गणितीय अधिष्ठापन
Mathematical induction, प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिणाम साबित करने या कथन स्थापित करने की एक तकनीक है। यह भाग विभिन्न उदाहरणों के माध्यम से विधि का चित्रण करता है।
परिभाषा
Mathematical Induction एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग किसी कथन को सिद्ध करने के लिए किया जाता है, एक सूत्र या एक प्रमेय हर प्राकृतिक संख्या के लिए सही है।
तकनीक में कथन को साबित करने के लिए दो चरण शामिल हैं, जैसा कि नीचे बताया गया है -
Step 1(Base step) - यह साबित करता है कि प्रारंभिक मूल्य के लिए एक बयान सही है।
Step 2(Inductive step)- यह साबित होता है कि यदि कथन n वें पुनरावृत्ति (या संख्या n ) के लिए सत्य है, तो यह (n + 1) वें पुनरावृत्ति (या संख्या n + 1 ) के लिए भी सत्य है ।
इसे कैसे करना है
Step 1- एक प्रारंभिक मूल्य पर विचार करें जिसके लिए कथन सत्य है। यह दिखाया जाना है कि कथन n = प्रारंभिक मान के लिए सही है।
Step 2- मान लें कि कथन n = k के किसी भी मूल्य के लिए सही है । फिर सिद्ध करें कि कथन n = k + 1 के लिए सत्य है । हम वास्तव में n = k + 1 को दो भागों में तोड़ते हैं , एक भाग n = k (जो पहले से सिद्ध है) और दूसरे भाग को सिद्ध करने का प्रयास करते हैं।
समस्या 1
$ 3 ^ n-1 $ n = 1, 2, के लिए 2 का गुणनफल है ...
Solution
Step 1 - $ n = 1, 3 ^ 1-1 = 3-1 = 2 $ के लिए जो कि 2 का गुणक है
Step 2 - मान लेते हैं कि $ 3 ^ n-1 $ $ n = k $ के लिए सत्य है, इसलिए, $ 3 ^ k -1 $ सत्य है (यह एक धारणा है)
हमें यह साबित करना होगा कि $ 3 ^ {k + 1} -1 $ भी 2 का गुणक है
$ 3 ^ {k + 1} - 1 = 3 \ _ 3 ^ k - 1 = (2 \ गुना 3 ^ k) + (3 ^ k - 1) $
पहला भाग $ (2 \ गुना 3k) $ 2 का एक भाग होना निश्चित है और दूसरा भाग $ (3k -1) $ भी हमारी पिछली धारणा के अनुसार सही है।
इसलिए, $ 3 ^ {k + 1} - 1 $ 2 का एक बहु है।
तो, यह साबित हुआ कि $ 3 ^ n - 1 $ 2 का एक बहु है।
समस्या २
$ 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n ^ $ $ के लिए $ n = 1, 2, \ dots $
Solution
Step 1 - $ n = 1, 1 = 1 ^ 2 $ के लिए, इसलिए, चरण 1 संतुष्ट है।
Step 2 - मान लेते हैं कि कथन $ n = k $ के लिए सत्य है।
इसलिए, $ 1 + 3 + 5 + \ dots + (2k-1) = k ^ 2 $ सत्य है (यह एक धारणा है)
हमें यह साबित करना होगा कि $ 1 + 3 + 5 + ... + (2 (k + 1) -1) = (k + 1) ^ 2 भी धारण करते हैं
$ 1 + 3 + 5 + \ dots + (2 (k + 1) - 1) $
$ = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2k + 2 - 1) $
$ = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2k + 1) $
$ = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2k - 1) + (2k + 1) $
$ = k ^ 2 + (2k + 1) $
$ = (k + 1) ^ 2 $
तो, $ 1 + 3 + 5 + \ dots + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) ^ 2 $ पकड़ जो चरण 2 को संतुष्ट करती है।
इसलिए, $ 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n - 1) = n ^ 2 $ साबित हुआ है।
समस्या 3
सिद्ध करें कि $ (ab) ^ n = a ^ nb ^ n $ हर प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए सही है
Solution
Step 1 - $ n = 1 के लिए, (ab) ^ 1 = a ^ 1b ^ 1 = ab $, इसलिए, चरण 1 संतुष्ट है।
Step 2 - मान लेते हैं कि कथन $ n = k $ के लिए सत्य है, इसलिए, $ (ab) ^ k = a ^ kb ^ k $ सत्य है (यह एक धारणा है)।
हमें यह साबित करना होगा कि $ (ab) ^ {k + 1} = a ^ {k + 1} b ^ {k + 1} $ $ होल्ड
दी, $ (ab) ^ k = a ^ kb ^ k $
या, $ (ab) ^ k (ab) = (a ^ kb ^ k) (ab) $ [दोनों पक्षों को 'ab' से गुणा करना]
या, $ (ab) ^ {k + 1} = (aa ^ k) (bb ^ k) $
या, $ (ab) ^ {k + 1} = (a ^ {k + 1} b ^ {k + 1}} $
इसलिए, चरण 2 साबित हुआ है।
तो, $ (ab) ^ n = a ^ nb ^ n $ हर प्राकृतिक संख्या n के लिए सही है।
मजबूत प्रेरण
मजबूत प्रेरण गणितीय प्रेरण का दूसरा रूप है। इस प्रेरण तकनीक के माध्यम से, हम यह साबित कर सकते हैं कि निम्नलिखित चरणों का उपयोग करते हुए, सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए, $ P (n) $ का एक प्रस्ताव सही है।
Step 1(Base step) - यह साबित होता है कि प्रारंभिक प्रस्ताव $ P (1) $ सत्य है।
Step 2(Inductive step) - यह साबित होता है कि सशर्त कथन $ [P (1) \ भूमि P (2) \ भूमि P (3) \ भूमि \ dots \ भूमि P (k)] → P (k + 1) $ धनात्मक पूर्णांक $ के लिए सही है कश्मीर $।