Sistemi di controllo - Errori di stato stazionario
La deviazione dell'uscita del sistema di controllo dalla risposta desiderata durante lo stato stazionario è nota come steady state error. È rappresentato come $ e_ {ss} $. Possiamo trovare l'errore di stato stazionario usando il teorema del valore finale come segue.
$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$
Dove,
E (s) è la trasformata di Laplace del segnale di errore, $ e (t) $
Discutiamo come trovare errori di stato stazionario per i sistemi di controllo del feedback di unità e di feedback di non unità uno per uno.
Errori di stato stazionario per sistemi di feedback Unity
Considera il seguente diagramma a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso, che ha un feedback negativo unitario.
Dove,
- R (s) è la trasformata di Laplace del segnale di ingresso di riferimento $ r (t) $
- C (s) è la trasformata di Laplace del segnale di uscita $ c (t) $
Conosciamo la funzione di trasferimento del sistema di controllo a circuito chiuso con feedback negativo di unità come
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
L'output del punto di somma è:
$$ E (s) = R (s) -C (s) $$
Sostituisci $ C (s) $ value nell'equazione precedente.
$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$
Sostituire $ E (s) $ valore nella formula dell'errore di stato stazionario
$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$
La tabella seguente mostra gli errori di stato stazionario e le costanti di errore per segnali di ingresso standard come passo unitario, rampa unitaria e segnali parabolici unitari.
| Segnale di input | Errore di stato stazionario $ e_ {ss} $ | Costante di errore |
|---|---|---|
segnale di passo dell'unità |
$ \ frac {1} {1 + k_p} $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) $ |
segnale di rampa dell'unità |
$ \ frac {1} {K_v} $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) $ |
segnale parabolico dell'unità |
$ \ frac {1} {K_a} $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) $ |
Dove, $ K_p $, $ K_v $ e $ K_a $ sono rispettivamente costante di errore di posizione, costante di errore di velocità e costante di errore di accelerazione.
Note - Se uno dei segnali di ingresso di cui sopra ha un'ampiezza diversa dall'unità, moltiplicare l'errore di stato stazionario corrispondente per tale ampiezza.
Note- Non possiamo definire l'errore di stato stazionario per il segnale di impulso dell'unità perché esiste solo all'origine. Quindi, non possiamo confrontare la risposta all'impulso con l'ingresso all'impulso dell'unità comet denota infinito.
Esempio
Cerchiamo di trovare l'errore di stato stazionario per un segnale di ingresso $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ del sistema di controllo del feedback negativo unitario con $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $
Il segnale di ingresso fornito è una combinazione di tre segnali step, ramp e parabolic. La tabella seguente mostra le costanti di errore ei valori di errore di stato stazionario per questi tre segnali.
| Segnale di input | Costante di errore | Errore di stato stazionario |
|---|---|---|
$ r_1 (t) = 5u (t) $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $ |
$ r_2 (t) = 2tu (t) $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $ |
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $ |
$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $ |
Otterremo l'errore di stato stazionario complessivo, aggiungendo i tre errori di stato stazionario sopra.
$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$
$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$
Pertanto, abbiamo ottenuto l'errore di stato stazionario $ e_ {ss} $ as 1 per questo esempio.
Errori di stato stazionario per sistemi di feedback non Unity
Si consideri il seguente diagramma a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso, che ha un feedback negativo non unitario.
Possiamo trovare gli errori di stato stazionario solo per i sistemi di feedback di unità. Quindi, dobbiamo convertire il sistema di feedback di non unità in un sistema di feedback di unità. Per questo, includere un percorso di feedback positivo unitario e un percorso di feedback negativo unitario nello schema a blocchi sopra. Il nuovo diagramma a blocchi appare come mostrato di seguito.
Semplifica il diagramma a blocchi di cui sopra mantenendo il feedback negativo dell'unità così com'è. Quello che segue è lo schema a blocchi semplificato.
Questo schema a blocchi ricorda lo schema a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario. Qui, il singolo blocco ha la funzione di trasferimento $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ invece di $ G (s) $. È ora possibile calcolare gli errori di stato stazionario utilizzando la formula dell'errore di stato stazionario fornita per i sistemi di feedback negativo unitario.
Note- Non ha senso trovare gli errori di stato stazionario per sistemi a circuito chiuso instabili. Quindi, dobbiamo calcolare gli errori di stato stazionario solo per i sistemi stabili a ciclo chiuso. Ciò significa che dobbiamo verificare se il sistema di controllo è stabile o meno prima di trovare gli errori di stato stazionario. Nel prossimo capitolo discuteremo la stabilità relativa ai concetti.