डिजिटल सर्किट - कैननिकल और स्टैंडर्ड फॉर्म
हम तार्किक और ऑपरेशन के साथ दो चर x और y को मिलाकर चार बूलियन उत्पाद शब्द प्राप्त करेंगे। इन बूलियन उत्पाद की शर्तों को कहा जाता हैmin terms या standard product terms। न्यूनतम शर्तें x'y ', x'y, xy' और xy हैं।
इसी तरह, हम तार्किक या ऑपरेशन के साथ दो चर x और y को मिलाकर चार बुलियन योग शब्द प्राप्त करेंगे। इन बूलियन राशि शर्तों के रूप में कहा जाता हैMax terms या standard sum terms। अधिकतम शब्द x + y, x + y ', x' + y और x '+ y' हैं।
निम्न तालिका 2 चर के लिए न्यूनतम शर्तों और अधिकतम शर्तों का प्रतिनिधित्व दर्शाती है।
| एक्स | y | न्यूनतम शर्तें | अधिकतम शर्तें |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | मी 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | एम 2 = xy ' | एम 2 = एक्स '+ वाई |
| 1 | 1 | म 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
यदि बाइनरी चर '0' है, तो इसे मिनिम टर्म में वेरिएबल के पूरक के रूप में और मैक्स टर्म में वेरिएबल के रूप में दर्शाया जाता है। इसी प्रकार, यदि द्विआधारी चर '1 ’है, तो इसे मैक्स शब्द में चर के पूरक के रूप में और शून्य अवधि में स्वयं चर के रूप में दर्शाया जाता है।
उपरोक्त तालिका से, हम आसानी से देख सकते हैं कि न्यूनतम शर्तें और अधिकतम शर्तें एक दूसरे के पूरक हैं। यदि 'एन' बूलियन चर हैं, तो 2 एन मिनट की शर्तें और 2 एन मैक्स शब्द होंगे।
Canonical SoP और PoS रूपों
एक सत्य तालिका में इनपुट और आउटपुट (एस) का एक सेट होता है। यदि 'एन' इनपुट चर हैं, तो शून्य और लोगों के साथ 2 एन संभव संयोजन होंगे। तो प्रत्येक आउटपुट चर का मूल्य इनपुट चर के संयोजन पर निर्भर करता है। तो, प्रत्येक आउटपुट चर में इनपुट चर के कुछ संयोजन के लिए '1' और इनपुट चर के कुछ अन्य संयोजन के लिए '0' होगा।
इसलिए, हम प्रत्येक आउटपुट चर को दो तरीकों से अनुसरण कर सकते हैं।
- विहित सोप रूप
- विहित PoS रूप
विहित सोप रूप
Canonical SoP फॉर्म का मतलब होता है Canonical Sum of Products फॉर्म। इस रूप में, प्रत्येक उत्पाद शब्द में सभी शाब्दिक शब्द होते हैं। तो, ये उत्पाद शब्द मिनिमम टर्म के अलावा और कुछ नहीं हैं। इसलिए, विहित SoP रूप को भी कहा जाता हैsum of min terms प्रपत्र।
सबसे पहले, उन मिनिमम टर्म्स की पहचान करें, जिनके लिए आउटपुट वेरिएबल एक है और फिर उस आउटपुट वेरिएबल के अनुरूप बूलियन एक्सप्रेशन (फंक्शन) प्राप्त करने के लिए उन OR टर्म्स की तार्किक OR करें। यह बुलियन फंक्शन मिनिमम टर्म के योग के रूप में होगा।
अन्य आउटपुट चर के लिए भी यही प्रक्रिया अपनाएं, यदि एक से अधिक आउटपुट चर हैं।
उदाहरण
निम्नलिखित को धयान मे रखते हुए truth table।
| इनपुट | उत्पादन | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
यहाँ, इनपुट के चार संयोजनों के लिए आउटपुट (f) '1' है। संबंधित न्यूनतम शर्तें p'qr, pq'r, pqr ', pqr हैं। तार्किक या इन चार मिनट की शर्तों के अनुसार, हम उत्पादन (एफ) के बूलियन समारोह मिल जाएगा।
इसलिए, आउटपुट का बूलियन फ़ंक्शन है, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr। यह हैcanonical SoP formआउटपुट का, एफ। हम भी दो संकेतन के बाद इस समारोह का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
$ $ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $ $
$ $ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ दाएँ) $ $
एक समीकरण में, हमने संबंधित न्यूनतम शर्तों के योग के रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व किया। अन्य समीकरणों में, हमने उन मिनटों के सारांश के लिए प्रतीक का उपयोग किया।
विहित PoS रूप
Canonical PoS फॉर्म का मतलब होता है Canonical Product of Sums का फॉर्म। इस रूप में, प्रत्येक योग शब्द में सभी शाब्दिक शब्द होते हैं। तो, ये शब्द शर्तें और कुछ नहीं बल्कि मैक्स शब्द हैं। इसलिए, विहित PoS रूप को भी कहा जाता हैproduct of Max terms प्रपत्र।
सबसे पहले, अधिकतम शब्दों की पहचान करें जिसके लिए, आउटपुट चर शून्य है और फिर उस आउटपुट चर के अनुरूप बूलियन अभिव्यक्ति (फ़ंक्शन) प्राप्त करने के लिए उन अधिकतम शब्दों की तार्किक और करें। यह बूलियन फ़ंक्शन मैक्स शर्तों के उत्पाद के रूप में होगा।
अन्य आउटपुट चर के लिए भी यही प्रक्रिया अपनाएं, यदि एक से अधिक आउटपुट चर हैं।
Example
पिछले उदाहरण के समान सत्य तालिका पर विचार करें। यहां, इनपुट के चार संयोजनों के लिए आउटपुट (f) '0' है। संबंधित अधिकतम शब्द p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r हैं। तार्किक रूप से और इन चार अधिकतम शब्दों को करने से, हमें बूलियन फ़ंक्शन ऑफ़ आउटपुट (f) मिलेगा।
इसलिए, आउटपुट का बूलियन फ़ंक्शन है, f = (p + q + r)। (p + q + r ')। (p + q' + r)। (p '+ q + r)। यह हैcanonical PoS formआउटपुट का, एफ। हम भी दो संकेतन के बाद इस समारोह का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
$$ च = M_ {0} {1} .M_ .M_ {2} .M_ {4} $$
$ $ f = \ prod M \ बाएँ (0,1,2,4 \ दाएँ) $ $
एक समीकरण में, हमने संबंधित मैक्स शब्दों के उत्पाद के रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व किया। अन्य समीकरण में, हमने उन अधिकतम शब्दों के गुणन के लिए प्रतीक का उपयोग किया।
बूलियन फ़ंक्शन, f = (p + q + r)। (p + q + r ')। (p + q' + r)। (p '+ q + r) बूलियन फ़ंक्शन का दोहरी है, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr।
इसलिए, विहित SoP और विहित PoS दोनों रूप हैं Dualएक दूसरे को। कार्यात्मक रूप से, ये दो रूप समान हैं। आवश्यकता के आधार पर, हम इन दो रूपों में से एक का उपयोग कर सकते हैं।
मानक SoP और PoS रूप
हमने बूलियन आउटपुट (एस) का प्रतिनिधित्व करने के दो विहित रूपों पर चर्चा की। इसी तरह, बूलियन आउटपुट (एस) का प्रतिनिधित्व करने के दो मानक रूप हैं। ये विहित रूपों का सरलीकृत संस्करण हैं।
- मानक SoP रूप
- मानक PoS रूप
हम बाद के अध्यायों में तर्क फाटकों के बारे में चर्चा करेंगे। मुख्यadvantageमानक रूपों में तर्क गेट्स पर लगाए गए इनपुट की संख्या को कम से कम किया जा सकता है। कभी-कभी, आवश्यक तर्क गेट्स की कुल संख्या में कमी होगी।
मानक SoP रूप
मानक SoP फॉर्म का मतलब है Standard Sum of Productsप्रपत्र। इस रूप में, प्रत्येक उत्पाद शब्द में सभी शाब्दिक शब्द नहीं होते हैं। तो, उत्पाद की शर्तें न्यूनतम शर्तें हो सकती हैं या नहीं भी हो सकती हैं। इसलिए, मानक SoP फॉर्म विहित SoP फॉर्म का सरलीकृत रूप है।
हमें दो चरणों में आउटपुट वेरिएबल का स्टैंडर्ड सोप मिलेगा।
- आउटपुट चर का विहित SoP रूप प्राप्त करें
- उपरोक्त बूलियन फ़ंक्शन को सरल करें, जो विहित एसओपी रूप में है।
अन्य आउटपुट चर के लिए भी यही प्रक्रिया अपनाएं, यदि एक से अधिक आउटपुट चर हैं। कभी-कभी, विहित SoP रूप को सरल करना संभव नहीं होता है। उस मामले में, विहित और मानक SoP दोनों रूप समान हैं।
Example
निम्नलिखित बूलियन फ़ंक्शन को मानक SoP रूप में परिवर्तित करें।
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
दिए गए बूलियन फ़ंक्शन विहित SoP रूप में है। अब, हमें इस बूलियन फ़ंक्शन को सरल करना होगा ताकि मानक एसओपी फॉर्म प्राप्त हो सके।
Step 1 - का प्रयोग करें Boolean postulate, x + x = x। इसका मतलब है, किसी भी बूलियन चर 'एन' समय के साथ तार्किक या ऑपरेशन एक ही चर के बराबर होगा। इसलिए, हम अंतिम शब्द pqr को दो बार लिख सकते हैं।
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - उपयोग करें Distributive law1 सेंट और 4 वीं शर्तों के लिए, 2 एन डी और 5 वीं शर्तों, 3 आरडी और 6 वीं शर्तों के लिए।
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - उपयोग करें Boolean postulate, x + x '= 1 प्रत्येक कोष्ठक में मौजूद शब्दों को सरल बनाने के लिए।
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - उपयोग करें Boolean postulate, x.1 = x तीन शब्दों के ऊपर सरलीकरण के लिए।
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
यह सरलीकृत बूलियन फ़ंक्शन है। इसलिएstandard SoP form दिए गए विहित SoP रूप के अनुरूप है f = pq + qr + pr
मानक PoS रूप
मानक PoS फॉर्म का मतलब है Standard Product of Sumsप्रपत्र। इस रूप में, प्रत्येक योग शब्द में सभी शाब्दिक शब्द नहीं होते हैं। तो, अधिकतम शर्तें अधिकतम शर्तें हो सकती हैं या नहीं। इसलिए, मानक PoS फॉर्म विहित PoS फॉर्म का सरलीकृत रूप है।
हमें दो चरणों में आउटपुट चर का मानक पीओएस फॉर्म मिलेगा।
- आउटपुट चर का विहित PoS रूप प्राप्त करें
- उपरोक्त बूलियन फ़ंक्शन को सरल करें, जो विहित PoS रूप में है।
अन्य आउटपुट चर के लिए भी यही प्रक्रिया अपनाएं, यदि एक से अधिक आउटपुट चर हैं। कभी-कभी, विहित PoS रूप को सरल करना संभव नहीं होता है। उस स्थिति में, दोनों विहित और मानक PoS रूप समान हैं।
Example
निम्नलिखित बूलियन फ़ंक्शन को मानक PoS रूप में परिवर्तित करें।
f = (p + q + r)। (p + q + r ')। (p + q' + r) (p '+ q + r)
दिए गए बूलियन फ़ंक्शन विहित PoS रूप में हैं। अब, मानक पीओएस फॉर्म प्राप्त करने के लिए हमें इस बूलियन फ़ंक्शन को सरल करना होगा।
Step 1 - का प्रयोग करें Boolean postulate, xx = x। इसका मतलब है, किसी भी बूलियन चर 'एन' समय के साथ तार्किक और ऑपरेशन एक ही चर के बराबर होगा। तो, हम पहले शब्द p + q + r को दो बार लिख सकते हैं।
⇒ f = (p + q + r)। (p + q + r)। (p + q + r)। (p + q + r ')। (p + q' + r)। (p '+ q) + आर)
Step 2 - उपयोग करें Distributive law,x + (yz) = (x + y)। (x + z) 1 सेंट और 4 वें कोष्ठक, 2 nd और 5 वें कोष्ठक, 3 rd और 6 वें लघुकोष्ठक के लिए।
⇒ f = (p + q + rr ')। (p + r + qq')। (q + r + pp ')
Step 3 - उपयोग करें Boolean postulate, x.x '= 0 प्रत्येक कोष्ठक में मौजूद शब्दों को सरल बनाने के लिए।
⇒ f = (p + q + 0)। (p + r + 0)। (q + r + 0)
Step 4 - उपयोग करें Boolean postulate, प्रत्येक कोष्ठक में मौजूद शब्दों को सरल बनाने के लिए x + 0 = x
⇒ f = (p + q)। (p + r)। (q + r)
⇒ f = (p + q)। (q + r)। (p + r)
यह सरलीकृत बूलियन फ़ंक्शन है। इसलिएstandard PoS form दिए गए विहित PoS रूप के अनुरूप है f = (p + q).(q + r).(p + r)। यह हैdual बूलियन फ़ंक्शन का, f = pq + qr + pr।
इसलिए, Standard SoP और Standard PoS दोनों एक दूसरे के लिए दोहरी हैं।