Analogie elettriche dei sistemi meccanici
Si dice che siano due sistemi analogous gli uni agli altri se le seguenti due condizioni sono soddisfatte.
- I due sistemi sono fisicamente diversi
- La modellazione di equazioni differenziali di questi due sistemi è la stessa
I sistemi elettrici e i sistemi meccanici sono due sistemi fisicamente diversi. Esistono due tipi di analogie elettriche dei sistemi meccanici traslazionali. Quelli sono l'analogia della tensione di forza e l'analogia della corrente di forza.
Force Voltage Analogy
Nell'analogia della tensione forzata, le equazioni matematiche di translational mechanical system vengono confrontati con le equazioni di maglia del sistema elettrico.
Considerare il seguente sistema meccanico traslazionale come mostrato nella figura seguente.
Il force balanced equation per questo sistema è
$$ F = F_m + F_b + F_k $$
$ \ Freccia destra F = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} + B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} + Kx $ (Equation 1)
Considerare il seguente sistema elettrico come mostrato nella figura seguente. Questo circuito è costituito da un resistore, un induttore e un condensatore. Tutti questi elementi elettrici sono collegati in serie. La tensione di ingresso applicata a questo circuito è di $ V $ volt e la corrente che scorre attraverso il circuito è di $ i $ Amp.
L'equazione della mesh per questo circuito è
$ V = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + \ frac {1} {c} \ int idt $ (Equation 2)
Sostituisci $ i = \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} $ nell'equazione 2.
$$ V = R \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} + L \ frac {\ text {d} ^ 2q} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac { q} {C} $$
$ \ Freccia destra V = L \ frac {\ text {d} ^ 2q} {\ text {d} t ^ 2} + R \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} + \ sinistra (\ frac {1} {c} \ right) q $ (Equation 3)
Confrontando l'Equazione 1 e l'Equazione 3, otterremo le quantità analoghe del sistema meccanico traslazionale e del sistema elettrico. La tabella seguente mostra queste quantità analoghe.
| Sistema meccanico traslazionale | Sistema elettrico |
|---|---|
| Forza (F) | Voltaggio (V) |
| Massa (M) | Induttanza (L) |
| Coefficiente di attrito (B) | Resistenza (R) |
| Costante della molla (K) | Reciproco di capacità $ (\ frac {1} {c}) $ |
| Cilindrata (x) | Carica (q) |
| Velocità (v) | Corrente (i) |
Allo stesso modo, esiste un'analogia della tensione di coppia per i sistemi meccanici rotazionali. Parliamo ora di questa analogia.
Analogia della tensione di coppia
In questa analogia, le equazioni matematiche di rotational mechanical system vengono confrontati con le equazioni di maglia del sistema elettrico.
Il sistema meccanico rotazionale è mostrato nella figura seguente.
L'equazione bilanciata della coppia è
$$ T = T_j + T_b + T_k $$
$ \ Freccia destra T = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} + B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} + k \ theta $ (Equation 4)
Confrontando l'Equazione 4 e l'Equazione 3, otterremo le quantità analoghe del sistema meccanico rotazionale e del sistema elettrico. La tabella seguente mostra queste quantità analoghe.
| Sistema meccanico rotazionale | Sistema elettrico |
|---|---|
| Coppia (T) | Voltaggio (V) |
| Momento di inerzia (J) | Induttanza (L) |
| Coefficiente di attrito rotazionale (B) | Resistenza (R) |
| Costante della molla di torsione (K) | Reciproco di capacità $ (\ frac {1} {c}) $ |
| Spostamento angolare (θ) | Carica (q) |
| Velocità angolare (ω) | Corrente (i) |
Forza l'analogia corrente
In vigore l'analogia corrente, le equazioni matematiche del translational mechanical system vengono confrontati con le equazioni nodali del sistema elettrico.
Considerare il seguente sistema elettrico come mostrato nella figura seguente. Questo circuito è costituito da sorgente di corrente, resistenza, induttore e condensatore. Tutti questi elementi elettrici sono collegati in parallelo.
L'equazione nodale è
$ i = \ frac {V} {R} + \ frac {1} {L} \ int Vdt + C \ frac {\ text {d} V} {\ text {d} t} $ (Equation 5)
Sostituisci $ V = \ frac {\ text {d} \ Psi} {\ text {d} t} $ nell'equazione 5.
$$ i = \ frac {1} {R} \ frac {\ text {d} \ Psi} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {L} \ right) \ Psi + C \ frac {\ text {d} ^ 2 \ Psi} {\ text {d} t ^ 2} $$
$ \ Freccia destra i = C \ frac {\ text {d} ^ 2 \ Psi} {\ text {d} t ^ 2} + \ sinistra (\ frac {1} {R} \ destra) \ frac {\ text { d} \ Psi} {\ text {d} t} + \ sinistra (\ frac {1} {L} \ destra) \ Psi $ (Equation 6)
Confrontando l'Equazione 1 e l'Equazione 6, otterremo le quantità analoghe del sistema meccanico traslazionale e del sistema elettrico. La tabella seguente mostra queste quantità analoghe.
| Sistema meccanico traslazionale | Sistema elettrico |
|---|---|
| Forza (F) | Corrente (i) |
| Massa (M) | Capacità (C) |
| Coefficiente di attrito (B) | Reciproco di resistenza $ (\ frac {1} {R}) $ |
| Costante della molla (K) | Reciproco di induttanza $ (\ frac {1} {L}) $ |
| Cilindrata (x) | Flusso magnetico (ψ) |
| Velocità (v) | Voltaggio (V) |
Allo stesso modo, esiste un'analogia della corrente di coppia per i sistemi meccanici rotazionali. Parliamo ora di questa analogia.
Analogia della corrente di coppia
In questa analogia, le equazioni matematiche del rotational mechanical system vengono confrontati con le equazioni della maglia nodale del sistema elettrico.
Confrontando l'Equazione 4 e l'Equazione 6, otterremo le quantità analoghe del sistema meccanico rotazionale e del sistema elettrico. La tabella seguente mostra queste quantità analoghe.
| Sistema meccanico rotazionale | Sistema elettrico |
|---|---|
| Coppia (T) | Corrente (i) |
| Momento d'inerzia (J) | Capacità (C) |
| Coefficiente di attrito rotazionale (B) | Reciproco di resistenza $ (\ frac {1} {R}) $ |
| Costante della molla di torsione (K) | Reciproco di induttanza $ (\ frac {1} {L}) $ |
| Spostamento angolare (θ) | Flusso magnetico (ψ) |
| Velocità angolare (ω) | Voltaggio (V) |
In questo capitolo abbiamo discusso le analogie elettriche dei sistemi meccanici. Queste analogie sono utili per studiare e analizzare il sistema non elettrico come il sistema meccanico da un sistema elettrico analogo.