Sistemi di controllo - State Space Model

Il state space model del sistema Linear Time-Invariant (LTI) può essere rappresentato come,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

La prima e la seconda equazione sono note rispettivamente come equazione di stato e equazione di output.

Dove,

• X e $ \ dot {X} $ sono rispettivamente il vettore di stato e il vettore di stato differenziale.

• U e Y sono rispettivamente vettore di input e vettore di output.

• A è la matrice del sistema.

• B e C sono le matrici di input e di output.

• D è la matrice feed-forward.

Concetti di base del modello spaziale degli stati

La seguente terminologia di base coinvolta in questo capitolo.

Stato

È un gruppo di variabili, che riassume la storia del sistema al fine di prevedere i valori futuri (output).

Variabile di stato

Il numero delle variabili di stato richieste è uguale al numero degli elementi di memoria presenti nel sistema.

Examples - corrente che scorre attraverso l'induttore, tensione attraverso il condensatore

Vettore di stato

È un vettore, che contiene le variabili di stato come elementi.

Nei capitoli precedenti, abbiamo discusso due modelli matematici dei sistemi di controllo. Questi sono il modello dell'equazione differenziale e il modello della funzione di trasferimento. Il modello dello spazio degli stati può essere ottenuto da uno qualsiasi di questi due modelli matematici. Discutiamo ora questi due metodi uno per uno.

Modello dello spazio degli stati dall'equazione differenziale

Considera la seguente serie del circuito RLC. Ha una tensione di ingresso, $ v_i (t) $ e la corrente che scorre attraverso il circuito è $ i (t) $.

Ci sono due elementi di immagazzinamento (induttore e condensatore) in questo circuito. Quindi, il numero delle variabili di stato è uguale a due e queste variabili di stato sono la corrente che scorre attraverso l'induttore, $ i (t) $ e la tensione attraverso il condensatore, $ v_c (t) $.

Dal circuito, la tensione di uscita, $ v_0 (t) $ è uguale alla tensione ai capi del condensatore, $ v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Applica KVL attorno al loop.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

La tensione ai capi del condensatore è -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Differenziare l'equazione di cui sopra rispetto al tempo.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Vettore di stato, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Vettore di stato differenziale, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Possiamo organizzare le equazioni differenziali e l'equazione di output nella forma standard del modello dello spazio degli stati come,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Dove,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: e \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

State Space Model dalla funzione di trasferimento

Considera i due tipi di funzioni di trasferimento in base al tipo di termini presenti nel numeratore.

• Funzione di trasferimento a termine costante in Numerator.
• Funzione di trasferimento avente funzione polinomiale di 's' in Numerator.

Funzione di trasferimento con termine costante in Numerator

Considera la seguente funzione di trasferimento di un sistema

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $

Riorganizza, l'equazione sopra come

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$

Permettere

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

e $ u (t) = u $

Poi,

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

Dall'equazione di cui sopra, possiamo scrivere la seguente equazione di stato.

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

L'equazione di output è -

$$ y (t) = y = x_1 $$

Il modello dello spazio degli stati è:

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Qui, $ D = \ left [0 \ right]. $

Esempio

Trova il modello nello spazio degli stati per il sistema con funzione di trasferimento.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Riorganizza, l'equazione sopra come,

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

Permettere

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

e $ u (t) = u $

Quindi, l'equazione di stato è

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

L'equazione di output è

$$ y (t) = y = x_1 $$

Il modello dello spazio statale è

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Funzione di trasferimento avente funzione polinomiale di 's' in Numerator

Considera la seguente funzione di trasferimento di un sistema

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

L'equazione di cui sopra è sotto forma di prodotto di funzioni di trasferimento di due blocchi, che sono in cascata.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ right) $$

Qui,

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

Riorganizza, l'equazione sopra come

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

Permettere

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

e $ u (t) = u $

Quindi, l'equazione di stato è

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

Ritenere,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

Riorganizza, l'equazione sopra come

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$

Sostituendo le variabili di stato e $ y (t) = y $ nell'equazione precedente, si otterrà l'equazione di output come,

$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

Sostituisci $ \ dot {x} _n $ valore nell'equazione precedente.

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

Il modello dello spazio statale è

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ inizio {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Se $ b_n = 0 $, allora,

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$