MATLAB - Calcul

MATLAB propose différentes méthodes pour résoudre des problèmes de calcul différentiel et intégral, résoudre des équations différentielles de tout degré et calculer des limites. Mieux encore, vous pouvez facilement tracer les graphiques de fonctions complexes et vérifier les maxima, minima et autres points de papeterie sur un graphique en résolvant la fonction d'origine, ainsi que sa dérivée.

Ce chapitre traitera des problèmes de calcul. Dans ce chapitre, nous aborderons les concepts de pré-calcul, c'est-à-dire le calcul des limites des fonctions et la vérification des propriétés des limites.

Dans le chapitre suivant Différentiel , nous allons calculer la dérivée d'une expression et trouver les maxima et minima locaux sur un graphe. Nous discuterons également de la résolution d'équations différentielles.

Enfin, dans le chapitre Intégration , nous aborderons le calcul intégral.

Calcul des limites

MATLAB fournit le limitfonction de calcul des limites. Dans sa forme la plus élémentaire, lelimit function prend l'expression comme argument et trouve la limite de l'expression lorsque la variable indépendante va à zéro.

Par exemple, calculons la limite d'une fonction f (x) = (x ³ + 5) / (x ⁴ + 7), car x tend vers zéro.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB exécutera l'instruction ci-dessus et retournera le résultat suivant -

ans =
   5/7

La fonction limite relève du domaine du calcul symbolique; vous devez utiliser lesymspour indiquer à MATLAB les variables symboliques que vous utilisez. Vous pouvez également calculer la limite d'une fonction, car la variable tend vers un nombre autre que zéro. Pour calculer lim _{x-> a} (f (x)), nous utilisons la commande limit avec des arguments. Le premier étant l'expression et le second le nombre, que x s'approche, ici c'est a .

Par exemple, calculons la limite d'une fonction f (x) = (x-3) / (x-1), car x tend vers 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB exécutera l'instruction ci-dessus et retournera le résultat suivant -

ans =
   NaN

Prenons un autre exemple,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB exécutera l'instruction ci-dessus et retournera le résultat suivant -

ans =
   14

Calcul des limites à l'aide d'Octave

Voici la version Octave de l'exemple ci-dessus en utilisant symbolic package, essayez d'exécuter et de comparer le résultat -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave exécutera l'instruction ci-dessus et retournera le résultat suivant -

ans =
   0.7142857142857142857

Vérification des propriétés de base des limites

Le théorème des limites algébriques fournit quelques propriétés de base des limites. Ce sont les suivants -

Considérons deux fonctions -

f (x) = (3x + 5) / (x - 3)
g (x) = x ² + 1.

Calculons les limites des fonctions lorsque x tend vers 5, des deux fonctions et vérifions les propriétés de base des limites en utilisant ces deux fonctions et MATLAB.

Exemple

Créez un fichier de script et tapez le code suivant dedans -

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Lorsque vous exécutez le fichier, il affiche -

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Vérification des propriétés de base des limites à l'aide d'Octave

Voici la version Octave de l'exemple ci-dessus en utilisant symbolic package, essayez d'exécuter et de comparer le résultat -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave exécutera l'instruction ci-dessus et retournera le résultat suivant -

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Limites des côtés gauche et droit

Lorsqu'une fonction présente une discontinuité pour une valeur particulière de la variable, la limite n'existe pas à ce point. En d'autres termes, les limites d'une fonction f (x) ont une discontinuité à x = a, lorsque la valeur de limite, lorsque x s'approche de x du côté gauche, n'égale pas la valeur de la limite lorsque x s'approche du côté droit.

Cela conduit au concept de limites gauchers et droitiers. Une limite à gauche est définie comme la limite comme x -> a, à partir de la gauche, c'est-à-dire que x s'approche de a, pour les valeurs de x <a. Une limite à droite est définie comme la limite lorsque x -> a, à partir de la droite, c'est-à-dire que x s'approche de a, pour les valeurs de x> a. Lorsque la limite gauche et la limite droitier ne sont pas égales, la limite n'existe pas.

Considérons une fonction -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Nous montrerons que lim _{x-> 3} f (x) n'existe pas. MATLAB nous aide à établir ce fait de deux manières -

En traçant le graphique de la fonction et en montrant la discontinuité.
En calculant les limites et en montrant que les deux sont différents.

Les limites gaucher et droitier sont calculées en passant les chaînes de caractères «gauche» et «droite» à la commande limit comme dernier argument.

Exemple

Créez un fichier de script et tapez le code suivant dedans -

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Lorsque vous exécutez le fichier, MATLAB dessine le tracé suivant

Après l'affichage de la sortie suivante -

l =
   -1
  
r =
   1