Sistemi di controllo - Modelli matematici
I sistemi di controllo possono essere rappresentati con una serie di equazioni matematiche note come mathematical model. Questi modelli sono utili per l'analisi e la progettazione di sistemi di controllo. Analisi del sistema di controllo significa trovare l'output quando conosciamo l'input e il modello matematico. Progettare un sistema di controllo significa trovare il modello matematico quando conosciamo l'input e l'output.
Vengono utilizzati principalmente i seguenti modelli matematici.
- Modello di equazioni differenziali
- Modello della funzione di trasferimento
- Modello spaziale degli stati
Parliamo dei primi due modelli in questo capitolo.
Modello di equazioni differenziali
Il modello di equazioni differenziali è un modello matematico nel dominio del tempo dei sistemi di controllo. Seguire questi passaggi per il modello di equazioni differenziali.
Applicare le leggi di base al sistema di controllo dato.
Ottieni l'equazione differenziale in termini di input e output eliminando le variabili intermedie.
Esempio
Considerare il seguente sistema elettrico come mostrato nella figura seguente. Questo circuito è costituito da resistore, induttore e condensatore. Tutti questi elementi elettrici sono collegatiseries. La tensione di ingresso applicata a questo circuito è $ v_i $ e la tensione ai capi del condensatore è la tensione di uscita $ v_o $.
L'equazione della mesh per questo circuito è
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
Sostituisci, la corrente che passa attraverso il condensatore $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ nell'equazione precedente.
$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
L'equazione sopra è un secondo ordine differential equation.
Modello della funzione di trasferimento
Il modello della funzione di trasferimento è un modello matematico del dominio s dei sistemi di controllo. IlTransfer function di un sistema Linear Time Invariant (LTI) è definito come il rapporto tra la trasformata di Laplace dell'output e la trasformata di Laplace dell'input assumendo che tutte le condizioni iniziali siano zero.
Se $ x (t) $ e $ y (t) $ sono l'input e l'output di un sistema LTI, le trasformate di Laplace corrispondenti sono $ X (s) $ e $ Y (s) $.
Pertanto, la funzione di trasferimento del sistema LTI è uguale al rapporto tra $ Y (s) $ e $ X (s) $.
$$ ovvero \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
Il modello della funzione di trasferimento di un sistema LTI è mostrato nella figura seguente.
Qui abbiamo rappresentato un sistema LTI con un blocco avente al suo interno la funzione di trasferimento. E questo blocco ha un input $ X (s) $ e un output $ Y (s) $.
Esempio
In precedenza, abbiamo ottenuto l'equazione differenziale di un sistema elettrico come
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Applicare la trasformata di Laplace su entrambi i lati.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
Dove,
$ v_i (s) $ è la trasformata di Laplace della tensione di ingresso $ v_i $
$ v_o (s) $ è la trasformata di Laplace della tensione di uscita $ v_o $
L'equazione sopra è a transfer functionimpianto elettrico di secondo ordine. Il modello della funzione di trasferimento di questo sistema è mostrato di seguito.
Mostriamo qui un impianto elettrico di secondo ordine con un blocco avente al suo interno la funzione di trasferimento. E questo blocco ha un ingresso $ V_i (s) $ e un'uscita $ V_o (s) $.