Sistemi di controllo - Grafici polari
Nei capitoli precedenti abbiamo discusso le trame di Bode. Lì, abbiamo due grafici separati sia per l'ampiezza che per la fase in funzione della frequenza. Parliamo ora dei grafici polari. Il grafico polare è un grafico che può essere tracciato tra magnitudine e fase. Qui, le grandezze sono rappresentate solo da valori normali.
La forma polare di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ è
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ angolo G (j \ omega) H (j \ omega) $$
Il Polar plotè un grafico, che può essere tracciato tra l'ampiezza e l'angolo di fase di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ variando $ \ omega $ da zero a ∞. Il foglio del grafico polare è mostrato nella figura seguente.
Questo foglio grafico è costituito da cerchi concentrici e linee radiali. Ilconcentric circles e il radial linesrappresentano rispettivamente le grandezze e gli angoli di fase. Questi angoli sono rappresentati da valori positivi in senso antiorario. Allo stesso modo, possiamo rappresentare angoli con valori negativi in senso orario. Ad esempio, l'angolo 270 0 in senso antiorario è uguale all'angolo −90 0 in senso orario.
Regole per disegnare grafici polari
Segui queste regole per tracciare i grafici polari.
Sostituisci $ s = j \ omega $ nella funzione di trasferimento ad anello aperto.
Scrivi le espressioni per la grandezza e la fase di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.
Trova la grandezza iniziale e la fase di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ sostituendo $ \ omega = 0 $. Quindi, il grafico polare inizia con questa magnitudine e l'angolo di fase.
Trova la magnitudine finale e la fase di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ sostituendo $ \ omega = \ infty $. Quindi, il grafico polare termina con questa magnitudine e l'angolo di fase.
Controlla se il diagramma polare interseca l'asse reale, rendendo il termine immaginario di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ uguale a zero e trova il valore (i) di $ \ omega $.
Controlla se il diagramma polare interseca l'asse immaginario, rendendo il termine reale di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ uguale a zero e trova il valore (i) di $ \ omega $.
Per disegnare un grafico polare in modo più chiaro, trova l'ampiezza e la fase di $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ considerando gli altri valori di $ \ omega $.
Esempio
Considerare la funzione di trasferimento ad anello aperto di un sistema di controllo a circuito chiuso.
$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$
Disegniamo il diagramma polare per questo sistema di controllo usando le regole precedenti.
Step 1 - Sostituisci $ s = j \ omega $ nella funzione di trasferimento ad anello aperto.
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$
L'entità della funzione di trasferimento ad anello aperto è
$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$
L'angolo di fase della funzione di trasferimento ad anello aperto è
$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$
Step 2 - La tabella seguente mostra l'ampiezza e l'angolo di fase della funzione di trasferimento ad anello aperto a $ \ omega = 0 $ rad / sec e $ \ omega = \ infty $ rad / sec.
| Frequenza (rad / sec) | Magnitudo | Angolo di fase (gradi) |
|---|---|---|
| 0 | ∞ | -90 o 270 |
| ∞ | 0 | -270 o 90 |
Quindi, il grafico polare inizia a (∞, −90 0 ) e termina a (0, −270 0 ). Il primo e il secondo termine tra parentesi indicano rispettivamente l'ampiezza e l'angolo di fase.
Step 3- In base alle coordinate polari iniziale e finale, questo grafico polare intersecherà l'asse reale negativo. L'angolo di fase corrispondente all'asse reale negativo è −180 0 o 180 0 . Quindi, equiparando l'angolo di fase della funzione di trasferimento ad anello aperto a −180 0 o 180 0 , otterremo il valore $ \ omega $ come $ \ sqrt {2} $.
Sostituendo $ \ omega = \ sqrt {2} $ nell'ampiezza della funzione di trasferimento ad anello aperto, otterremo $ M = 0,83 $. Pertanto, il grafico polare interseca l'asse reale negativo quando $ \ omega = \ sqrt {2} $ e la coordinata polare è (0,83, −180 0 ).
Quindi, possiamo disegnare il grafico polare con le informazioni di cui sopra sul foglio del grafico polare.