MATLAB - Différentiel
MATLAB fournit le diffcommande pour le calcul des dérivés symboliques. Dans sa forme la plus simple, vous passez la fonction que vous souhaitez différencier à la commande diff comme argument.
Par exemple, calculons la dérivée de la fonction f (t) = 3t 2 + 2t -2
Exemple
Créez un fichier de script et tapez le code suivant dedans -
syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)Lorsque le code ci-dessus est compilé et exécuté, il produit le résultat suivant -
ans =
6*t - 4/t^3Voici l'équivalent d'octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant -
ans =
-(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*tVérification des règles élémentaires de différenciation
Décrivons brièvement diverses équations ou règles de différenciation des fonctions et vérifions ces règles. Pour cela, nous écrirons f '(x) pour une dérivée du premier ordre et f "(x) pour une dérivée du second ordre.
Voici les règles de différenciation -
Règle 1
Pour toutes les fonctions f et g et tous les nombres réels a et b sont la dérivée de la fonction -
h(x) = af(x) + bg(x) par rapport à x est donné par -
h'(x) = af'(x) + bg'(x)
Règle 2
le sum et subtraction les règles stipulent que si f et g sont deux fonctions, f 'et g' sont leurs dérivées respectivement, alors,
(f + g)' = f' + g'
(f - g)' = f' - g'
Règle 3
le product règle stipule que si f et g sont deux fonctions, f 'et g' sont leurs dérivés respectivement, alors,
(f.g)' = f'.g + g'.f
Règle 4
le quotient règle stipule que si f et g sont deux fonctions, f 'et g' sont leurs dérivés respectivement, alors,
(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g2
Règle 5
le polynomial ou règle de puissance élémentaire stipule que, si y = f(x) = xn, puis f' = n. x(n-1)
Un résultat direct de cette règle est que la dérivée de toute constante est nulle, c'est-à-dire si y = k, toute constante, alors
f' = 0
Règle 6
le chain règle stipule que, dérivée de la fonction d'une fonction h(x) = f(g(x)) par rapport à x est,
h'(x)= f'(g(x)).g'(x)
Exemple
Créez un fichier de script et tapez le code suivant dedans -
syms x
syms t
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)
f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)Lorsque vous exécutez le fichier, MATLAB affiche le résultat suivant -
f =
(x^2 + 3)*(x + 2)
der1 =
2*x*(x + 2) + x^2 + 3
f =
(t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
der2 =
(t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
f =
(x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 =
(2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
f =
(2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 =
(4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
f =
(x^2 + 1)^17
der5 =
34*x*(x^2 + 1)^16
f =
1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
der6 =
-(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7Voici l'équivalent d'octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
t = sym("t");
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = differentiate(f,x)
f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3)
der2 = differentiate(f,t)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = differentiate(f,x)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = differentiate(f,x)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = differentiate(f,x)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = differentiate(f,t)Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant -
f =
(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =
3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =
(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =
(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =
(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =
(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =
(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =
(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =
(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =
(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =
(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =
-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)Dérivés des fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques
Le tableau suivant fournit les dérivées des fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques couramment utilisées -
| Fonction | Dérivé |
|---|---|
| ca.x | c a.x .ln ca (ln est le logarithme naturel) |
| ex | e x |
| ln x | 1 fois |
| lncx | 1 / x.ln c |
| xx | x x . (1 + ln x) |
| sin(x) | cos (x) |
| cos(x) | -sin (x) |
| tan(x) | sec 2 (x), ou 1 / cos 2 (x), ou 1 + tan 2 (x) |
| cot(x) | -csc 2 (x), ou -1 / sin 2 (x), ou - (1 + cot 2 (x)) |
| sec(x) | sec (x) .tan (x) |
| csc(x) | -csc (x) .cot (x) |
Exemple
Créez un fichier de script et tapez le code suivant dedans -
syms x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)Lorsque vous exécutez le fichier, MATLAB affiche le résultat suivant -
y =
exp(x)
ans =
exp(x)
y =
x^9
ans =
9*x^8
y =
sin(x)
ans =
cos(x)
y =
tan(x)
ans =
tan(x)^2 + 1
y =
cos(x)
ans =
-sin(x)
y =
log(x)
ans =
1/x
y =
log(x)/log(10)
ans =
1/(x*log(10))
y =
sin(x)^2
ans =
2*cos(x)*sin(x)
y =
cos(3*x^2 + 2*x + 1)
ans =
-sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
y =
exp(x)/sin(x)
ans =
exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2Voici l'équivalent d'octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)
y = x^9
differentiate(y,x)
y = Sin(x)
differentiate(y,x)
y = Tan(x)
differentiate(y,x)
y = Cos(x)
differentiate(y,x)
y = Log(x)
differentiate(y,x)
% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)
y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)
y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)
y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant -
y =
exp(x)
ans =
exp(x)
y =
x^(9.0)
ans =
(9.0)*x^(8.0)
y =
sin(x)
ans =
cos(x)
y =
tan(x)
ans =
1+tan(x)^2
y =
cos(x)
ans =
-sin(x)
y =
log(x)
ans =
x^(-1)
y =
sin(x)^(2.0)
ans =
(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =
cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =
-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =
sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =
sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)Calcul des dérivés d'ordre supérieur
Pour calculer les dérivées supérieures d'une fonction f, nous utilisons la syntaxe diff(f,n).
Calculons la dérivée seconde de la fonction y = f (x) = x .e -3x
f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)MATLAB exécute le code et renvoie le résultat suivant -
ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)Voici l'équivalent d'octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant -
ans =
(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)Exemple
Dans cet exemple, résolvons un problème. Étant donné qu'une fonctiony = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x). Nous devrons savoir si l'équationf" + f = -5cos(2x) qui est vrai.
Créez un fichier de script et tapez le code suivant dedans -
syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x); % defining the function
lhs = diff(y,2)+y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x); %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
disp('Yes, the equation holds true');
else
disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);Lorsque vous exécutez le fichier, il affiche le résultat suivant -
No, the equation does not hold true
Value of LHS is:
-168*cos(5*x)Voici l'équivalent d'octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x); % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x); %rhs of the equation
if(lhs == rhs)
disp('Yes, the equation holds true');
else
disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant -
No, the equation does not hold true
Value of LHS is:
-(168.0)*cos((5.0)*x)Recherche des maxima et des minima d'une courbe
Si nous recherchons les maxima et minima locaux pour un graphique, nous recherchons essentiellement les points les plus hauts ou les plus bas sur le graphique de la fonction à une localité particulière, ou pour une plage particulière de valeurs de la variable symbolique.
Pour une fonction y = f (x) les points du graphe où le graphe a une pente nulle sont appelés stationary points. En d'autres termes, les points stationnaires sont où f '(x) = 0.
Pour trouver les points stationnaires d'une fonction que nous différencions, nous devons définir la dérivée égale à zéro et résoudre l'équation.
Exemple
Trouvons les points stationnaires de la fonction f (x) = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17
Suivez les étapes suivantes -
First let us enter the function and plot its graph.
syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y)MATLAB exécute le code et renvoie le tracé suivant -
Voici le code équivalent Octave pour l'exemple ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y)
print -deps graph.epsOur aim is to find some local maxima and minima on the graph, so let us find the local maxima and minima for the interval [-2, 2] on the graph.
syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])MATLAB exécute le code et renvoie le tracé suivant -
Voici le code équivalent Octave pour l'exemple ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.epsNext, let us compute the derivative.
g = diff(y)MATLAB exécute le code et renvoie le résultat suivant -
g =
6*x^2 + 6*x - 12Voici l'équivalent Octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant -
g =
-12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)Let us solve the derivative function, g, to get the values where it becomes zero.
s = solve(g)MATLAB exécute le code et renvoie le résultat suivant -
s =
1
-2Voici l'équivalent d'octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])Octave exécute le code et renvoie le résultat suivant -
g =
-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =
-2
1This agrees with our plot. So let us evaluate the function f at the critical points x = 1, -2. On peut substituer une valeur dans une fonction symbolique en utilisant la subs commander.
subs(y, 1), subs(y, -2)MATLAB exécute le code et renvoie le résultat suivant -
ans =
10
ans =
37Voici l'équivalent d'octave du calcul ci-dessus -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)ans =
10.0
ans =
37.0-4.6734207789940138748E-18*IPar conséquent, les valeurs minimale et maximale de la fonction f (x) = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17, dans l'intervalle [-2,2] sont 10 et 37.
Résolution d'équations différentielles
MATLAB fournit le dsolve commande pour résoudre symboliquement des équations différentielles.
La forme la plus élémentaire du dsolve commande pour trouver la solution à une seule équation est
dsolve('eqn')où eqn est une chaîne de texte utilisée pour entrer l'équation.
Il renvoie une solution symbolique avec un ensemble de constantes arbitraires que MATLAB étiquette C1, C2, etc.
Vous pouvez également spécifier les conditions initiales et aux limites pour le problème, sous forme de liste délimitée par des virgules après l'équation comme -
dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)Pour utiliser la commande dsolve, derivatives are indicated with a D. Par exemple, une équation comme f '(t) = -2 * f + coût (t) est entrée comme -
'Df = -2*f + cos(t)'
Les dérivés supérieurs sont indiqués en suivant D par l'ordre du dérivé.
Par exemple, l'équation f "(x) + 2f '(x) = 5sin3x doit être saisie sous la forme -
'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'
Prenons un exemple simple d'équation différentielle du premier ordre: y '= 5y.
s = dsolve('Dy = 5*y')MATLAB exécute le code et renvoie le résultat suivant -
s =
C2*exp(5*t)Prenons un autre exemple d'une équation différentielle du second ordre comme: y "- y = 0, y (0) = -1, y '(0) = 2.
dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')MATLAB exécute le code et renvoie le résultat suivant -
ans =
exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2