementen $ y $ des Informationsuniversums, so dass

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzifizierung

Es kann definiert werden als der Prozess der Umwandlung eines knackigen Satzes in einen unscharfen Satz oder eines unscharfen Satzes in einen unschärferen Satz. Grundsätzlich übersetzt diese Operation genaue, gestochen scharfe Eingabewerte in sprachliche Variablen.

Im Folgenden sind die beiden wichtigen Methoden der Fuzzifizierung aufgeführt:

Support Fuzzification (S-Fuzzification) -Methode

Bei dieser Methode kann die unscharfe Menge mit Hilfe der folgenden Beziehung ausgedrückt werden:

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Hier wird die Fuzzy-Menge $ Q \ left (x_i \ right) $ als Kernel der Fuzzifizierung bezeichnet. Diese Methode wird implementiert, indem $ \ mu _i $ konstant gehalten wird und $ x_i $ in eine Fuzzy-Menge $ Q \ left (x_i \ right) $ transformiert wird.

Grade Fuzzification (g-Fuzzification) -Methode

Es ist der obigen Methode ziemlich ähnlich, aber der Hauptunterschied besteht darin, dass $ x_i $ konstant gehalten wird und $ \ mu _i $ als Fuzzy-Menge ausgedrückt wird.

Defuzzifizierung

Es kann definiert werden als der Prozess des Reduzierens eines Fuzzy-Satzes in einen knackigen Satz oder des Umwandelns eines Fuzzy-Elements in einen knackigen Element.

Wir haben bereits untersucht, dass der Fuzzifizierungsprozess die Umwandlung von knackigen Mengen in unscharfe Mengen beinhaltet. In einer Reihe von technischen Anwendungen ist es erforderlich, das Ergebnis bzw. das „unscharfe Ergebnis“ zu defuzzifizieren, damit es in ein klares Ergebnis umgewandelt werden muss. Mathematisch wird der Prozess der Defuzzifizierung auch als "Abrunden" bezeichnet.

Die verschiedenen Methoden der Defuzzifizierung werden nachfolgend beschrieben -

Max-Membership-Methode

Diese Methode ist auf Spitzenausgabefunktionen beschränkt und wird auch als Höhenmethode bezeichnet. Mathematisch kann es wie folgt dargestellt werden:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: for \: all \: x \ in X $$

Hier ist $ x ^ * $ die defuzzifizierte Ausgabe.

Schwerpunktmethode

Diese Methode wird auch als Flächenschwerpunkt- oder Schwerpunktmethode bezeichnet. Mathematisch wird die defuzzifizierte Ausgabe $ x ^ * $ dargestellt als -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$

Gewichtete Durchschnittsmethode

Bei dieser Methode wird jede Zugehörigkeitsfunktion mit ihrem maximalen Mitgliedschaftswert gewichtet. Mathematisch wird die defuzzifizierte Ausgabe $ x ^ * $ dargestellt als -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A. }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Mean-Max-Mitgliedschaft

Diese Methode wird auch als Mitte der Maxima bezeichnet. Mathematisch wird die defuzzifizierte Ausgabe $ x ^ * $ dargestellt als -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$

Die Logik, die ursprünglich nur die Untersuchung dessen war, was vernünftige Argumente von unsoliden Argumenten unterscheidet, hat sich nun zu einem mächtigen und strengen System entwickelt, mit dem wahre Aussagen entdeckt werden können, wenn andere Aussagen bereits als wahr bekannt sind.

Prädikatenlogik

Diese Logik befasst sich mit Prädikaten, bei denen es sich um Sätze handelt, die Variablen enthalten.

Ein Prädikat ist ein Ausdruck einer oder mehrerer Variablen, die in einer bestimmten Domäne definiert sind. Ein Prädikat mit Variablen kann zu einem Satz gemacht werden, indem entweder der Variablen ein Wert zugewiesen oder die Variable quantifiziert wird.

Es folgen einige Beispiele für Prädikate -

Es sei E (x, y) "x = y"
X (a, b, c) bezeichne "a + b + c = 0".
Es sei M (x, y) "x ist mit y verheiratet"

Aussagelogik

Ein Satz ist eine Sammlung deklarativer Aussagen, die entweder einen Wahrheitswert "wahr" oder einen Wahrheitswert "falsch" haben. Ein Satz besteht aus Satzvariablen und Konnektiven. Die Satzvariablen sind durch Großbuchstaben (A, B usw.) verbeult. Die Konnektive verbinden die Aussagenvariablen.

Einige Beispiele für Vorschläge sind unten angegeben -

"Man is Mortal" gibt den Wahrheitswert "TRUE" zurück.
"12 + 9 = 3 - 2" gibt den Wahrheitswert "FALSE" zurück.

Das Folgende ist kein Vorschlag -

"A is less than 2" - Es liegt daran, dass wir nicht sagen können, ob die Aussage wahr oder falsch ist, wenn wir nicht einen bestimmten Wert von A angeben.

Konnektiva

In der Aussagenlogik verwenden wir die folgenden fünf Konnektiva:

ODER (∨∨)
UND (∧∧)
Negation / NOT (¬¬)
Implikation / Wenn-Dann (→ Bungal)
Wenn und nur wenn (⇔⇔)

ODER (∨∨)

Die ODER-Verknüpfung zweier Sätze A und B (geschrieben als A∨BA∨B) ist wahr, wenn mindestens eine der Satzvariablen A oder B wahr ist.